Упрощение выражения, содержащего корень вида

Упрощение выражения, содержащего корень вида

Способ 1(представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 1. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений:

или

Так как числа х, у – натуральные, то получим следующие системы:

или

и тем самым только система (3) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Ответ: .

Способ 2 (формула сложного радикала)

Пример 2. Разность является целым числом. Найти это число.

Решение.

Ответ:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

.

Тогда

.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

Поэтому получим .

Ответ: .

Из ЕГЭ-2008г

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Способ 1 (формула сложного радикала).

Способ 2 (выделение полного квадрата). Пример 1.

Способ 3.

Пусть т. к.

Очевидно, что .

Возведем равенство в квадрат:

и т. к. , по .

(представление подкоренного выражения в виде куба двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений

или

Решать данную систему будем в натуральных числах .

Рассмотрим второе уравнение. С учетом условия , причем , получим следующие системы:

или

и тем самым только система (1) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Пример 5. Упростить выражение

Решение.

Упростим каждый корень.

Для упрощения квадратного корня воспользуемся формулой сложного радикала: .

Для упрощения кубического корня представим подкоренное выражение в виде куба двучлена: . Тогда .

Тем самым получим, что:

Ответ: .