Свойства симметрии относятся к числу самых основных, коренных свойств физических систем

Свойства симметрии относятся к числу самых основных, коренных свойств физических систем.

Для доказательства теоремы Нётер рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

. (3)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида , а также и относительно более общих преобразований

(4)

включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при такой замене любые изменения.

Теорема Нётер рассматривает случай, когда таких изменений не происходит. Введена совокупность зависящих от одного параметра l преобразований обобщенных координат и времени:

Используя (4), получим:

(5)

Преобразования образуют однопараметрическую группу

(6)

Бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру :

(7)

Вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений новых координат в некоторый момент нового времени и значений прежних координат в соответствующий момент времени, - то есть

. (8)

Наряду с этим удобно ввести в рассмотрение вариации формы

(9)

- зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если преобразование затрагивает только время, а не координаты.

Для любой функции справедливо соотношение: .

Тогда между двумя введенными видами вариаций существует соотношение, которое можно получить следующим образом: вычитая уравнение (9) из (8), получим: ,

Принимая во внимание, что

,

имеем:

(10)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

,

в то время, как для вариаций со звездочками это положение неверно.

Соответствующие два вида вариаций можно ввести для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа

(11)

причем

(12)

где включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.

Условием теоремы является независимость от преобразований интеграла действия

, (13)

где t' – та же область интегрирования, что и t во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда при подстановке (11) в (13), получим

(14)

Выражая через (11), учитывая соотношение

,

и интегрируя по t вместо t', получим:

Учитывая, что

,

Получим выражение:

(15)

Но

(16)

Найдем дифференциал

,

отсюда

(17)

Подставив (17) в (16), получим:

Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т. е.

Тогда (18)

После подстановки полученного значения вариации функции Лагранжа в (15), имеем:

Из (10) выразим через и :

Тогда вариация действия

(19)

необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7) является

.

Заменив и , используя соотношения (7) и (8), имеем:

Вынося l за скобки и разделив на нее обе части уравнения получим необходимое условие:

(20)

Из инвариантности действия относительно (7) следует, что величина

(21)

- остается постоянной во времени. Это и есть утверждение теоремы Нётер.

1. Величина L (21) еще не является динамической величиной – кроме обобщенных координат, скоростей и времени она зависит еще и от задающих функций . L станет динамическим законом только тогда, когда сами задающие функции (7) будут (помимо параметров) зависеть только от .

2. Первый член в уравнении 21 включает саму функцию Лагранжа, и может обладать асимптотической аддитивностью (2). Второй член имеет явную форму суммы по отдельным степеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которого действие инвариантно, затрагивает время, то сохраняется только асимптотически аддитивная величина, если преобразование меняет лишь координаты, то сохраняется точно аддитивная величина.

Теорема Нётер утверждает, что для физической системы, уравнения движения которой имеют форму дифференциальных уравнений и могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию – t = t + dt, q = q + dq, j = j + dj, преобразуется один параметр –

dt, dq, или dj оставляющий вариационный функционал инвариантным, соответствует один дифференциальный закон сохранения.

Теорема Нётер заключается в том, что существует физическая величина, которая называется действие:

S = òdt L(q,j,t) 1)

где L(q,j,t) – функция Лагранжа, с помощью которой описывается некоторая система.

Действие S имеет экстремум вблизи истинной траектории, вариация действия dS вдоль истинной траектории остаётся неизменной, то есть dS = 0.

Вариация действия зависит от вариации начала отсчёта времени dt и вариации начала отсчёта координат dq, таким образом

dS = òdt 2)

Можно показать, что из dS = 0 следует

= 0 3)

А величина = const, сохраняется во времени.

Это и есть утверждение теоремы Нётер.

Закон сохранения энергии основан на допущении dt ¹ 0, а за независимый и постоянный параметр преобразования принят dq=0: = 0, а как следствие инвариантности действия относительно временного сдвига сохраняется динамическая величина – энергия системы:

Е = = const

Если функцию Лагранжа представить в виде разности потенциальной и кинетической энергии (Т - U), то

L = , тогда Е =2 Т - (Т - U) = Т + U (сумма кинетической и потенциальной энергий).

В квантовой механике состояние частицы задаёт волновая функция y. При бесконечно малом сдвиге во времени dt, волновая функция преобразуется с помощью оператора трансляции

y(x, y,z, t) ® y¢(x, y,z, t +dt) = y(x, y,z, t) + = (1+dt =

(1 + dt 1 + dt y¢ = Из однородности времени следует, что оператор трансляции коммутирует с оператором полной энергии : = , следовательно, трансляция не меняет Н. ….

Теорема Нётер даёт наиболее простой и универсальный метод изучения законов сохранения в классической квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определённой группы симметрии являются основным источником информации о свойствах изучаемых объектов.