Урок 1. Медианы треугольника. Точка пересечения медиан

Урок 1

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Доказательство:

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.

Задача 1  Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD - медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

Так как , то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и

Получаем .

Аналогично,

,

Ответ: 6, 9 и 12

Задача 2  Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

Решение. Пусть медианы АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке Р. Тогда

,

поэтому и

, .

Кроме того

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

, .

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ: 10;.

Тест для самоконтроля.

1.  Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1)  угол треугольника

2)  сторону треугольника

3)  две стороны треугольника

2.  В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).

1)  2:1 считая от основания треугольника

2)  1:2 считая от вершины треугольника

3)  2:1 считая от вершины треугольника

4)  1:2 считая от основания треугольника

5)  на две равные части

3.  Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

1)  1/2

2)  1/3

3)  2/3

4)  1/4

4.  В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

1)  1/4

2)  1/3

3)  2/3

4)  1/2

5.  В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

1)  1/3

2)  2/3

3)  1/2

4)  1/4

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

Посмотреть решение.

2.  Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

Посмотреть решение.

3.  Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

Посмотреть решение.

4.  Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

Посмотреть решение.

5.  Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

Посмотреть решение.

6.  Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Посмотреть решение.