Предел и непрерывность функции

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

С – 8.1. Определение предела функции.

1.  Дана функция . Докажите, что .

2.  Нарисуйте график такой функции f , где , что в точке a функция не имеет предела, но в этой же точке a функция принимает свое наибольшее значение.

3.  Дана функция . Докажите, что .

С – 8.2. Предел функции на бесконечности.

1.  Докажите, что функция бесконечно малая при .

2.  Найдите какой-либо луч , на котором выполняется неравенство .

3.  Постройте график функции , обладающей следующими свойствами: , ; , ; , функция возрастает на .

4.  Приведите примеры функций f, таких, что и выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):

а.  для любого найдется число , такое, что для всех выполнено неравенство ;

б.  для всех чисел найдется число , такое, что ;

в.  можно выбрать такую последовательность , что и .

С – 8.3. Вычисление предела функции на бесконечности.

1. Вычислите предел:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  .

2. Исходя из определения предела, докажите, что .

3. Приведите пример такой функции , что , а .

С – 8.4. Предел функции в точке.

1. Найдите предел:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

2. Приведите примеры функций и , таких, что выполнены следующие утверждения (если это невозможно, объясните почему):

а)  Не существует и , но существует ;

б)  Существуют и , но не существует .

С – 8.5. Тригонометрические пределы.

а)  при aÎR ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  .

С – 8.5. Второй замечательный предел и его следствия.

Вычислите предел:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  .

С – 8.6. “Комбинированные” пределы.

1. Вычислите предел:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

2. Приведите примеры функций , таких, что не существует и выполнены следующие утверждения (если привести пример невозможно, объясните почему):

а)  Существует ;

б)  Существует ;

в)  Существует ;

г)  Существует ;

С – 8.7. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции.

1. Определите односторонние пределы функции:

а)  при ;

б)  при ;

2.Найдите асимптоты графика функции:

а)  ;

б)  ;

3. Приведите примеры функций, графики которых имеют:

а)  две различные горизонтальные асимптоты;

б)  наклонную и горизонтальную асимптоту;

C-8.8 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших

1. Определите порядок малости бесконечно малой функции относительно бесконечно малой функции , если .

2. Определите порядок бесконечно большой функции по сравнению с бесконечно большой , если х®¥.

3. Вычислите предел, используя замену эквивалентных бесконечно малых

а)

б)

4. Постройте график функции:

C-8.9 Исследование функции на непрерывность

1. Дана функция

a) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте её график.

б) Найдите , , .

2. Исходя из определения непрерывности (в терминах «Е-б»), докажите непрерывность функции в точке .

3. Найдите все значения параметра a, такие, что данная функция непрерывна:

C-8.10. Разрывы графиков функций

1. Функция не определена в точке x = 0. Определите значение f(0), такое, что f(x) стала непрерывной при x = 0.

2. Дана функция

найдите все значения k, такие, что функция f непрерывна на R.

3. Две функции f и g таковы, что и f – g непрерывны на R. Будет ли функция f + g непрерывна на R?

C-8.11. Свойства функций непрерывных на отрезке-1. Корни непрерывной функции, промежуточные значения.

1. а) Докажите, что уравнение на промежутке [-3;-2] имеет корень. б*) Найдите значение этого корня с точностью до 0,2.

2. Функция f непрерывна на отрезке [2;5] и принимает на нём только рациональные значения. Найдите и , если .

3. Пусть f – непрерывная на отрезке [0;2] функция, причём f(0) = 0, f(2) = 2. Докажите, что уравнение имеет хотя бы один корень на интервале (0;2).

4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех значениях xÎR выполняется условие

4. Выясните, существует ли непрерывная на R функция f, не имеющая корней, и такая, что при всех всех значениях xÎR выполняется условие

C-8.12 Свойства функций непрерывных на отрезке-2

1. Приведите пример функции f, определённой на отрезке [-1:1], такой, что f(-1) < 0 , f(1) > 0 , и f не обращается в 0 на этом отрезке.

2. Сколько существует различных непрерывных на R функций, графики которых лежат в объединении прямых y = 1, y = x, y = - x, y = 2x – 2?

3. Функция f непрерывна на интервале и . Докажите, что функция f ограничена на интервале .

4. Известно, что для некоторого числа а и произвольного хÎR выполнено равенство.

а) Докажите, что функция f периодическая.

б*) Может ли она быть непрерывной на R?

Контрольная работа 8.1 Предел функции

1. Найдите предел:

а)

б)

2. Найдите предел .

3. Для каждого а найдите предел

4. Найдите .

5. В равнобедренном треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны 1. Пусть r – радиус вписанной в этот треугольник окружности, а R – радиус описанной около треугольника окружности. Вычислите , где h – высота, проведённая к основанию.

6. Исследуйте функцию на асимптоты:

а)

б)

7. При каких a и b ?

8. Пусть функция f периодическая и . Докажите, что

Контрольная работа 8.2 Непрерывность функции

1. Нарисуйте график функции если известно, что она непрерывна.

2. Найти асимптоты графика функции . Постройте эскиз этого графика.

3. Известно, что функция f непрерывна. Докажите, что непрерывна функция .

4. Обязательно ли функция, заданная на отрезке, является непрерывной на этом промежутке, если её областью значений является отрезок?

5. Пусть x(a) – наименьший положительный корень уравнения для каждого . Постройте график зависимости x = x(a). Существуют ли у функции x(a) точки разрыва?

6. Докажите, что достаточным условием того, что уравнение имеет хотя бы один действительный корень, является выполнение неравенства .

7. Пусть функция f непрерывна на [0;1], причём для любого . Докажите, что для любого .