Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Нормальные системы.

Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

(1.1)

где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка (n=2).

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

(1.2)

где и – заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.

Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть дана система уравнений (1.2) и пусть в некоторой области D (x,y,z) функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, z. Пусть точка . Тогда существует интервал (a,b) и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции y(x), z(x), удовлетворяющие системе (1.2) и начальным условиям , причем эти функции единственны.

§ 2. Метод исключения.

Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2) по независимой переменной x

Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений (2.1)

(2.1)

Из первого уравнения системы (2.1) следует, что . Подставим эту функцию во второе уравнение (2.1): . Итак, исключив из системы функцию z приходим к одному уравнению 2-го порядка, решая которое, получаем: . Теперь продифференцируем найденное выражение по x и подставим в функцию . И тем самым получим . В результате получим решение в виде:

(2.2)

Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2), непрерывно дифференцируемых на некотором интервале (a,b), которые при различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.

§ 3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ).

ЛОС ДУ для функции y(x), z(x) называется система уравнений вида

(3.1)

где - непрерывные на (a,b) функции.

Свойства решений ЛОС ДУ (3.1).

1.  Сумма двух решений системы (3.1) – тоже решение этой системы.

Доказательство:

Пусть и – два каких-либо решения системы (3.1). Тогда

Но и .

Аналогично рассматривается и второе уравнение системы (3.1).

2.  Если y(x), z(x) – решение ЛОС ДУ и c – произвольная константа, то cy(x), cz(x) – тоже решение (3.1). Доказательство свойства аналогично доказательству свойства 1.

Следствие.

Если и - решения системы (3.1), то выражение вида

где - произвольные постоянные, тоже решение (3.1).

Определение 1. Система функций и называется линейно независимой на некотором интервале (a,b), если из системы равенств

(3.2)

Следует, что

В противном случае система функций и - линейно зависима на (a,b).

Определение 2. Определитель, составленный для системы функций и называется определителем Вронского и обозначается W(x). Итак

.

Теорема 1. Определитель Вронского для линейно независимой на интервале (a,b) системы решений и ЛОС ДУ не равен нулю ни в одной точке (a,b).

Доказательство.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что существует точка , в которой

Составим линейную однородную систему уравнений с неизвестными  и : (3.3)

Так как определитель системы (3.3) равен нулю, то система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть - одно из них. С помощью этих констант и двух линейно независимых на (a,b) решений системы (3.1) и составим две функции

(3.4)

Согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ функции (3.4) являются решениями системы (3.1), которые в силу (3.3) в точке обращаются в нуль. Следовательно, y(x), z(x) – решение следующей задачи Коши:

Но таким решением может быть только нулевое решение: y(x)=0, z(x)=0 при , т. е.

Причем . Это означает, что система функций и линейно зависима на (a,b), что противоречит условию теоремы. Значит наше предположение о существовании на (a,b) точки , в которой , неверно, что и доказывает теорему.

Определение 2. Линейно независимые на (a,b) решения ЛОС ДУ и называются фундаментальной системой решений системы (3.1).

Теорема 2. Если семейство функций и образует фундаментальную систему решений ЛОС ДУ (3.1), то их линейная комбинация

, (3.5)

где - произвольные постоянные, дает общее решение системы (3.1)

Доказательство.

1.  Выражение (3.5), согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ, является решением системы уравнений (3.1).

2.  Докажем, что (3.5) – общее решение (3.1), т. е. докажем, что каковы бы ни были начальные условия задачи Коши , всегда найдутся значения постоянных такие, что выделенное из общего частное решение ЛОС ДУ:

будет удовлетворять этим условиям. Для этого подставим в (3.5) начальные условия:

(3.6)

Определителем этой алгебраической системы линейных уравнений является определитель Вронского :

,

который, согласно теореме 1, не равен нулю. Следовательно, система уравнений (3.6) имеет решение и притом единственное.

§ 4. ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами.

Эта система имеет вид

(4.1)

где - постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений (4.1) является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ ищется в виде

Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):

Сокращаем оба уравнения системы на :

(4.2)

Так как - некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2) должен быть равен нулю

(4.3)

Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.

1.  Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: . Подставляем в одно из уравнений системы (4.2), например, в первое уравнение: Из него с точностью до константы определяем , откуда получаем первое решение ЛОС ДУ: . То же самое проделываем со вторым корнем характеристического уравнения и в результате получаем второе, линейно независимое на , решение ЛОС ДУ: . Следовательно, согласно теореме 2 §3 общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:

.

2. Если - корень характеристического уравнения, то . Подставляем в одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем . Теперь можно составить первое решение системы (4.1):

.

Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.

Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:

.

3.

В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде: , где - постоянные числа, причем и должны быть выражены через и . Рассмотрим поясняющий пример.

Пример. Найти общее решение системы:

Решение

. Характеристическое уравнение:.

Его корни: . Следовательно .

Продифференцируем y(x) и подставим в первое уравнение исходной системы: .

Откуда после сокращения на получаем

Приравняем в этом тождестве множители при одинаковых степенях x . В результате получим: . Итак, общее решение заданной системы уравнений имеет вид:

где и - произвольные постоянные.

§ 5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ).

Определение 1. ЛНС ДУ называется система уравнений следующего вида

(5.1)

где - заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.

Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения системы (5.1):

Доказательство.

1.  Прежде всего докажем, что (5.2) является решением ЛНС ДУ (5.1). Для этого, подставим выражение (5.2) в (5.1) и покажем, что в результате получим тождество.

т. е. имеем .

Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).

2. Во втором разделе доказательства докажем, что выражение (5.2) дает общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям (5.3).

Согласно теореме 2 § 3 выражение (5.2) можно переписать в виде:

(5.4)

где и образуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в (5.4) начальные условия:

Или

(5.5)

Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского

Но согласно теореме 1 § 3 он не равен нулю , следовательно, система уравнений (5.5) имеет решение и притом единственное: .

Теорема доказана.

§ 6. Метод вариации произвольных постоянных.

Применим этот метод для решения ЛНС ДУ (5.1). Общее решение ЛОС ДУ (3.1) дается формулой

где и - произвольные постоянные. Будем искать решение системы (5.1) в виде (6.1)

где и - функции, подлежащие определению.

Подставим (6.1) в (5.1):

Откуда получаем

Аналогично получаем второе уравнение для функций : .

Итак, для производных имеем систему уравнений

(6.2)

определитель которой есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений системы (3.1), который не обращается в нуль ни в одной точке (a,b). Поэтому решая систему (6.2), однозначно определяются и : и . Интегрируем эти выражения и подставляем результат в формулу (6.1).