Лабораторная работа №1 по дисциплине «Теория оптимального управления»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине «Теория оптимального управления»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (С ФИКСИРОВАННЫМИ КОНЦАМИ)

Введение

Вариационное исчисление — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения, как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей..

1. Цель занятия

освоение основных понятий вариационного исчисления; приобретение навыков решения элементарных задач вариационного исчисления с фиксированными концами.

2.  Задание на занятие

Найти экстремаль заданного в варианте функционала при заданных граничных условиях; Вычислить значение функционала и построить несколько экстремалей.

3.  Методические указания

Постановка задачи вариационного исчисления

Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение

либо максимальное значение

Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала -J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого банахова пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементов пространства Х и ū – некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде

Если ū є М, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.

Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие, плотное в Х.

Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда плотное в Х линейное множество М тоже бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J(ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство

справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (1.9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.

Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный – слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.

Пример 1. Найти экстремаль функционала

LoadForGif("21"); при граничных условиях

LoadForGif("22"); Выводим уравнение Эйлера. Частные производные:

Fy = −2y; Fy' = 2y'.

LoadForStr("23","Fy = −2y; Fy' = 2y'."); Уравнение Эйлера после упрощений имеет вид:

y'' + y = 0.

LoadForStr("24","y'' + y = 0."); Его общее решение

y(x) = C1cosx + C2sinx.

LoadForStr("25","y(x) = C1cosx + C2sinx."); Находим произвольные постоянные из граничных условий. Подставляем решение в эти граничные условия:

LoadForGif("26"); Мы видим, что из полученной системы уравнений можно найти только C1 = 1, а C2 может быть произвольной. Поэтому данная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений вида

y(x) = cosx + C2sinx.

LoadForStr("27","y(x) = cosx + C2sinx."); На любой из этих функций функционал J(y) принимает постоянное значение (какое − мы сейчас посчитаем). Проверка по достаточному условию Лежандра даёт:

Fy'y' = 2,

LoadForStr("28","Fy'y' = 2,"); поэтому на экстремалях достигается сильный минимум.

Посчитаем значение функционала на функциях вида и нарисуем несколько экстремалей с помощью MATLAB.

clear all % очистили память syms x % описали символическую переменную C2=-2:2; % несколько констант y=cos(x)+C2*sin(x); % функции Dy=diff(y, x); % производные F=Dy.^2-y.^2; % подынтегральные функции J=int(F, x,0,2*pi) % функционалы xpl=linspace(0,2*pi); % абсциссы для графика figure % новая фигура hold on % для рисования нескольких графиков for k=1:length(J), % заполняем ординаты и рисуем ypl=subs(y(k),x, xpl); % ординаты plot(xpl, ypl) % рисуем end hold off set(get(gcf,'CurrentAxes'),... 'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12) xlim([0 2*pi]) % установили пределы по оси OX da=daspect; da(1:2)=min(da(1:2)); daspect(da); % одинаковый масштаб title ('\bfГлава 2 - пример 2.2') xlabel ('\itx\rm') % метка оси OX ylabel ('\ity\rm(\itx\rm)') % метка оси OY

J =[ 0, 0, 0, 0, 0]

На каждой из наших функций функционал равен нулю.

4 Вопросы для самопроверки

Какую вариационную задачу мы решаем? Как выводится дифференциальное уравнение Эйлера? Где используется в выводе дифференциального уравнения Эйлера основная лемма вариационного исчисления? Почему обращается в нуль внеинтегральное слагаемое в формуле (2.8) при интегрировании по частям? Чем отличается частная производная от полной? Какие Вы знаете методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка? Всегда ли решение вариационной задачи будет единственным? От чего это зависит? Какие частные случаи уравнения Эйлера Вы знаете? В каких случаях уравнение Эйлера перестаёт быть дифференциальным и становится конечным? В каких случаях вариационная задача теряет смысл? Как записывается 1-й интеграл уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F не зависит явно от y? Каким будет решение уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F зависит только от y'?

5 Варианты заданий

1. Найти экстремум функционала при граничных условиях

2. Найти экстремум функционала при граничных условиях

3. Найти экстремум функционала при граничных условиях

Список литературы

, , «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во МАИ, 1994, 280 с. ил., ISBN -9, гл. 4 «Оптимальные системы управления динамическими объектами и процессами», с. 63-113; «Математические основы кибернетики», учеб. пособие для вузов, 2-е изд., перераб. и доп., М., «Энергия», 1980, 424 с., ил., ББК 32.81 6Ф0.1, гл. 5 «Структура и математическое описание задач оптимального управления», c. 202; Методы робастного, нейро-нечёткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. , изд. 2-ое, стер., М., Изд-во МГТУ им , 2002, 744 с ил., ISBN -8, тир. 2000 экз, ч. 2 "Нечёткое управление" Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров «Оптимизация: теория, примеры, задачи», М., «Эдиториал УРСС», 2000, 320 с., ISBN -7, гл. 3 «Вариационное исчисление», п. 6 «Задача Лагранжа», с. 173—181; http://home. imm. *****/iagsoft/varisoft_.html