Обобщающий урок по теме "Применение производной. Уравнение касательной". 10-й класс

Обобщающий урок по теме "Применение производной. Уравнение касательной". 10-й класс

window. google_render_ad(); Цели урока:

повторение, закрепление, обобщение, систематизация знаний учащихся по данной теме; развитие познавательных умений, интереса к предмету, умения владения математическим языком; воспитание организованности, ответственности, самостоятельности.

Оборудование урока.

1. Карты с заданиями.

2. Таблицы.

На доске записана тема урока, задания для устного счёта; необходимо знать что такое производная, алгоритм составления уравнения касательной; уметь находить производную, строить графики элементарных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, цель, план. Далее поясняет актуальность данной темы: встречается на вступительных экзаменах, на централизованном тестировании, в вариантах ЕГЭ.

II. Актуализация знаний.

Учитель сообщает цели урока, вызывает к доске ученика с заданием записать алгоритм составления уравнения касательной. Остальные считают устно.

Устный счёт.

1. Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Найдите абсциссы точек касания. ( ).

2. Касательная к графику функции параллельна прямой . Найдите абсциссы точек касания. ().

3. Касательная к кривой образует с осью абсцисс угол . Найдите абсциссу точки касания. ().

4. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен 0,72. чему равно значение производной в этой точке? ().

После устного счёта заслушивается ответ ученика, работавшего у доски.

1. Найти значение функции в точке касания.

2. Найти производную функции.

3. Найти значение производной в точке касания.

4. Записать уравнение .

III. Обобщение знаний

Во всех задачах школьного курса на отыскание уравнения касательной, сама касательная задаётся двумя способами:

задана точка в координатной плоскости, через которую проходит касательная; задан угловой коэффициент этой касательной.

Первый тип задач включает в себя задачи, в которых точка принадлежит графику функции, и задачи, в которых точка, принадлежащая касательной, графику функции не принадлежит. Второй тип задач также включает в себя два вида. Это задачи в которых касательная параллельна какой-либо прямой, и задачи, в которых касательная проходит под определённым углом к какой-либо прямой.

Рассмотрим примеры и способы решения задач, в которых не заданы координаты точки касания.

Каждому ученику предоставлена карта заданий. Задания подобраны таким образом, что при их решении мы рассмотрим все четыре вида задач на отыскание уравнения касательной.

№	Карта заданий
1	Напишите уравнения касательных к графику функции , проходящих через точку М(-3;6).
2	Составьте уравнение касательной к графику функции , не пересекающей прямую .
3	Напишите уравнение общей касательной к параболам и .
4	Напишите уравнение касательных к параболе , если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой .

IV. Применение знаний на практике.

Решения заданий (Приложение )

V. Подведение итогов урока.

VI. Информация о домашнем задании

Решение задания №1.

Проверим принадлежит ли точка М(-3;6) графику функции .

М(-3;6) графику заданной функции.

Пусть точка - является точкой касания, тогда

.

Уравнение касательной:

Точка М принадлежит касательной . Решив это уравнение, получим и .

Отсюда следует, что через точку М можно провести две касательные к графику заданной функции. Запишем уравнения этих касательных.

1.

2. .

Ответ: , .

Решение задания №2.

Касательная не пересекает прямую , значит касательная параллельна данной прямой. Отсюда следует, что угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой .

. Найдём абсциссу точки касания.

.

, . Решив полученное уравнение найдём .

, . Данное уравнение имеет два решения: и .

Выполнив проверку, выяснили, что решением уравнения является .

Абсцисса точки касания равна .

Ответ: .

Решение задания №3.

Пусть искомая касательная касается данных парабол в точках с абсциссами и . Обозначим функцию как , а функцию как . Тогда уравнение касательной можно записать следующим образом:

или . Преобразовав каждое из выражений, имеем: или . Линейная функция, графиком которой является прямая, имеет вид . Следовательно угловой коэффициент касательной равен или . То есть .

Свободный член или . То есть .

Заменим и исходными функциями и составим систему уравнений с двумя переменными.

, .

.

;

Вычислим значения и для касательной. , .

Уравнение касательной к графикам функций и имеет вид: .

Ответ: .

Решение задания №4.

Запишем уравнение касательной к функции , проходящей через точку с абсциссой 3.

Вторая касательная наклонена к первой под углом угол наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс = .

Найдём угловой коэффициент второй касательной.

Пусть - точка касания второй касательной, тогда . Отсюда .

.

Ответ: .