Глава II. Процессы переноса

Глава II. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Когда макросистема находится в равновесии, все ее тер-модинамические параметры постоянны по всему объему сис-темы. Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, то она постепенно вернется в равновесное сос-тояние. При этом в системе будут протекать необратимые процессы, называемые процессами переноса. Различают нес-колько процессов переноса в зависимости от того, какие па-раметры системы были выведены из равновесия. Это – процессы переноса энергии, плотности и импульса, и свя-занные с ними явления теплопроводности, диффузии и вяз-кости. Процессы переноса возникают, когда имеется гради-ент какого-либо параметра макросистемы по всему объему макросистемы. При этом возникают потоки параметра в сто-рону уменьшения параметра.

Установление равновесия термодинамических систем происходит при помощи движения молекул. Это позволяет получить общее уравнение для всех явлений переноса.

Пусть имеется термодинамическая система с концен-трацией молекул, равной . Средняя скорость молекул . Движение молекул в такой системе будем считать полнос-тью хаотическим для того, чтобы не было направленных то-ков молекул и процессы переноса обусловливались только движением молекул. Возьмем некую площадку единич-ной площади. Определим плотность потока молекул, пере-секающих площадку в одном направлении. Пусть пло-щадка располагается перпендикулярно оси . Плотность потока молекул, пересекающих площадку в положитель-ном направлении оси будет

. (2.1)

Этот поток и будет переносить физическую величину , выведенную из равновесия, в сторону уменьшения ее значе-ния. Плотность потока величины обозначим как . Предположим, что величина характеризует какое-то мо-лекулярное свойство одной молекулы, причем молекула об-ладала этим свойством на расстоянии свободного пробега от площадки . То есть последнее со-ударение молекула испытывала на расстоянии от площадки .

Пусть величина изменяется вдоль оси , т. е. имеет место градиент . Тогда возникает поток величины в сторону ее уменьшения (рис.2.1).

Тогда общее уравнение переноса для любой величины через площадку единичной площади, перпендикулярную на-правлению переноса, будет следующим:

, (2.2)

где – концентрация молекул,

– средняя скорость молекул,

– расстояние свободного пробега.

Значения этих величин берутся в сечении . Теперь на основе общего уравнения переноса получим уравнения для переноса массы, импульса и энергии.

Процесс переноса массы

Процесс переноса массы обусловливает явление диффу-зии. Диффузия – это самопроизвольное выравнивание кон-центраций в смеси нескольких различных веществ. Такое выравнивание концентраций происходит из-за теплового хаотического движения молекул. Рассмотрим смесь двух га-зов при постоянной температуре и давлении во всем объеме сосуда. При этих условиях не будет газодинамических по-токов, взаимопроникновение молекул будет обусловлено только тепловым движением. Суммарная концентрация обеих компонент не изменяется в зависимости от коорди-наты по оси . От координаты зависят концентрации обеих смесей ( и ). То есть возникает градиент концен-трации одной из компонент, что служит причиной возник-новения процесса переноса массы каждой компоненты в на-правлении уменьшения ее концентрации (рис. 2.2).

Переносимой величиной будет являться концентрация молекул одной из компонент:

(2.3)

Получаем выражения для потока этой величины:

(2.4)

В случае, когда смесь состоит из большего количества компонент, поток -й компоненты будет выражаться тем же соотношением:

, (2.5)

где

(2.6)

– коэффициент диффузии.

Мы получили выражение для потока через единичную площадку. При определении потока через площадку , по-лучаем соотношение, описывающее поток молекул -й ком-поненты:

. (2.7)

Из этого соотношения можем получить выражение для потока массы -й компоненты. Для этого умножим обе части уравнения на массу молекулы -й компоненты:

, (2.8)

где – парциальная плотность -й компоненты.

Два последних выражения (2.7) и (2.8) были получены эмпирическим путем и носят название закона Фика.

Размерность коэффициента диффузии – . Коэффициент диффузии определяет массу, переносимую через поверх-ность площадью за 1 секунду при градиенте плот-ности, равном . Коэффициент диффузии приближенно обратно пропорционален давлению, а при постоянном дав-лении пропорционален .

Процесс переноса импульса

Процесс переноса импульса лежит в основе явления вяз-кости или внутреннего трения. Возникает это явление в тех случаях, когда на хаотическое тепловое движение молекул накладывается упорядоченное движение молекул со скоростью . Если газ или жидкость движутся в трубе, то скорости движения различных слоев газа различны. Вследс-твие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой, перенося с собой импульс. При этом медленные слои ускоряются, быстрые – тормозятся (рис. 2.3).

В этом случае, когда слои обмениваются импульсом, пе-реносимая величина и будет импульсом: . Плотность потока импульса через единичную площадку:

, (2.9)

где – плотность газа;

– градиент скорости в направлении оси , перпен-дикулярной направлению скорости.

На основе этого соотношения поток импульса через пло-щадку может быть рассчитан как

, (2.10)

где – динамический коэффициент вязкости.

Величина, обратная динамической вязкости, называется текучестью: .

Формула потока импульса позволяет нам получить выра-жение для силы трения между двумя слоями жидкости или газа (формула Ньютона):

. (2.11)

Размерность коэффициента вязкости – . Он численно равен силе вязкости, возникающей между слоями площадью при градиенте скорости, равном единице. Коэффи-циент вязкости определяет быстроту передачи импульса из одного слоя потока в другой. Коэффициент вязкости может быть получен из коэффициента диффузии:

(2.12)

Иногда вместо динамического коэффициента вязкости применяют кинематический коэффициент вязкости , который совпадает с коэффициентом диффузии. Вязкость газов не зависит от давления и пропорциональна . Вязкость жидкостей уменьшается с увеличением темпера-туры. Это связано с тем, что в жидкостях молекулы нахо-дятся на сравнительно небольших расстояниях друг от дру-га. Поэтому их подвижность сильно ограничена межмоле-кулярным взаимодействием. Каждая молекула находится в силовом поле, созданном соседними молекулами. Это поле можно представить в виде большой совокупности потен-циальных ям (минимумов потенциальной энергии). Потен-циальные ямы расположены друг от друга на расстояниях того же порядка, что и размеры молекул. Для того, чтобы молекула перескочила из одной потенциальной ямы в другую, она должна обладать кинетической энергией, боль-шей высоты потенциальной ямы. Поэтому коэффициент вязкости изменяется с температурой, и эта зависимость имеет вид:

, (2.13)

где – константа, слабо зависящая от температуры;

– энергия, необходимая молекуле для скачка из од-ного положения в другое, называемая энергией активации молекулы;

– постоянная Больцмана;

– абсолютная температура.

Процесс переноса энергии

Это процесс лежит в основе явления теплопроводности. Если в некоторой среде возникает градиент температуры, то возникает поток тепла. В этом случае переносимой вели-чиной будет средняя кинетическая энергия теплового дви-жения одной молекулы . Плотность потока тепла составит

. (2.14)

Переносимую величину представим в виде:

(2.15)

где – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Отсюда получаем

. (2.16)

Умножив и разделив на массу молекулы, и учтя, что – плотность вещества и – удельная теплоемкость вещества, получаем выражение для теплового потока через единичную площадь:

(2.17)

где

(2.18)

– коэффициент теплопроводности.

Окончательно,

. (2.19)

Полученное соотношение называется законом Фурье. Теплопроводность не зависит от давления и пропорцио-нальна .

Коэффициент теплопроводности может быть получен из коэффициентов диффузии и вязкости:

. (2.20)

Коэффициент теплопроводности имеет размерность и численно равен энергии, переносимой в виде теплоты за 1 секунду через плоскую поверхность площадью при градиенте температуры, равном единице.

Общими свойствами всех трёх коэффициентов является то, что эмпирически определив , и , мы можем вы-числить длину свободного пробега и эффективный диа-метр молекул .

Лабораторная работа №4

Измерение коэффициента теплопроводности воздуха методом НАГРЕТОЙ НИТИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное определение коэффициента тепло-проводности воздуха, находящегося вокруг нагретой элек-трическим током нити. В работе определяется электричес-кая мощность, выделяемая в нити и температура нити.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Тела, находящиеся при различных температурах, могут обмениваться внутренней энергией. Перенос энергии, теп-лообмен – это самопроизвольный, необратимый процесс распространения тепла в пространстве, обусловленный раз-ностью температур.

Различаются три основных способа переноса тепла.

1. Теплопроводность – перенос, обусловленный взаимо-действием микрочастиц соприкасающихся тел, имеющих равную температуру.

2. Конвекция – перенос вследствие пространственного перемещения вещества.

3. Теплововое излучение – перенос посредством электро-магнитного поля с двойным взаимным превращением теп-лоты в энергию поля и наоборот.

В реальных тепловых процессах, как правило, перенос тепла осуществляется одновременно тремя способами. В данной работе изучается первый из них.

При отсутствии конвекции (макроскопического пере-мешивания теплых и холодных масс воздуха) перенос тепла происходит благодаря теплопроводности, связанной с теп-ловым движением молекул. Молекулы при этом обме-ниваются энергией, поэтому в основе теплопроводности ле-жит процесс переноса энергии. Поток тепла при этом оп-ределяется градиентом температуры:

, (2.4.1)

где – мощность, пересекающая воображаемую площадку , установленную перпендикулярно тепловому потоку;

– координата, вдоль которой направлен градиент тем-пературы ;

– коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим случай, когда поток тепла направлен от нагретой нити к стенкам внешней цилиндрической оболоч-ки (рис. 2.4.1)

При нагревании нити вдоль ра-диуса трубки создается градиент температуры. Площадь, через кото-рую передается тепло, равна пло-щади поверхности цилиндра, ко-аксиального с нагретой нитью. При этом поток тепла через любую промежуточную цилиндри-ческую оболочку радиуса () и площадью можно определить, пренебрегая утечками тепла через тор-цы цилиндра:

, (2.4.2)

где – длина цилиндра радиуса ,

– интервал времени

Из (2.4.2) получим выражение для мощности теплого по-тока через внутреннюю цилиндрическую поверхность труб-ки радиуса . По определению, мощность теплого потока:

.

Полученное дифференциальное уравнение решим мето-дом разделения переменных:

.

Поскольку , проинтегрируем левую часть от ра-диуса нити до радиуса трубки , а правую – от темпе-ратуры нити до температуры стенок трубки . С учетом знаков получим:

, ,

. (2.4.3)

Опыт проводится при постоянной температуре трубки, равной . При этом увеличение электрической мощности, выделяемой в нити, на величину приводит к воз-растанию ее температуры на . Поэтому из (2.4.3) сле-дует

. (2.4.4)

Так как вблизи нити теплопроводность воздуха опреде-ляется температурой нити, то в (2.4.4) величина относится к температуре . При возрастании температуры нити на дополнительный перенос мощности на от нити к стенки трубки определяется только теплопровод-ностью слоя воздуха в близи нити. Из соотношения (2.4.4) получим

(2.4.5)

Для определения производной необходимо знать зависи-мость , которую находят по экспериментальным данным.

Мощность теплового потока находится по нап-ряжению , измеренному на нити, и току , теку-щему через образцовое сопротивление и нить. Для оп-ределения тока измеряется напряжение на образцовом со-противлении . Температура нити определяется из отно-шения

, (2.4.6)

где – сопротивление нити при , Ом;

– сопротивление нити при температуре опыта, Ом;

– температурный коэффициент сопротивления мате-риала нити, .

Формула (2.4.5) позволяет по найденной эксперимен-тальной зависимости определить .

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

Метод определения теп-лопроводности воздуха, при-меняемый в данной работе, носит еще название метода Шлейермахера.

Нагреваемая вольфрамо-вая проволока-нить 5 (рис. 2.4.1, 2.4.2) находится в цилиндрическом стеклян-ном баллоне 2 с двойными стенками, между которыми залита вода. Температура во-ды в баллоне 2 и, следова-тельно, температура стенки трубки 3 постоянна в те-чение опыта. Баллон с нитью укреплен в модуле 1, кото-рый находится на лаборатор-ном стенде. На панели моду-ля расположены электричес-кие разъемы 6 и 7 для соеди-нения его с измерительными приборами. Нить 5 через разъ-емы 7 подключается к блоку питания. Напряжение на нити измеряется цифровым вольтметром, подключенным к разъемам блока питания, ток в нити определяется по падению напряжения на заданном образцовом сопро-тивлении .

Величина измеряется милливольтметром, подключен-ным к разъемам 6.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Выпишите данные установки, условия опыта, получен-ные значения занесите в таблицу 1:

Таблица 1

Данные установки
Радиус нити, мм
Внутренний радиус трубки, мм
Сопротивление нити при , Ом
Температурный коэффициент сопротив-ления нити, 1/град
Длина нити, см
Образцовое сопротивление, Ом

2. Убедитесь в том, что все приборы выключены. Повер-нуть регулятор напряжения блока питания против часовой стрелки до упора. Включить стенд.

3. Соединить проводами разъемы 7 с разъемами блока питания, разъемы 6 с разъемами микромультиметра.

4. Определить значения напряжений, при которых прово-дятся измерения. Эти значения не должны превышать 6 вольт!! Рекомендуемые значения напряжений, устанавлива-емые на блоке питания:1,2,3,4,5,6 вольт.

5. Установить первое значение напряжения на нити, сле-дя за показаниями вольтметра.

6. Произвести отсчет на нити по вольтметру, напря-жение на образцовом сопротивление по микромульти-метру (температура в воды в термостате приблизительно равна комнатной и в течение работы практически не из-меняется).

Результаты измерений занести в таблицу 2.

Таблица 2

Результаты измерений

№ опыта
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6

7. Пункты 5 и 6 повторить для следующих значений нап-ряжений, устанавливаемых на нити.

8. Понизить напряжение на нити. Выключить приборы и стенд.

9. Используя выражение и формулу (2.4.6), вы-числить мощность Р, выделяемую нитью при различных значениях ее температуры ТН. По полученным результатам построить график зависимости и определить про-изводную . Методика определения производной по гра-фику функции приведена в Приложении 2.

10. Вычислить, используя (2.4.5), коэффициент теплопро-водности воздуха для различных значений температуры .

11. Рассчитать относительную погрешность расчета теп-лопроводности нити по формуле:

,

где – ошибка вычисления производной

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте различные способы переноса тепла между телами.

2. Что такое процессы переноса, перечислите их.

3. Что общего во всех явлениях переноса?

4. Каков механизм процессов переноса?

5. Запишите общую формулу для всех процессов переноса.

6. Какой из процессов переноса лежит в основе явления диффузии?

7. Какой из процессов переноса лежит в основе явления вязкости?

8. Какой из процессов переноса лежит в основе явления теплопроводности?

9. Что характеризует коэффициент теплопроводности тел?

10. Каким образом измеряется температура нити в данной работе?

11. Есть ли ограничения на величину градиента темпера-туры в данной работе?

12. Есть ли ограничения на величину градиента темпера-туры при определении теплопроводности жидкостей?

13. Есть ли ограничения на величину градиента темпе-ратуры при определении теплопроводности твердых тел?

14. Какова размерность коэффициента теплопроводности?

15. Как зависит от давления коэффициент теплопровод-ности газа?

16. Завышенное или заниженное значение коэффициента теплопроводности мы получим в эксперименте, если тепло-излучение играет существенную роль при теплопередаче?

17. В каком газе больше коэффициент теплопровод-нос-ти – в гелии или водороде? Температура давления одина-ковая, длины свободного пробега равны.

18. Как зависит коэффициент теплопроводности от коэф-фициента диффузии?

19. Как зависит коэффициент теплопроводности от коэф-фициента вязкости?

20. В каких случаях возникают процессы переноса?

21. Что такое длина свободного пробега молекулы?

22. Как длина свободного пробега молекулы зависит от тем-пературы газа (при постоянном давлении)?

21. Что такое эффективный диаметр молекулы?

22. Как изменяется эффективный диаметр молекулы при повышении температуры газа – увеличивается или умень-шается?

23. Что такое конвекция?

24. Что такое тепловое излучение?

25. Какими способами происходит теплообмен при реаль-ных тепловых процессах?

26. Как определяется мощность теплового потока в дан-ной работе?

27. С какой целью в стеклянный баллон, окружающий труб-ку с нитью, заливается вода?

28. Оцените мощность Р, выделяемую нитью при различ-ных значениях ее температуры ТН

29. Как в данной работе рассчитывается ошибка вычис-ления производной ?

30. Как в данной работе определяются ошибки таблич-ных данных?