Задачи

ЗАДАЧА № 1

При измерении температуры установлено, что массив результатов измерений можно считать случайными величинами с нормальным законом распределения, имеющим следующие параметры:

§  Математическое ожидание – mt =27,1

§  Среднее квадратическое отклонение – σ1 = 0,9 °C

Вычислить вероятность выполнения неравенства

t1 ≤ t ≤ t2 , где t1 = 26,25 °C, t2 = 27,65 °C

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи воспользуемся интегралом вероятностей (функцией Лапласа). Для этого сформулируем независимую переменную

t1 – mt t2 – mt

следующего вида z1 = ───── ; z2 = ───── . Теперь, по таблицам

σt σt

интеграла вероятностей Ф(z), предоставленным в приложении [1], пользуясь числовыми значениями z1 и z2, находим соответствующие значения Ф(z1) и Ф(z2).

Искомая вероятность

Ведем расчет:

26,25-27,1 27,65-27,1

z1 = ──────── = 0,94 z2 = ──────── =0,61

0,9 0,9

Далее воспользуемся следующим свойством интеграла вероятностей

Ф(–z) = – Ф(z), т. е.

Р (t1 ≤ t ≤ t2) = Ф(z2) – (–Ф(z1)); Ф(–z1) = 1 – Ф(z1) =

Ф(z1) + Ф(z2) – 1 = 0,826+0,729-1=0,555

ОТВЕТ:

Р (t1 ≤ t ≤ t2) = Ф(z2) – Ф(z1) = 0,555

ЗАДАЧА № 2

Результаты измерений температуры t°C являются случайными величинами с распределением по нормальному закону с параметрами:

§  Математическое ожидание – mt = 20,1

§  Средним арифметическим отклонением – σ1 = 0,8 °C

Определить интервал ∆t, для которого вероятность Р удовлетворения неравенства │t – mt│≤ ∆t = 0,78

РЕШЕНИЕ

Используя интеграл вероятностей, находим

∆t ∆t ∆t ∆ t Р + 1

Р = Ф (──) – Ф(──) = 2Ф(──) – 1, отсюда Ф (──) = ──── = 0,89

σ1 σ1 σ1 σ1 2

Обращаясь к таблицам интеграла вероятностей в приложении к [1], находим числовое значение аргумента в круглых скобках, т. е.

∆t

── = 1,23 ∆t =0,984

0,8

ЗАДАЧА №3

Измерения случайной величины х подчинены нормальному закону распределения

§  Математическое ожидание – mх

§  Дисперсией – σˉ2

Вычислить вероятность выполнения неравенства │х – mх│≤ 0,8σх

РЕШЕНИЕ

Сформулируем случайную величину для функции интеграла

х – mх

вероятностей │────│≤ 0,8. По таблицам для интеграла вероятностей по

σх

значению z = 0,8 находим соответствующее значение интеграла вероятностей

Ф (z = 0,8 ) = 0,79 Искомая вероятность Р = 2Ф ( 0,8 ) – 1 = 0,58

ЗАДАЧА № 4

Результаты измерений давления р (МПа) являются случайными величинами, подчиненными закону равномерного распределения и находятся в пределах р1 ≤ р ≤ р2, где

§  р1 = 1,5 МПа

§  р2 = 1,4 МПа

Найти математическое ожидание mр и дисперсию σ²р для измеренных величин давления.

РЕШЕНИЕ

Формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид

р1 + p2 (p2 – p1)2

mp = ───── ; σ²р = ───── .

2 12

Подставив численные значения р1 и p2

1,5+2,4 (2,4-1,5)2

mp = ───── =1,95 σ²р = ───── =0,0675.

2 12

получим mp = 1,95 МПа

σ²р = 0,0675( МПа) 2

ЗАДАЧА № 5

Результаты измерений давления р(МПа) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с σ²р = МПа.

Вычислить вероятность выполнения неравенства

р1 ≤ р ≤ р2, где

§  р1 = 1,575МПа

§  р2 = 1,665МПа

РЕШЕНИЕ

Искомая вероятность определится как отношение площади на графике плотности вероятностей, ограниченной прямыми 1/(х2 – х1) и

р1 = 1,55МПа, р2 =1,665МПа к площади, ограниченной предельными значениями р01 и р02 , которые находятся по известным соотношениям

находятся по известным соотношениям ; , см. рис.

f(p)

с=

 

р01 р1 р2 р02 p, Мпа

Р= ==0,035

ЗАДАЧА № 6

Термометр, имеющий шкалу tmin =0 °С – tmax =60,0°С

и класс точности С =0,6

Определить ∆t – значение граничной абсолютной погрешности термометра

РЕШЕНИЕ

Значение приведенной погрешности в соответствие с определением класса точности определяется зависимостью

δприв t = C\100=0,6/10=0,006

Искомое значение граничной абсолютной погрешности определяется по формуле ∆t = δприв t (tmax – tmin ) = 0,006∙600=3,6°С

ЗАДАЧА № 7

Определить класс точности манометра, рабочий диапазон которого от рmin = 0,05 МПа, до рmax =2,5МПа и граничная погрешность ∆р =0,035МПа

РЕШЕНИЕ

Приведенная погрешность манометра выражается следующим образом

∆р 0,035

δрр = ─────── = ─────── =0,01

рmax – рmin 2,5-0,05

ближайшим подходящим из стандартного ряда для величины δрр =0,01∙100=1

является число 1, что дает основание считать данный манометр прибором класса точности 1.

ЗАДАЧА № 8

Измерение разности давления осуществляется при помощи двух манометров класса точности С =0,5. Диапазоны измерений манометров ∆р = 1,8МПа.

Найти минимальную разность давлений, которую можно измерить данными манометрами с точностью 3%.

РЕШЕНИЕ

Измерение разности давления при помощи двух манометров осуществляется по формуле ∆р12 = р1 – р2, дает погрешность

δ∆р12 = δр1 + δр2 , где = δр1 и δр2 абсолютные погрешности измерения давления манометрами соответственно первым и вторым.

Согласно определению класса манометров

С ∙ ∆р 0,5∙1,8

δр1 = δр2 = ─────── = ─────── = 0,009 МПа

Заданная относительная погрешность измерения при таком способе

δ∆р12

измерения разности давления будет ───── ∙ 100 = 3 (%)

∆ризм

Откуда искомая минимальная измеримая с заданной точностью разность давления

0,009=0,009

∆ризм = ───────── ∙ 100 = 6МПа

3

ЗАДАЧА № 9

Вычислить относительную погрешность р измеренного давления

р=0,55МПа манометром класса С = 0,6 с диапазоном показаний ∆р = 2,3МПа

РЕШЕНИЕ

В соответствие с определением класса манометра абсолютная погрешность ∆абср = С ∙ ∆р/100МПа =0,6∙2,3/100 = 0,0138МПа.

Тогда искомая относительная погрешность δр = ∆р/р =0,0138/0,5=0,0276 = 2,76(%)

ЗАДАЧА № 10

По результатам 10 измерений были получены статистические характеристики температуры: оценки математического ожидания mt и среднего квадратичного отклонения (с. к.о.) St = 1С°

Вычислить: 1) при условии нормального распределения результатов измерений температуры доверительную вероятность выполнения неравенства │mt - mt│≤ 0,73°С

2) для заданной доверительной вероятности ß = 0,8 определить доверитель - ный интервал для дисперсии.

РЕШЕНИЕ

1) Первую часть задачи решаем, используя распределение Стьюдента, для

чего сформируем случайную величину

│mt - mt│

tß = ─────── N - = ( 0,73∙√10) /1 = 2,3

St

По таблице распределения Стьюдента (приложение 2 [1]) для N-1 =10-1 = 9

По значению tß =2,3 находим искомую вероятность ß = 0,97, для чего необходимо выполнить операцию линейной интерполяции между двумя значениями ß = 0,95 (tß = 2,262 ) и ß =0,98 (tß = 2,821 )

2) Вторая часть задачи решается с использованием распределения

х² (хи-квадрат), называемой еще и распределением Пирсона, т. к. это распределение является наиболее употребимым из ряда распределений Пирсона. Случайная величина, подчиняющаяся этому закону распределения

S²t (N - 1)

формируется следующим образом V = ──────

σ²t

Определение двустороннего интервала требует задания доверительной вероятности как для нижней, так и для верхней границ интервала. В

1 – ß 1 + ß

простейшем случае р1 = ────── ; р2 = ────── . откуда для заданной ß =

2 2

имеем р1= 0,1 ; р2= 0,9 . По таблице распределения Пирсона (приложение 3 [1]) по значению N–1= 9 ; р1= 0,1 ; р2=0,9 находим V1ß = 2,088 и V2ß =14,684

Искомый доверительный интервал для дисперсии имеет вид

S²t (N – 1) S²t (N – 1)

────── ≤ σ²t ≤ ────── ,

V1ß V1ß

после подстановки числовых значений

1∙9 1∙9

──────── = 4,31 ≥ σ²t ≥ ──────── = 0,61 или

2,988 14,684

Р(0,61≤ σ²t≤4∙31)=0,8

ЗАДАЧА № 11

Количество теплоты, отводимое от теплообменного аппарата, может быть определенно на основе косвенных измерений по формуле Q = Gc (t1– t2),

где G – расход рабочего тела (кг/с); t1 и t2 – температура рабочего тела на выходе и входе теплообменного аппарата; с – удельная теплоемкость рабочего тела (Дж/кг), является заданной характеристикой. Величины G, t1, t2

– определяются путем прямых измерений расхода и температуры при с. к.о. погрешностей измерения σG =0,5 кг/с, σt1= σt2 = 0,5°С. Вычислить σQ – с. к.о. погрешности измерения Q при с = 4,19∙103 Дж/кг ∙°С, G =50кг/с, t1 = 25°С, t2 =8 °С.

РЕШЕНИЕ

Исходим из того обстоятельства, что измеряемые параметры, входящие в формулу (*) статистически независимы. В этом случае дисперсия σQ² равна сумме дисперсий параметров, измеряемых прямыми методами, умноженных на весовые коэффициенты, равные квадратам частных производных от Q по этим параметрам, т. е.

Q Q Q

σQ² = (───)²σG² + (───)²σ t1² + (───)²σ t2²

G t1 t2

Найдем частные производные

Q Q Q

─── = c (t1– t2), ───) = Gc, ─── = – Gc

G t1 t2

Подставим численные значения измеренных величин

Q Q Q

─── = 71,23 ∙10³ , ─── = 25∙10³ , ─── = -25 ∙10³

G t1 t2

Просуммировав квадраты полученных числовых значений частных производных, умноженных на дисперсии, получим:

σQ² = ( 71,23 ∙10³)² ∙ 0,5 ² + 2 ( 25∙10³)² 0,5² = или σQ = 39761 (Дж)

ЗАДАЧА № 12

Температура t°С может быть оценена с помощью косвенного измерения на основе формулы, выражающей зависимость величины термосопротивления (ТС) меди от температуры в виде

Rt = R0 (1+αt), (***)

где α – температурный коэффициент сопротивления меди

Rt, R0 – величина ТС при 0°С и при t°С соответственно.

U

Сопротивление Rt определяется по формуле Rt = ── ─ Rл (****)

I

где Rл – сопротивление подводящих проводников,

U – падение напряжения

I – сила тока

Величины U и I, измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с погрешностями ∆U =0,01В, ∆I = 0,01А.

Вычислить погрешность измерения температуры ∆t при U = В, I = 0,63А, α = 4,26 ∙10ˉ³ (°С)-1 , значения погрешностей Rл, R0 считаем ничтожно малыми.

РЕШЕНИЕ

Объединяя формулы (***) и (****), после преобразований получим

1 1 U R0

t = ── (Rt – R0) = ── (── ─ Rл) ─ ──

α α I α

Используем аналог полного дифференциала от функции:

t t

∆t = │───│∆U + │───│∆I

U I

Определим частные производные от t по U и I:

t 1 t U

─── = ───; ─── = ─ ───

U α I I α I²

Находим численные значения частных производных и подставляем их в формулу (х)

t 1 t 10

─── = ─────── = 3,73 ∙10² ; ─── = ─────── = 5,91 ∙10³

U 4,26 ∙10ˉ³∙0,63 I 4,26∙10ˉ³∙0,63²

∆t = 3,73∙10²∙10ˉ4+5,91∙ 10³∙ 10ˉ4 =0,6281 °С

Список используемой литературы

1.  , Жужжалов , стандартизация и сертификация. М.: МГТА – 2003.-77с.

2.  , Ястребов , стандартизация и технические средства измерений. М.: «Высшая школа». – 2002.-205с.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

Контрольная работа

по «Метрологии, стандартизации и сертификации»

студента факультета У и И

3курса

спец. 220301

Ширяева Максима Григорьевича

(-07)

Москва 2010 г.