Проблема регуляризации Земли, редукции силы тяжести

Проблема регуляризации Земли. Редукции силы тяжести.

Проведенные «теоретические» исследования подвели непосредственно к задаче гравиметрического исследования реальной фигуры Земли. Мы показали уже, что в принципе, с точностью до величин порядка квадрата сжатия, эта фигура есть сфероид с вполне теперь надежно выясненными «параметрами». Однако две проблемы пока еще остаются.

Во-первых, это очевидная проблема формы части Земли, покрытой материками. Здесь, понятно, любая теоретическая фигура есть лишь основа для конкретных определений истинной фигуры.

Во-вторых, уровень геофизических (а также, геодезических, астрономических и т. д.) задач в настоящее время возвысился уже до (потребностей) точностей, перекрывающих точности приближения сфероидов (те самые десятки – до сотни – метров различия между сфероидом и геоидом) при задании фигуры, и требует соответствующих корректив.

Постановка проблемы Стокса и рассмотренная нами схема ее решения как раз и ведут к дальнейшему уточнению фигуры Земли, по крайней мере в тех местах Земли, где это имеет «физический» смысл, т. е. на открытых акваториях. С материками, как будто бы, с ее решением ничего не изменяется.

Проблема регуляризации Земли (Гр., Б., 242)

Теорема Стокса устанавливает единственность построения потенциала силы тяжести на поверхности Земли и во всем внешнем пространстве, независимо от распределения масс, при условии, что за поверхность Земли принята уровенная поверхность, целиком охватывающая эти массы. Истинную уровенную поверхность – геоид – мы аппроксимируем в виде эллипсоида вращения; мы должны выбрать его так, чтобы все массы были внутри его.

Однако если рассматривать наилучший эллипсоид, то неизбежно остаются массы, выступающие за поверхность эллипсоида, например, континенты. Возникает задача построения такой идеальной Земли, у которой все массы лежат внутри ограничивающей ее уровенной поверхности. Операция устранения выступающих за уровенную поверхность масс получила название регуляризации Земли. Возможны два основных пути решения этой задачи:

1.  "Перенесение" всех масс внутрь уровенной поверхности. При этом необходимо заботиться о том, чтобы общая масса Земли и, значит, форма уровенной поверхности изменились по возможности мало. – Простое снятие масс без переноса внутрь вызывает большие деформации уровенной поверхности и поэтому не годится при решении задач, связанных с определением фигуры Земли. Такая регуляризация требует знания распределения масс в земной коре.

2.  Отказ от уровенной поверхности, близко совпадающей с реальной Землей, и построение поверхности относимости на высоте, охватывающей все выступающие массы Земли, например, на высоте 10 км (геоид Бриллюэна). Задача тогда решается строго, но уже слишком ограничена ее практическая ценность.

В этом смысле наиболее удобен все же геоид Листинга (Иоганн Бенедикт, 1808 – 1882, немец, математик, физик), введенный им в 1873 г., так как он на двух третях поверхности Земли (т. е. на океанах) точно совпадает с физической поверхностью Земли, а на остальной территории проходит в основном на расстоянии нескольких сотен метров под физической поверхностью Земли и лишь в районах плоскогорий и горных цепей отдален от поверхности Земли на несколько километров.

Итак, по схеме Стокса, фигура Земли может быть определена по результатам измерений значений g (и значит, Dg) на геоиде.

Однако, жизнь такова, что даже для собственно геоида (т. е. на океанах) наблюдения силы тяжести не относятся точно к нему.

Реальные наблюдения силы тяжести могут производиться на физической поверхности Земли, на разных высотах над Землей, под Землей и под водой. Ясно, что так различно отнаблюденные, они напрямую несопоставимы между собой; тем более несопоставимы они с нормальным гравитационным полем эллипсоида относимости. Схема же Стокса требует, чтобы все они были мерой поля единой уровенной поверхности.

Так возникает редукционная проблема, т. е. проблема сведения результатов измерений силы тяжести g к этой единой поверхности. Естественно, что такое сведение-пересчет должно выполняться так, чтобы учесть и влияние масс, расположенных между точкой наблюдения и поверхностью относимости. В этом смысле редукционная проблема совпадает с проблемой регуляризации Земли.

Замечание: Впрочем, не всякая редукция ведет к регуляризации Земли. Действительно, для выполнения редукции необходимо знание высот точек измерения g над эллипсоидом – так называемые геодезические высоты. А они неизвестны, поскольку из нивелировок получаются высоты точек над геоидом (хотя и это не совсем точно). Будем успокаивать, однако, себя тем, что геоид практически неопределим, зато строго определяются высоты над квазигеоидом, который совпадает с геоидом на океанах и отклоняется от него до 2 м в горных областях.

Редуцирование необходимо во всех приложениях гравиметрии, однако в различных случаях к нему предъявляются разные требования. При решении вопроса о фигуре Земли и прочих вопросов геодезической гравиметрии необходимо строгое сохранение условия – учет и "устранение" эффекта любых масс вне уровенной поверхности (поверхности приведения). В гравиразведке достаточно лишь надежного выделения аномалий от неоднородностей массы в исследуемом "объеме" коры (явная зависимость от уровня задач!). Нам, для проведения схемы Стокса, естественно, необходимы самые строгие рассмотрения (в меру принципиальной возможности).

Но, на удивление, эта строгая редукция (поправки) практически является наиболее простой и понятной операцией с измеренным полем и состоит единственно из нее. А именно, речь идет о редукции в свободном воздухе.

Действительно. – Нас интересуют значения g на геоиде – поверхности, определяемой нивелированием как "продолжение" уровня (поверхности) Мирового океана (ортометрические высоты места наоборот). И мы просто измерения g, выполненные на ненулевой высоте, пересчитываем на нулевую.

Редукция в свободном воздухе

Смысл редукции состоит в том, чтобы произвести приведение наблюденных значений силы тяжести в точках Ai (H ≠ 0) к поверхности начала отсчета – точке Bi (H = 0). При этом не принимается во внимание роль и влияние масс (если они есть) между уровнями Ai и Bi.

Это редуцирование, зная градиент , произвести очень просто (было бы). Вся операция обеспечивает опускание (к примеру) значения g из Ai в Bi с одновременным опусканием на столько же и всех масс (и их влияния на g) под уровень Bi. В принципе, это и есть полная регуляризация, хотя, возможно, на антиподной точке Земли все массы настолько же вылезут наружу: но это далеко и мало влияет на наш анализ.

Учитывая принципиальный характер этой редукции, рассмотрим ее поподробнее, учтя даже эллипсоидальность Земли.

Так, для шаровой Земли: (H – высота ≡ z, R – радиус Земли)

. Но – нормальное поле (для шара).

Тогда

–вертикальный градиент g.

Откуда , и для "высотного" приращения g имеем:

.

Или, для g = 979773 мГал, R = 6371087 м в численном виде имеем:

gH – g0 = 0,3086 · H (мГал), где H – в метрах.

Учтем сфероидальность (эллипсоидальность) Земли. Уравнение Пуассона (случай произвольно выбранной точки наблюдения, т. е., в частности, и внутри объекта – эллипсоида):

d – плотность Земли.

Для нормального поля на его поверхности можно записать:

.

Уравнение Пуассона станет:

.

Перейдя к нормальному полю вне эллипсоида (d = 0) и выбрав оси координат в плоскостях меридиана и первого вертикала ( меридианной), получаем:

, 20

где M – радиус кривизны меридианного, а N – первовертикального сечений.

Из дифференциальной геометрии имеем:

, (j – широта "места").

А радиус кривизны N определится как:

, где – радиус кривизны параллели (сечения, отвечающего широте j и параллельного экватору).

Тогда

.

Подставляем эти выражения для M и N и, сохраняя величины порядка сжатия, имеем:

.

Подставив g, a, e (числа), получим выражения для «поправки за свободный воздух»:

(мГал).

H – в метрах. Эллипсоидальность учтена здесь учетом широты j.

Редукция в свободном воздухе, итак, учитывает изменение нормальной силы тяжести с высотой. Приближенно она такова же и для реального поля.

Реально изменение g с высотой равно приблизительно 1 мГал (1 мГл) на 3 м высоты. Отсюда вытекают требования к точности определения высот при гравитационной съемке.

Рабочая точность для g не ниже ± 0,01 мГл. Для того, чтобы ошибки определения высот не искажали смысла гравиметрических измерений, требуется определять высоты с точностью ± 0,03 м (либо м). Такая точность, бесспорно, обременительна, особенно при массовых гравиметрических определениях.

Поправка за рельеф местности

Это вторая обязательная (при проведении работ по схеме Стокса) поправка по исправлению гравиметрических данных.

Совместно выполненные – редукция в свободном воздухе с добавлением поправки за рельеф местности, – носят название редукции Фая, или Гельмерта.

Поправка за рельеф местности имеет целью учесть влияние притяжения всех форм внешнего рельефа и привести значение силы тяжести в данной точке к такому, которое было бы, если бы под точкой располагался (в ближайшей ее окрестности) ровный слой масс, без выступов и впадин.

Поправка за рельеф местности всегда увеличивает наблюденное значение силы тяжести независимо от того, находятся ли вблизи исследуемой точки возвышенности или, наоборот, впадины. Как наличие избыточных масс "сверху", так и недостаток их "снизу" в равной мере уменьшают силу g относительно того значения ее, которое должна бы иметь эта величина в случае равномерного заполнения всей области массами, "снятыми" сверху и "заполнившими" углубления.

Введение поправки за рельеф обязательно при любых редукциях, поскольку уж слишком ее смысл очевиден.

Замечание. Влияние рельефа, казалось бы, распространяется и на форму геоида. Однако, будучи близки к измерителю, элементы рельефа могут сильно влиять на результаты данных по g, но до того, чтобы сказаться на форме геоида, это влияние, за дальностью, не доходит на деле. Поэтому и требуется коррекция результатов измерений именно на «начальном этапе».

Для учета влияния рельефа применяют способы:

1)  разбиение местности на участки-призмы, усредненные по ряду параметров, – и учет влияния их по-отдельности;

2)  представление местности в виде наклонной плоскости и учет влияния такого клина;

3)  введение поправки по характерным точкам.

Охарактеризуем эти способы.

I. «Разобьем» все окружающее пространство на цилиндрические пояса и рассмотрим часть одного из них – призму abcdefig. Оценим притяжение, создаваемое этой призмой в точке O. Высота призмы – H, внутренний радиус – a1, внешний – a2. Для того, чтобы определить притяжение от кольца в целом, надо сосчитать разность действия цилиндров радиусов a2 и a1. Не вдаваясь в геометрию, имеем (см. Груш., Б., с. 253):

Если точка O (точка наблюдения) лежит на верхней грани призмы, то z2 = 0, и имеем

.

Если наша призма есть 1/n часть всего кольца, то делим на n:

21

Здесь z1, очевидно, глубина, до которой "учитывается" рельеф.

Рельеф в целом учитывается так:

а) разбиваем местность по топографической карте на криволинейные (цилиндрические) призмы по оптимальной схеме. По формуле 21 рассчитываем их притяжение dig;

б) полученные dig складываем.

Обычно используются палетки – их накладывают на гипсометрическую карту центром в исследуемую точку. Для каждой трапеции оценивается средняя высота места, т. е. толщина (z2 – z1) и высота точки над призмой – z.

Замечание: Если высота точки наблюдения z1 ≠ 0 и z2 ≠ 0, то 21 есть:

.

Полная поправка по палетке:

.

Влияние рельефа убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, так что далекие формы рельефа учитывать уже не надо. Да и практически вводить их надо только для сильно всхолмленной и горной местности.

II. Второй способ основан на применении формулы: , дающей вертикальную компоненту притяжения масс, заключенных в "цилиндрическом" клине с горизонтальной нижней гранью. Такой расчет выгоден для:

1)  ровной, но наклоненной в одну сторону местности,

2)  в случае двустороннего ската

3)  в случае седловины и ряда других рельефов.

Практически, и здесь уже разработаны системы таблиц, номограмм.

III. Поправки по характерным точкам вводятся выбором на местности наиболее значимых форм рельефа, оценкой их влияния и последующей интерполяционной схемой учета всего промежуточного рельефа (по линейному или гиперболическому закону, например). Здесь опять активно пользуются таблицами и номограммами.

Остальные «редукции», которые применяются при гравиметрических работах, не имеют применения при анализе фигуры Земли в общем случае; больше применяются, например, в разведке. Но мы, однако, кратко рассмотрим их с целью одновременной физической интерпретации их смысла и места в гравиметрии.

Поправка за притяжение промежуточного слоя

При ее введении исходят из того, что при измерениях g на физической континентальной поверхности, кроме факта, что точка A измерения g поднята на высоту H над геоидом, имеет место наличие пород между A и геоидом, которые «должны» создавать дополнительное к нормальному притяжение. Учет этого притяжения – введение поправки Буге.

Обычно поправка Буге вычисляется в приближении, что «промежуточный» слой конечен по толщине (мощности), но бесконечен по простиранию.

Для такого горизонтального бесконечного слоя толщиной H имеет место: – независимо от расстояния до слоя.

Численно эту поправку Буге можно записать:

.

d – плотность в г/см3, H – метры.

После введения в данные о g поправок Буге и за высоту места (в «свободном воздухе») получаем «аномалию Буге»:

, или

.

Уменьшение g за счет поднятия "компенсируется" промежуточными массами только тогда, когда , т. е. при плотностях выше средней по Земле.

Поправка Буге «регуляризует» Землю, но делает это посредством устранения внешних (по отношению к поверхности относимости) масс. При этом, с одной стороны, удовлетворяется требование схемы Стокса об отсутствии «внешних масс». Однако, с другой стороны, при этом, по отношению к теоретической Земле (опорной поверхности) набор экспериментальных данных о g уже отвечает планете с другой массой. Конечно, получаемый при этом расчетный геоид окажется искаженным.

В силу этого аномалии Буге неприменимы в практике (и теории) фигуры Земли.

Топографическая поправка

Отнесение наблюденного g к геоиду с исключением притяжения всех выступающих за геоид масс на всей Земле называется полной топографической редукцией (и соответствующая поправка того же названия).

Конечно, в большинстве случаев достаточно ограничиться учетом лишь ближайших масс – неполная топографическая редукция,– когда учитывают массы в радиусе ~ 200 км. Имеются таблицы Хейфорда, к примеру, для радиуса 166,7 км.

Практически, обычно поправка выполняется как поправка за притяжение бесконечной плоской пластины, отражающей по мощности окружающую картину континентов вблизи (~ 200 км) исследуемой точки.

Поправка Прея

Эта редукция состоит в том, что наблюденное в точке A на физической поверхности Земли значение силы тяжести редуцируется на геоид без какого-либо смещения масс, т. е. редукция как бы переносит (опускает) точку наблюдения внутрь Земли на глубину, равную ортометрической высоте точки наблюдения. Эта редукция состоит из следующих операций:

1.  Сглаживание рельефа введением поправки за рельеф.

2.  Снятие влияния промежуточного слоя введением поправки Буге за промежуточный слой.

3.  Перенос точки (привязки поля) на уровень геоида редукцией в свободном воздухе (при отсутствии промежуточных масс).

4.  Восстановление масс, снятых при операции 2 введением поправки Буге.

Формула для введения редукции Прея получается вычитанием из редукции в свободном воздухе двойной поправки за влияние промежуточного слоя. Запишем это в виде:

.

d – знак поправки, s – плотность пород слоя, sm – средняя плотность Земли.

В числовом выражении при s = 2,3; sm = 5,517:

.

По смыслу редукция Прея показывает изменение силы тяжести при погружении в глубь Земли.

Редукцию Прея с обратным знаком необходимо вводить в наблюдения g на подводных лодках.

Изостатическое равновесие

Общая посылка: Земная кора находится в состоянии равновесия по отношению к несущей ее мантии. Точнее – она стремится быть в равновесии, несмотря на постоянно нарушающие его процессы развития Земли: тектоника, осадко - и "ледо-" образования. Иными словами, как в случае плавающих полей льда избыток масс над поверхностью геоида должен быть компенсирован "необходимым" дефектом под нею.

Это подтверждается тем, что гравитационные аномалии "отражают" рельеф гораздо меньше, чем это следовало бы при нескомпенсированном наличии избыточных масс (в горных районах). Казалось бы, над горами должны быть большие положительные аномалии (Dg в свободном воздухе), а над океаническими впадинами – отрицательные. Однако, над океанами (независимо от рельефа их дна), как правило, нет значительных аномалий. Они колеблются в пределах ±(10 – 50) мГл.

Над горами же, хотя они и положительны, однако значительно меньше тех, которые могли бы вызвать горы. Только в областях молодой, еще не скомпенсированной складчатости гравитационные аномалии могут оказаться резко положительными. Это видно из "средних" картин поведения по Земле аномалий в свободном воздухе и Буге (сюда попадают и океанические желоба).

Действительно, расчет поправки Буге указывает на гораздо большие значения, чем дает Dg в свободном воздухе, т. е. без учета промежуточных масс.

Современные сведения о строении земной коры: мощность ее под континентами и особенно горами больше, чем во впадинах (особенно – океанических), – хорошо согласуются с гипотезой изостазии.

Согласно гипотезе изостазии, земная кора, подобно ледяным полям в океане, «плавает» в более плотной мантии и «выступает» над поверхностью геоида тем сильней, чем больше ее мощность в том или ином месте.

Эта гипотеза опиралась на экспериментальные данные о том, что притяжение горного массива Гималаев оказалось меньше расчетного. Так, определяя уклонение отвесной линии в районе Гималаев, Пратт для пункта Димаргид получил теоретически 27″,9, а намерил только 5″,2.

Расчетные схемы изостазии были высказаны одновременно Праттом и Эри.

Согласно Пратту, земная кора состоит из блоков (100-200 км диаметром, не менее) различной плотности, таких, что произведение плотности на мощность – одинаковое для всех блоков. Тогда можно принять, что стоя на общей поверхности S на глубине T (считая от уровня моря), они создают одинаковое давление на S по всей Земле. Поверхность S – называется поверхностью компенсации, T – глубина компенсации.

Естественно, что менее плотные блоки, имея большую мощность, выше выступают над уровнем геоида и, значит, чем выше элемент рельефа, тем больший дефект массы под ним.

По Пратту:

Для суши:

Для моря:

s – плотность земной коры; T – глубина компенсации; H – высота блока над уровнем моря; P – глубина моря; 1,03 – плотность морской воды.

Ясно, что образ коры здесь довольно нефизичен, в частности – в допущении единой поверхности компенсации.

Более приемлемая версия – схема Эри. В ней блоки – одинаковой плотности и разной высоты. (Это более чистая реализация плавающих льдов). Именно из этой схемы родилось представление о "корнях" гор, поскольку более высокие блоки сильнее выступают и вверх и вниз.

Схема Эри может быть сведена к схеме Пратта, если по глубине T наиболее высокого блока задаться гипотетической поверхностью компенсации S и каждый блок "дополнять" недостающей до нее частью с плотностью уже самой мантийной субстанции.

Как эти, так и более поздние схемы обычно совсем не учитывают сил сцепления между блоками, считая их свободными в вертикальных движениях. Однако это несущественно, если рассматривать изостазию не как реальное состояние коры, а "идеал", стремление к которому обусловливает ее развитие.

Современные знания заставляют признать изостазию безусловно существующей.

По современным представлениям, изостатическое равновесие в среднем осуществляется на ~ 63 % по схеме Эри и на ~ 37 % по схеме Пратта.

Изостатическая редукция

Учитывая идею изостазии, изостатическая редукция должна убрать из наблюденного значения g вклад от силы тяжести горы при ее расположении над геоидом и добавить их влияние, каким бы оно не было, при их расположении в "нижней" части блока (до глубины компенсации).

В случае выполнения идеальной изостатической компенсации изостатические аномалии равны нулю: . Конечно, если поправка за изостазию выполнена удачно – в частности, выбор глубины компенсации T.

Введение поправки Буге (аномалия Буге образуется как разность приведенного к уровню моря значения ускорения силы тяжести с поправкой за промежуточный слой и нормального значения g.) приводит к построению модели регуляризированной Земли посредством устранения внешних масс. При этом удовлетворяется одно требование теоремы Стокса: чтобы все массы охватывались уровенной поверхностью, – однако не выполняется второе условие: неизменность общей массы (она уменьшается при "снятии" промежуточного слоя). Вследствие этого "второго" происходит значительная деформация уровенной поверхности. В силу этого аномалии Буге неприменимы в теории фигуры Земли.

Однако для выявления скрытых аномальных масс редукция Буге имеет преимущества перед редукцией в свободном воздухе. Зависимость аномалий Буге от высоты точки слабее, чем для аномалий в свободном воздухе. Снятие притяжения промежуточного слоя позволяет рельефней выявить аномальные массы.

Аномалия в свободном воздухе является отклонением реальной в данной точке силы тяжести от ее нормального значения. В этом смысле она отражает истинное гравитационное поле.

Рассмотрим, какие деформации геоида вызывают эти две поправки (в свободном воздухе; Буге).

1.  Редукция в свободном воздухе:

Пусть мы делаем эту редукцию совместно с конденсацией масс промежуточного слоя на поверхности геоида. Смещение уровенной поверхности при переносе масс будет по теореме Брунса связано с возмущающим потенциалом так: . Оценим потенциал V слоя в виде плоской круглой пластины толщиной H, радиуса a, плотности s на точку над его центром на высоте z.

Подставив пределы, получаем для диска:

.

Раскладывая в ряды радикал и и удерживая члены до квадрата H / a (H << a), получим:

Это потенциал слоя толщиной H. Чтобы провести "конденсацию", следует в нем положить: Н = 0 и sH = s′ – поверхностная плотность. Для потенциала сконденсированного слоя будет:

.

Изменение потенциала вследствие конденсации равно разности потенциала исходного слоя V и потенциала Vk сконденсированного слоя:

,

или, пренебрегая теперь квадратом: :

.

Смещение уровенной поверхности будет:

.

Видим, что это ds не зависит от a, т. е. от радиуса слоя (области), который мы "конденсируем".

Легко рассчитать численную величину смещения уровенной поверхности в результате редукции конденсации. Пусть конденсируется континент высотой H = 1 км и s = 2,5 г ∕см3, тогда

Следовательно, введение редукции в свободном воздухе приводит g к уровню моря, не нарушая при этом общей массы Земли и почти не "изменяя" уровенной поверхности. Условия теоремы Стокса нарушаются в этом случае очень мало. В силу этого редукция g в свободном воздухе хороша для регуляризации Земли при решении задач геодезической гравиметрии.

Поправка Буге за влияние промежуточного слоя соответствует снятию слоя толщиной H, потенциал которого определяется (см. выше) формулой:

При снятии слоя потенциал в точке A изменится на величину, равную потенциалу слоя, т. е. (отбрасывая член с ) на величину:

Значит, перемещение уровенной поверхности будет:

(опять отбросили слагаемое за малостью).

При редуцировании за влияние острова высотой H = 1 км, радиусом a = 100 км и плотностью s = 2,5 г ∕см3 получим:

Таково будет искажение геоида в случае регуляризации методом введения поправки Буге.

Основные черты геоида

На карте геоида – 5 крупных аномалий: Индийская, Австралийская (Новозеландская), Калифорнийская, Карибская, Североатлантическая. Из карты отчетливо следует асимметрия Восточного и Западного полушарий.

Если Землю считать трехосным эллипсоидом, то большую экваториальную ось следует провести через эпицентры аномалий геоида вблизи экватора. Отчетлива видна асимметрия Северного и Южного полушарий.

Используя спутниковые измерения, исследователи решали задачу об источниках аномалий геоида методом подбора. Разброс глубин оказался велик: 100 – 2900 км.

Существенной чертой геоида является почти повсеместная антикорреляция высот физической поверхности Земли и превышений z геоида над сфероидом. Так, в областях наибольших глубин Мирового океана отмечаются максимальные положительные значения z, а в горах – минимальные (отрицательные).

Уточнению формы геоида способствует проведение градиентной съемки. Уже сейчас это позволяет (обеспечивает) разложения потенциала до n = 20. Комбинация спутниковых и градиентных данных может довести это до n = 180.

Ундулляции над сфероидом,

полученным с учетом членов

разложения поля до восьмого

(Для печати картинки лучше разнести на разные страницы)

Установление изостатического равновесия

Скандинавский полуостров – здесь с конца ледникового периода отмечено поднятие области как целого на ~ 275 м (по следам береговой линии времен оледенения на высоте 275 м). Если допустить, что ледниковое погружение было чисто упругим прогибом, то обеспечить такой прогиб мог "слой" льда в леднике мощностью 6000 – 7000 м, что "многовато".

Допустив движения по принципу изостатических блоковых вертикальных "отработок", получим следующую схему:

а) щит, покрытый ледником

б) щит без ледника

Условия изостазии (по Эйри)

а)

б)

Вычитая эти равенства одно из другого, получим:

, где – величина поднятия щита. Отсюда:

.

Подставляя значения: , получаем:

.

Это значение – 920 м – для толщины ледника гораздо более правдоподобно и разумно.