Числовая последовательность

2.1.1. В этой Главе элементы числовой последовательности будем обозначать (), а сами последовательности - .

2.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность (соответствующая ей функция натурального аргумента n) называется бесконечно малой, если для любого положительного числа можно указать такой номер последовательности N (), что для всех следующих номеров n выполняется неравенство .

Другими словами, все элементы (члены) последовательности , за исключением конечного числа членов, меньше по модулю сколь угодно малого положительного числа (естественно, за исключением своего числа членов для каждого числа ). Напомним, что выражение называется общим элементом (членом) последовательности.

2.1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число называется предельным значением (пределом) последовательности (соответствующей ей функции натурального аргумента ), если последовательность (функция ) натурального аргумента является бесконечно малой. Приняты следующие обозначения

или .

.

Про последовательность (функцию ), для которой существует предельное значение b, говорят ещё, что она имеет пределом число , или, что она сходится к числу . Всё сказанное далее можно легко переформулировать для функции натурального аргумента.

Иногда удобнее давать другую формулировку. Число называется предельным значением (пределом) последовательности , если , где - бесконечно малая последовательность.

Очевидно, что если - бесконечно малая последовательность, то , т. е. бесконечно малые последовательности являются частным случаем сходящихся последовательностей, точнее сходящихся к нулю последовательностей. С помощью понятия бесконечно малой последовательности мы как бы сводим рассмотрение предельных значений к стандартному (нулевому) предельному значению, и это удобно особенно в теоретических рассуждениях. Естественно можно сформулировать определение предельного значения (предела) последовательности без использования понятия бесконечно малой последовательности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число называется пределом последовательности , если для любого можно указать такой номер , что для всех выполняется неравенство .

Одним из геометрических эквивалентов того, что число называется предельным значением (пределом) последовательности является то, что для любой ε-окрестности точки на числовой оси найдётся такой номер N, что все элементы последовательности с номерами попадут в эту окрестность (см. Рис. 2.1)

Элементы числовой последовательности на числовой оси

Рис. 2.1

Другим геометрическим эквивалентом того, что число называется предельным значением (пределом) последовательности является то, точки графика Г функции натурального аргумента n с ростом номера n неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой (см. Рис. 2.2).

График функции ,

Рис. 2.2

2.1.4. Важно правильно и конструктивно (т. е. в утвердительной форме) сформулировать, что означает, что последовательность не является сходящейся (такая последовательность называется расходящейся). Это означает, что для любого числа можно указать такое число , что для бесконечного числа членов последовательности выполняется неравенство .

2.1.5. Существуют ли расходящиеся последовательности? Да. Пример. Пусть . Если , то возьмём и для всех нечётных номеров имеем , если , то снова возьмём и для всех чётных номеров имеем . Итак, последовательность является расходящейся.

2.1.6. ТЕОРЕМА. Если все и , то .

2.1.7. Доказательство теоремы раздела 2.1.6. Допустим противное, т. е. , но если положить , то для всех номеров будет выполнено неравенство , а это означает, что не является предельным значением для последовательности . Пришли к противоречию, следовательно, .

УПРАЖНЕНИЯ. Докажите самостоятельно следующие утверждения:

1.Если все и , то .

2. Если все и , то .

3. Если все и , то .

4. Теорема раздела 2.1.6 и аналогичные ей утверждения называются теоремами о сохранении знака неравенства при предельном переходе. Строгое неравенство при предельном переходе не обязательно переходит в строгое. Убедитесь в этом, рассмотрев следующие примеры: , .

5. Если все , то .

2.2.1.Множество чисел называется ограниченным, если существует постоянная С такая, что для любого элемента х данного множества справедливо неравенство .

2.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется ограниченной в области определения, если множество её частных значений ограничено.

2.2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если существует число С такое, что для любого элемента последовательности справедливо неравенство .

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число С такое, что для любого элемента последовательности справедливо неравенство .

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число С такое, что для любого элемента последовательности справедливо неравенство .

2.3.1. ТЕОРЕМА. Сходящаяся последовательность ограничена.

2.3.2. Доказательство теоремы раздела 2.3.1. Пусть . Для найдётся номер такой, что при всех номерах будет справедливо неравенство , которое эквивалентно цепочке неравенств .

Эту цепочку перепишем так , откуда следует, что при

.

Полагая, что , получим, что для всех номеров выполняется неравенство , т. е. последовательность ограничена.

2.3.3. Теорема раздела 2.3.1. утверждает, что из сходимости последовательности следует её ограниченность. Обратная теорема неверна. Из ограниченности последовательности не следует её сходимость, ибо существуют расходящиеся ограниченные последовательности. Приведём простой пример. Последовательность ограничена, и она расходится (см. раздел 2.1.5).

2.3.4. ТЕОРЕМА. Если последовательность - ограничена, а последовательность - бесконечно малая, то последовательность - бесконечно малая.

2.3.5. Возьмём произвольное положительное и поделим на постоянную С, которая ограничивает последовательность . Для числа можно указать номер такой, что при номерах справедливо неравенство . Имеем при , т. е. последовательность - бесконечно малая.

2.3.6. ТЕОРЕМА. Если и - бесконечно малые последовательности, то последовательность - бесконечно малая (складываются элементы с одинаковыми номерами).

2.3.7. Пусть . Тогда для числа можно выбрать такие номера и , что для всех номеров справедливо неравенство , а для всех номеров справедливо неравенство , т. е. для всех номеров справедливо неравенство

,

Откуда следует, что последовательность - бесконечно малая.

2.3.8. ТЕОРЕМА. Если и - бесконечно малые последовательности, то - бесконечно малая последовательность.

2.3.9. Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то произведение двух бесконечно малых последовательностей можно считать произведением бесконечно малой последовательности на ограниченную.

2.3.10. ТЕОРЕМА. Если все , , , то последовательность ограничена.

2.3.11. Пусть для определённости . Для числа найдётся номер такой, что для номеров справедливо неравенство , которое эквивалентно цепочке , откуда следует, что и поэтому . Полагая , получим, что при всех номерах справедливо неравенство .

Случай, когда разбирается аналогично. Все выкладки предлагается провести самостоятельно.

2.3.12. Теперь всё подготовлено, чтобы доказать основную теорему о свойствах пределов: предел суммы, разности, произведения, частного равен сумме, разности, произведению, частному пределов.

ТЕОРЕМА (основная). Пусть , , тогда , , и если все , , то .

2.3.13. По условию , , где последовательности и - бесконечно малые, тогда , . Последовательности , - бесконечно малые, следовательно , . Так как , и , то справедливо утверждение теоремы и для разности. Перейдём к частному. Покажем, что последовательность является бесконечно малой. Действительно, имеем: .

Последовательность ограничена (см. раздел 2.3.9). По-

следовательность , ибо последовательности

и - бесконечно малые. Следовательно .

2.13.14. Как показывает следующий пример, обратное утверждение не обязано быть верным, пределы и могут не существовать, но предел результата операции существует.

Пример. , , , , , , , . См раздел 2.1.5, где показано, что последовательность (и, следовательно, предела не имеет).

УПРАЖНЕНИЯ.

Веры ли следующие высказывания?

1.  Если сходится, - нет, то не сходится и .

2.  Если сходится, - нет, то не сходится и .

2.4.1.Теорема (о сходимости возрастающей ограниченной сверху последовательности).

Если последовательность ограничена сверху (т. е. существует постоянная С такая, что для всех n) и возрастает (т. е. для всех номеров n выполняется неравенство ), то она сходится.

2.4.2. Для такой последовательности, начиная с некоторого номера перестаёт изменяться целая часть числа , затем, начиная с некоторого номера , стабилизируется первый знак после запятой и т. д., а это и означает, что последовательность сходится.

2.4.3. Верна и аналогичная

Теорема (о сходимости убывающей ограниченной снизу последовательности).

Если последовательность ограничена снизу (т. е. существует постоянная С такая, что для всех n) и убывает (т. е. для всех номеров n выполняется неравенство ), то она сходится.

2.4.4. Теорема. Последовательности и сходятся к одному пределу.

2.4.5. Пусть и . Очевидно, что . Покажем, что , . Для этого воспользуемся утверждением:

если , , то ,

что легко доказывается методом математической индукции. Имеем

.

.

Итак, , откуда следует, что последовательности и имеют предельные значения. В связи с тем, что

эти предельные значения равны. Общий предел, к которому стремятся эти последовательности, обозначается латинской буквой e. Число e удовлетворяет неравенствам . Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается .