Динамическая компенсация ограниченных внешних возмущений в системе стабилизации курса судна

УДК 517.977.5

М. Н. СМИРНОВ

(Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург)

Динамическая компенсация ограниченных внешних возмущений в системе стабилизации курса судна

Рассматривается задача о динамической компенсации внешнего возмущения, о котором отсутствует какая либо информация, за исключением факта его ограниченности. Описывается алгоритм построения автоматического управления движением морского судна, обеспечивающего наименьшее отклонение судна по курсу при воздействии на него ограниченных внешних возмущений и желаемую степень устойчивости замкнутой системы.

Введение

В большинстве задач, рассматриваемых в литературе (в частности, [1 – 4, 6]), возмущения либо отсутствуют, либо задаются в конкретном виде, к примеру, считаются неограниченно убывающими с течением времени. В данной работе рассматривается задача о динамической компенсации (подавлении) внешнего возмущения, о котором отсутствует какая-либо информация, за исключением факта его ограниченности, с заданием меры ограничения. В такой ситуации требуется выбрать закон управления, который давал бы наилучший возможный результат по качеству динамики для наихудшего варианта ограниченного возмущения.

Важным показателем качества управления является длительность переходного процесса, которая напрямую связана со степенью устойчивости рассматриваемой системы, в которой обратная связь имеет неполную структуру, в частности, формируется по результатам измерений. Для оценки состояния объекта используется асимптотический наблюдатель полного порядка.

Цель данной работы заключается в построении закона автоматического управления движением морского судна, обеспечивающего наименьшее отклонение судна по курсу при воздействии на него ограниченных внешних возмущений и желаемую степень устойчивости линейной замкнутой системы.[1]

Синтез закона управления

Постановка задачи

Рассмотрим линейную стационарную систему

(1)

где– вектор состояния системы, – управляющее воздействие, A,B,H – заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей, – ограниченное внешнее возмущение, удовлетворяющее условию:

(2)

Будем считать, что для измерения доступны не все компоненты вектора состояния x и задано уравнение измерителя

где – выход системы, С – постоянная вещественная – матрица.

Управление будем искать в форме линейной обратной связи по оценке вектора состояния

(3)

где z(t) – оценка вектора состояния, а матрица усиления K подлежит определению.

Таким образом, чтобы найти матрицу K коэффициентов закона управления, необходимо сначала сформировать асимптотический наблюдатель.

Уравнение наблюдателя полного порядка имеет вид

(4)

причем матрица G определяется таким образом, чтобы наблюдатель был устойчивым.

Обозначим через – требуемую степень устойчивости характеристического полинома матрицы линейной замкнутой системы, а через – фактическую.

Требуется найти такой закон автоматического управления движением вида (3), который будет компенсировать ограниченные внешние воздействия, обеспечивая заданное ограничение выхода и желаемую степень устойчивости характеристического полинома замкнутой системы.

С учетом введенных обозначений сформулированная задача примет следующий вид:

для системы

(5)

необходимо найти матрицу коэффициентов K регулятора такую, что

и . (6)

Методы и алгоритмы решения

В качестве базового подхода предлагается использовать метод компенсации ограниченных внешних возмущений, предложенный в [5], который основан на применении инвариантных эллипсоидов.

Определение. Эллипсоид с центром в начале координат

называется инвариантным по переменной x (по состоянию) для динамической системы (1), (2), если из условия следует для всех моментов времени . Матрицу P будем называть матрицей эллипсоида .

Замечание. В определении и далее по тексту факт положительной определенности матрицы будем обозначать как .

Другими словами, любая траектория системы x(t), исходящая из эллипсоида , в каждый последующий момент времени принадлежит .

Аналогичным образом определяется инвариантный эллипсоид по выходу системы y:

где – матрица эллипсоида .

Множество инвариантных эллипсоидов по выходу y позволяет оценить степень воздействия внешних возмущений на выход системы. Таким образом, выбрав из множества инвариантных эллипсоидов минимальный по некоторому критерию, мы ограничим влияние внешнего воздействия на выход системы y(t).

В качестве критерия для выбора минимального инвариантного эллипсоида будем использовать целевую функцию , которая определяет сумму квадратов полуосей инвариантного эллипсоида по выходу системы (1).

С другой стороны, для обеспечения требуемой степени устойчивости предлагается использовать метод, основанный на построении вспомогательного полинома с наперед заданной степенью устойчивости.

В работе [4] доказана теорема, описывающая алгоритм построения полинома с заранее заданной степенью устойчивости:

Теорема. Для любого вектора степень устойчивости полинома

(7)

не меньше наперед заданной величины , и обратно, если степень устойчивости некоторого полинома  не меньше величины , то можно указать такой вектор , что справедливо тождество , где

, (8)

, , (9)

. (10)

Таким образом, задав произвольный вектор , по формулам (7) – (10) можно построить полином, который будет обладать требуемой степенью устойчивости.

Для построения системы автоматического управления движением на основе решения задачи (6), предлагается модифицировать метод компенсации ограниченных внешних воздействий (описанный в [5]), объединив его с методом обеспечения желаемой степени устойчивости (представленным в [4]) путем построения вспомогательного полинома.

Разработанный алгоритм состоит в следующем:

1.  Следуя методу компенсации внешних воздействий:

1.1.  разрешаем уравнение

относительно матричной переменной , выражая ее компоненты через параметры и .

1.2.  используем для определения матрицы коэффициентов регулятора K как функций параметров и с помощью соотношений:

2.  Замыкаем систему (5) управлением

3.  Строим характеристический полином замкнутой системы, зависящий от и :

4.  Задаем требуемую степень устойчивости и строим вспомогательный полином по методу, описанному в [4].

5.  Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в характеристическом и вспомогательном полиномах, получаем систему уравнений, решением которой является некоторое множество параметров и .

6.  Решаем задачу минимизации , учитывая дополнительные ограничения на параметры и из предыдущего шага алгоритма.

Используя найденные и , по формуле получаем вектор K коэффициентов регулятора.

Пример реализации

Описанный алгоритм был применен для построения системы автоматического управления морским транспортным судном водоизмещением 6000 т.

В качестве математической модели объекта управления была принята система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, описывающая боковое движение морского судна

(11)

Здесь используются следующие обозначения (рис. 1):

– угловая скорость относительно вертикальной оси,

– курс (положительным считается поворот на левый борт),

– угол отклонения вертикальных рулей (положительным считаем отклонение на левый борт),

– угол дрейфа (угол между вектором скорости и продольной осью судна),

– управляющее воздействие,

d(t) – внешнее возмущение, определяемое порывами ветра и морским волнением.

Предполагается, что величина d(t) удовлетворяет ограничению (2).

Рис. 1. Динамические переменные

В качестве компенсирующего управления будем использовать регулятор в форме статической обратной связи по оценке вектора состояния, представленный уравнением

, (12)

где ,,, – коэффициенты, которые подлежат выбору в процессе решения задачи синтеза, – оценки соответствующих компонент вектора состояния.

На рули и скорость их поворота (т. е. на управление) накладываются следующие ограничения: .

Преобразуем систему (11), обозначив вектор состояния через .

В соответствии с введенными обозначениями систему (11) можно записать в виде (5) с матрицами A,B,C,H, имеющими постоянные компоненты:

.

Для системы (11) был построен асимптотический наблюдатель полного порядка вида (4), при этом была получена матрица G:

Зададим требуемую степень устойчивости и применим для нахождения коэффициентов регулятора разработанный алгоритм. В результате получен закон управления со следующими коэффициентами:

При использовании полученного регулятора степень устойчивости можно оценить числом 0,1.

Для проверки качества найденного закона управления проведем имитационное моделирование в среде MATLAB–Simulink при воздействии на судно случайного ограниченного внешнего возмущения.

В качестве прикладного программного обеспечения была построена Simulink-модель системы управления, схема которой изображена на рис. 2.

Рис. 2. Общая схема Simulink-модели системы

Для проверки качества найденного закона управления проведем имитационное моделирование в среде MATLAB–Simulink при воздействии на судно ограниченного внешнего возмущения.

Пусть ограниченное внешнее возмущение представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 70 секунд (рис. 3).

Рис. 3. Ограниченное внешнее возмущение

Рис. 4. Изменение курса

На рис. 4 сплошной линией изображено изменение курса судна под действием случайного возмущения при использовании модифицированного алгоритма подавления внешних воздействий, пунктирной линией – при использовании исходного алгоритма. При этом в первом случае отклонение от курса составляет менее 0,1O, что является хорошим показателем. Время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения составляет приблизительно 12 секунд. Данный пример иллюстрирует адекватную реакцию управления на случайное ограниченное воздействие.

Заключение

В результате проведенных исследований разработан алгоритм оптимальной компенсации ограниченных внешних воздействий с учетом требований к степени устойчивости системы, что напрямую связано с длительностью переходного процесса. Обратная связь при этом имеет неполную структуру и формируется по результатам измерений. Для оценки состояния объекта используется асимптотический наблюдатель полного порядка. Разработанный алгоритм реализован в интегрированной среде MATLAB и его работоспособность проиллюстрирована на примере реального транспортного судна.

Литература

1.  Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов // [и др.] — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. — 370 с.

2.  Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация, 2009. Вып. 4. – С. 3–14.

3.  , Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. – 320 с.

4.  Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной ин-формацией // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1986. — № 4. — С.123–130.

5.  , Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. – 303 с.

6.  Fossen T. I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley & SONS, 1994. ­ 480 c.

Текст доклада согласован с научным руководителем.

Научный руководитель: , СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, доктор физико-математических наук, профессор.

[1] Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор,