Задачи по теме "Делимость"

Задачи по теме "Делимость"

для 10 класса

1. Докажите, что одно из двух последовательных четных чисел делится на 4

2. Докажите, что если взять три последовательных натуральных числа, то одно из них делится на 3.

3. Докажите, что если- простое число больше 7,то одно из чисел и делится на 6

4. Докажите, что если - простое больше 5, то делится на 24

5. Если есть последовательных натуральных чисел, то одно из них делится на число .

6. Если - простое число и делится на , то делится на .

7. Докажите, что число делится на 9.

8. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.

9. Определите возможные остатки от деления квадрата натурального числа на число

9. Докажите, что ни при каком натуральном n число n2 +1 не делится на 3.

10. Найдите все пары натуральных чисел и удовлетворяющих равенству

11. Докажите, что ни одно число с суммой цифр 15 не является квадратом целого числа.

13. Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?

14. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет в 77 раз больше первоначального. Найдите это число.

15. Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 3 (или 9).

17. Сколько множителей 2 содержится в числе

18. Сколькими нулями оканчивается произведение

19. Докажите признак делимости на

21. Докажите, что число делится на а число делится на

22. Пусть Найдите

23. Докажите, что сумма всех девяти двузначных чисел, составленных из трех данных цифр, делится на 11.

25. Докажите, что число – составное.

26. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.

27. Докажите, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры.

28. Найдите все пятизначные числа вида которые делятся на

29. Найдите все пятизначные числа вида которые делятся на

30. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на

35. При каком натуральном число оканчивается на

36. Последняя цифра числа равна Если ее переставить на первое место, то исходное число увеличится в два раза. Найдите исходное число.

37. Запись квадрата некоторого числа записана цифрами Найдите это число.

38. В десятичной записи натурального числа по одному разу встречаются числа Может ли это число быть полным квадратом?

41. Докажите, что число делится на

43. Найдите натуральное число при котором числа одновременно являются простыми.

46. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на

48. Докажите, что число не может быть квадратом натурального числа, если делится на

50. При каких натуральных n дробь (3n+1)/5 является целым числом.

51. Пусть m, n - натуральные числа, причем дробь m/n несократима. На какие числа можно сократить дробь (3n-m)/(5n+2m), если известно, что она сократима?

52. Докажите, что дроби несократимы.

53. При каких натуральных n дробь сократима и на какие числа можно сократить эту дробь?

55. Известно, что дробь несократима. Докажите, что дробь также несократима.

56. Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел. Докажите, что число а) k – 1; б) k + 1 не является точным квадратом.

58. Пусть a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда a – b делится на m.

Докажите, что:

- если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m, то a + c ≡ b + d (mod m).

- если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a – c ≡ b – d (mod m).

- если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m).

- если a ≡ b (mod m), n – натуральное число, то an ≡ bn (mod m).

59. Может ли произведение цифр натурального числа равняться

62. Пусть делится на 99. Докажите, что сумма цифр не меньше 18.

63. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

64. Дано шестизначное число , причем - делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

65. Сформулируйте и докажите признак делимости на 7, 33. Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

66. Сумма цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

67. На сколько нулей оканчивается 100!? Четна или нечетна последняя ненулевая цифра 100!?

68. Докажите, что число различных делителей нечетно тогда и только тогда, когда точный квадрат.

70. Некоторое положительное четное число при делении на 3 дает остаток 1. Чему равен остаток от деления этого числа на 6?

72. Задумано число, состоящее из 31 цифры. Взяли число, равное сумме цифр этого числа. У получившегося числа взяли снова сумму цифр и. т.д., пока не получили цифру 1. Найдите остаток от деления исходного числа на 9.

80. Докажите, что среди натуральных чисел есть 100 составных подряд.

84. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 18 и имеющие ровно a) 17 b) 14 c) 15 делителей.

69. Докажите, что (n + 1)(n + 2) … (2n – 1)2n делится на n!.

71. Число оканчивается на Докажите, что оканчивается на .

76. Докажите, что:

a) Степень двойки не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

b) Квадрат числа не может состоять из одинаковых цифр.

c) Квадрат числа не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

79. Пусть делится на Докажите, что сумма делителей делится на

81. Пусть p – простое число. Докажите, что остаток p по модулю 30 – простое число или 1.

85. Докажите, что n² + 5n + 16 не делится на 169 ни при каком натуральном n.

86. При каких натуральных число делится на 13?

89. Найдите все числа , равные 9(a + b).

90. Найдите все числа , равные 18(a + b + c).

91. Пусть сумма цифр числа равна сумме цифр числа Докажите, что делится на

94. Цифры числа переставили и оно уменьшилось в раза. Докажите, что делится на

95. Докажите, что -   не является полным квадратом.

96. Может ли число - быть полным квадратом?

100. Из числа вычитают сумму его цифр. Докажите, что после 100 таких операций из трехзначного числа получится ноль.

106. Найдите все такие что и простые.

107. Найдите все такие что p и  – простые.

108. Найдите все такие что и - простые.

109. Найдите все такие что - простые.

111. Найдите все такие что – простые

112. Найдите всетакие что – простые.

123. Найдите все натуральные числа, которые при делении на 31 дают в остатке 5, а при делении на 5 дают в остатке 3.

124. Найдите все натуральные числа, которые при делении на 37 дают в остатке 3, а при делении на 3 дают в остатке 1.

129. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

130. Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

132. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

136. Пусть – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры Докажите, что не делится на

137. Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

140. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

144. Докажите, что уравнение имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда – простое число.

145. Пусть – простое число, и не делится на Докажите, что найдется натуральное число для которого

146. (Теорема Вильсона). Пусть – простое число. Докажите, что

148. Пусть – простое число, отличное от 3. Докажите, что число не делится на

149. Пусть – простое число. Докажите, что число делится на

150. Найдите натуральные числа такие, что

151. Найдите все натуральные числа удовлетворяющие равенству

152. Пусть натуральные числа такие, что наибольший общий делитель причем Оказалось, что Докажите, что

153. В натуральном числе переставили цифры и получили число причем . Найдите наименьшее возможное значение

154. Натуральное число таково, что сумма цифр в десятичной записи числа равна Может ли при этом последняя цифра числа быть равной (не может)

155. Вася составил семизначное число использовав все цифры от 1 до 7 ровно по одному разу. Коля сделал то же самое и получил число Оказалось, что Васино число больше Колиного. Докажите, что Васино число не делится на Колино.

157. Может ли число делиться на а при делении на давать в остатке

158. Докажите, что остаток от деления простого числа на либо либо простое число.

159. Найдите все натуральные числа такие, что не делится на

160. Найдите все натуральные числа такие, что

161. Найдите все натуральные числа такие, что

162. Докажите, то

163. Может ли наибольший общий делитель двух чисел быть больше их разности?

164. Найдите все четырехзначные числа вида которые делятся на

165. Найдите все числа вида которые делятся на

166. Делится ли на число (В записи числа выписаны все числа от до )

167. Найдите все числа вида которые являются полным квадратом.

169. Докажите, что в Пифагоровом треугольнике хотя бы один катет делится на 3 (на 5).

171. Найдутся ли целые числа удовлетворяющие условию

172. Докажите, что при делении квадратов натуральных чисел на 4 или 5 в остатке могут получиться только 2 и 3.

173. Докажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть полным квадратом.

174. Докажите, что при всех натуральных числа вида не делятся на 169.

175. Докажите, что при делении на 8 квадрата целого числа в остатке может получиться только 0, 1 или 4.

176. Докажите, что сумма квадратов трех целых чисел не может при делении на 8 давать отстаток 7.

178. Может ли число, составленное из всех шестерок быть полным квадратом?

180. Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть полным квадратом?

181. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 7, 8, 9 составить число, равное произведению трех последовательных чисел?

182. Докажите, что квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 дает в остатке 1.

183. Найти все двузначные числа такие, что выражение делится на 13.

184. Найти все двузначные числа такие, что выражение делится на 17.

185. Найдите все целые значения для которых делится на

198. Докажите, что следующие числа одновременно не могут быть простыми:

190. Найдите все цифры и такие, что

191. Докажите, что при всех делится на

196. Найдите четырехзначные числа вида которые делятся на 72.

197. Найдите четырехзначные числа вида которые делятся на 45.

198. Найдите четырехзначные числа вида которые делятся на 15.

200. Сколькими нулями могут оканчиваться числа вида

203. В записи числа по одному разу встречаются цифры Докажите, что число не делится на 11.

205. Докажите, что девятизначное число, в записи которого встречаются все цифры, кроме 0, и которое оканчивается цифрой 5, не может быть полным квадратом.

207. Докажите, что (НОД)

208. Найдите наибольшее значение НОД

209. Докажите, что дробь несократима

210. При каких дробь является целым числом?

211. Докажите, что делится на для любого

212. Докажите, что делится на для любого

213. Докажите, что не делится на ни при каком

214. Натуральное число при делении на 8 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7.

215. Натуральное число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3.

216. Докажите, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.

217. Докажите, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.

218. Докажите, что шестизначное число вида кратно и

219. Докажите, что выражение делится на при любом нечетном

220. Решите в натуральных числах уравнение

221. Решите в натуральных числах уравнение

222. Решите в натуральных числах уравнение

223. Решите уравнение в целых числах.

224. Решите уравнение в целых числах.

225. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.

226. Решите в целых числах уравнение