Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
10.1 На координатной плоскости рассматриваются всевозможные параболы 
. Докажите, что вершины этих парабол сами лежат на некоторой параболе. На какой?
Решение:
Найдем координаты вершины параболы . Имеем:
, 
.
Таким образом, 
, т. е вершины данных парабол лежат на параболе 
.
Ответ: .
10.2 Обозначим через 
наибольшее целое число, не превосходящее 
. Существует ли такое натуральное число 
, для которого 
?
Решение:
Равенство означает, что 
, т. е. 
. Но 
, 
. Таким образом, число должно удовлетворять неравенству 
. Следовательно, не существует натурального числа , для которого .
Ответ: не существует.
10.3 Приведите пример, если это возможно, квадратного трехчлена 
, имеющего два различных корня и такого, что уравнение 
корней не имеет.
Решение:
Например, пусть 
.
Имеем 
. Здесь каждый сомножитель положителен при всех х: 
, так как 
; и аналогично, 
. Следовательно, уравнение корней не имеет.
10.4 Дан прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Точка , лежащая на гипотенузе, равноудалена от середин катетов. Найдите расстояние от точки до вершины прямого угла треугольника.
Решение: См. рис.
, 
, 
- средняя линия
Точка находится на серединном перпендикуляре отрезка . Значит, 
- это середина гипотенузы, а –середина отрезка 
. Находим:
(высота треугольника),
, 
,
,
,
Ответ: 
10.5 Докажите, что число 2012 нельзя представить в виде разности кубов двух натуральных чисел.
Решение:
Пусть 
, 
- натуральные числа, и пусть 
.
Положим 
, где 
- натуральное число. Тогда
.
Значит, 
, и следовательно 
.
Кроме того, - это делитель числа 
, причем число 503 - простое. Поэтому для возможны (априори) значения 1, 2, 4.
Рассмотрим эти возможности.
1) пусть 
, тогда из равенства 
находим
, или 
,
что невозможно с целым , так как 2011 не делится на 3;
2) пусть 
, тогда из равенства находим
, или 
- нет целых корней;
3) пусть 
, тогда
, или 
, но число 487 не делится на 3.
Рассмотренные случаи означают, что не может быть натуральным числом. Следовательно, число 2012 нельзя представить в виде разности кубов двух натуральных чисел.
