ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ |
|
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
539.3/.6(07) Ч-498 , ,СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВУчебное пособиеРазделы: 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ |
Челябинск |
УДК 539.3//6(07)
, , . Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под. редакцией
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 2 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................. 4
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ......................................................... 5
4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ......................................... 20
СДВИГ.................................................................................... 20
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ........................................................ 27
КРУЧЕНИЕ ВАЛА С КРУГЛЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ................................................. 31
КРУЧЕНИЕ ВАЛА С НЕКРУГЛЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ................................................. 40
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ............................................................................... 42
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ...................................................... 44
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ..................................................... 46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................ 52
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для использования студентами в процессе лекций в технически оснащённых аудиториях. Оно ни в коем случае не заменяет учебник или лектора и предназначено для более результативной работы студента на лекции. Отпечатанные в пособии схемы, рисунки и формулы являются копией материала, изображённого на дисплее (видеостенке, экране – при использовании кодоскопа) и предназначены для того, чтобы слушатель мог уделить больше времени анализу материала, общению с лектором и самостоятельной работе.
Чистые (не заполненные) участки пособия предназначены для конспектирования информации, излагаемой лектором и полученной студентом при самостоятельной работе (идей, определений, комментариев, некоторых выводов и обсуждения результатов). Как правило, в напечатанном тексте отсутствует описание постановки задачи и анализ результатов. Курсивом выделены вопросы, которые рекомендуется рассмотреть или в ходе лекции, или при самостоятельной работе студента.
Каждый преподаватель даёт свою трактовку курса, а каждый студент записывает то, что лично ему представляется необходимым зафиксировать на бумаге, поэтому использование уже заполненных кем-то конспектов неэффективно.
В конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и примеры типовых вопросов экзаменов прошлых лет.
Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей; при этом разделы курса, отражающие специфику той или иной специализации в нём, как правило, не приводятся. Предполагается, что в качестве основного учебника используется "Сопротивление материалов" (рекомендуется десятое издание, опубликованное МГТУ им. в 1999 г.)
Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
1. ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
Размерность [м2, см2] i – номер части фигуры.
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ
– статические моменты площади относительно осей x и y.
(Sx, Sy) 
0. Размерность [м3, см3]
Оси, относительно которых Sx = Sy = 0, называются ЦЕНТРАЛЬНЫМИ ОСЯМИ. Точка пересечения центральных осей совпадает с центром тяжести сечения. Любая ось, проходящая через центр тяжести сечения, является центральной.
ИЗМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ СЕЧЕНИЯ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
Sx1 и Sy1;
a и b – расстояния между осями.
––––––––––––––––––––––––––––––
Определить:
Sx2; Sy2.
x2 = x1 – a; y2 = y1 – b.
Запишем статические моменты сечения относительно осей x2 и y2:
Sx2 = Sx1 – b×S;
Sy2 = Sy1 – a×S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ
Если оси x0 и y0 центральные (Sx0 = Sy0 = 0), то статические моменты относительно параллельных им осей x1 и y1:
Sx1 = b×S = yC×S; Sy1 = a×S = xC×S;
Координаты центра тяжести C в системе x1, y1:
Сложная фигура
Разбиваем сложную фигуру на простейшие.
1. Выбираем произвольные оси x и y.
2. Указываем координаты центра тяжести каждой простейшей фигуры.
3. Вычисляем координаты центра тяжести сложной фигуры xС и yС.
Проводим центральные оси x0 и y0.
i – номер части фигуры.
Пример. Определение центра тяжести полукруга
Дано: R
–––––––––––––
yC = ?
Выбираем начальные оси x и y.
Центр тяжести расположен на
оси y – оси симметрии сечения.
Площадь элементарной площадки: 
Статический момент сечения:
Площадь: 
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
Осевые (относительно осей x и y) и центробежный моменты инерции сечения:
– полярный момент инерции сечения относительно точки 0.
Размерность [м4, см4].
Ix, Iy, Ip > 0; Ixy 0.
Сложная фигура
i – номер части фигуры.
ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
C – центр тяжести сечения;
x0, y0 – центральные оси;
a, b – координаты центра тяжести сечения в осях x и y.
––––––––––––––––––––––––––––––––
Определить: Ix, Iy, Ip
x = x0+a; y = y0+b.
Запишем осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y.
отсюда:
Ix=Ix0 + b2S
Аналогично для оси y:
Iy = Iy0 + a2S
Из всех моментов инерции относительно параллельных осей моменты инерции относительно центральных осей – минимальные.
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей x и y:
отсюда: Ixy = Ix0y0 + abS
ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
оси x и y, Ix, Iy, Ixy , α
–––––––––––––––––––
Найти Iu, Iv, Iuv
Определим координаты u и v площадки dS в новой системе координат:
u = x cos a + y sin a; v = y cos a – x sin a.
Определим осевые моменты инерции сечения относительно осей u и v:
Если сложить величины моментов инерции относительно осей u и v, то получим:
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей u и v:
Отсюда:
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Изменение осевого и центробежного моментов инерции Iu и Iuv в зависимости от угла a можно представить в графической форме. Для этого выполним следующие преобразования:
Это – уравнение окружности, радиус которой равен
,
а координаты центра
При Iuv = 0 осевые моменты инерции Iu и Iv = Iu(a + 90°) принимают экстремальные значения (max, min).
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю (Iuv = 0), называются главными осями.
Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Положение главных осей и величину главных моментов инерции можно определить (см. график Iu, Iuv), зная моменты инерции относительно произвольных осей x и y.
СИММЕТРИЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Ось y – ось симметрии 
Оси x и y – главные оси.
ПРАВИЛЬНЫЕ ФИГУРЫ
Ix = Iy; Iu = Ixcos2a + Iysin2a = Ix;
Любая ось u – главная центральная ось.
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Оси x и y – главные и центральные;
Ix, Iy, Ix1 = ?
КРУГЛОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Оси x и y – главные и центральные;
Ip, Ix, Iy = ?
Ip = Ix + Iy = 2Ix = 2Iy;
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Определение осевых моментов инерции сечения относительно осей x и y.
Определение моментов инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0.
Оси x0 и y0 – центральные оси; b и h;
–––––––––––––––––––––
Ix0, Iy0 = ?
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей x, y и центральных осей x0 и y0.
Ixy = Ix0y0 + abS;
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определения:
статического момента площади;
осевых моментов инерции;
центробежного момента инерции;
центральных осей;
главных осей;
главных моментов инерции.
2. Приведите алгоритмы и расчётные формулы для определения положения центра тяжести сложной фигуры.
3. Чему равны моменты инерции прямоугольника и круга (относительно осей симметрии), прямоугольного треугольника (относительно центральных осей, параллельных катетам)?
4. Запишите формулы, определяющие изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат.
5. Приведите алгоритмы и запишите формулы для определения положения главных осей сечения и величин главных моментов инерции.
ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить моменты инерции сечения относительно главных центральных осей для следующих фигур:
4. СДИГ И КРУЧЕНИЕ
СДВИГ
ЧИСТЫЙ СДВИГ – напряженное состояние, при котором в некоторых секущих площадках, проходящих через данную точку тела, возникают только касательные напряжения.
|
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ
|
g – деформация сдвига.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБКИ.
ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ЧИСТОГО СДВИГА
 |
 |
ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ НА КРУЧЕНИЕ:
а) сплошной образец из пластичного материала; вид разрушения
б) сплошной образец из хрупкого материала; вид разрушения
Тонкостенная цилиндрическая трубка и виды разрушения
Предел пропорциональности 
Предел текучести 
Предел прочности 
Предел пропорциональности при кручении (tпц в МПа) – касательное напряжение в периферийных точках поперечного сечения образца, при котором отклонение от линейной зависимости между нагрузкой и углом закручивания достигает такой величины, что тангенс угла наклона увеличивается на 50% своего значения.
Предел текучести при кручении (t0,3) – касательное напряжение, при котором образец получает остаточный сдвиг, равный gост = 0,003 (0,3%).
Предел прочности при кручении (tпч) – касательное напряжение, соответствующее действию наибольшего момента при кручении, предшествующего разрушению.
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
Кручение – вид нагружения стержня, при котором из шести внутренних силовых факторов в поперечных сечениях отличны от нуля только крутящие моменты. По величине они равны
T = – SMz(Fe)*.
Внешние моменты, вызывающие кручение, называются скручивающими моментами.
Вал – это стержень, работающий в основном на кручение.
Примеры:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ КРУТЯЩИМ МОМЕНТОМ
И ИНТЕНСИВНОСТЬЮ СКРУЧИВАЮЩЕГО МОМЕНТА
Вал (стержень) находится в равновесии под действием системы внешних (скручивающих) моментов.
Бесконечно малый отрезок dz находится в равновесии под действием распределенных скручивающих моментов mz и крутящих моментов, отличающихся на бесконечно малую величину dT:
После интегрирования: 
Здесь T(0) – постоянная интегрирования – значение крутящего момента в начале участка (при z = 0).
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
График, показывающий изменение крутящего момента по длине стержня (вала), называется эпюрой крутящих моментов ЭT.
Пример 1.
Вал под действием внешних моментов находится в равновесии:
С помощью метода сечений определим крутящие моменты в поперечных сечениях вала. Разобьем вал на три участка:
1-й участок (0 < z1 < l)
T1 = M;
2-й участок (0 < z2 < 2,5l)
T2 = M – 2,5M = – 1,5M;
3-й участок (0 < z3 < 2l)
T3 = 2M.
Пример 2.
Уравнение равновесия всего вала:
SMz = 1,5ml – m×2l – 0,5ml + 2m×1,5l – 2ml = 0;
1-й участок (0 < z1 < 2l)
T1 = 1,5ml – m×z;
T(0) = 1,5ml;
T(2l) = – 0,5ml.
2-й участок (2l < z2 < 3l)
T2 = 1,5ml – m×2l – 0,5ml;
T2 = – ml = const.
3-й участок (0 < z3 < 1,5l)
T3 = 2ml – 2mz3;
T3(0) = 2ml;
T3(1,5l) = –ml.
КРУЧЕНИЕ ВАЛА С КРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Постановка задачи: Дано: d, l, G, Mкр
––––––––––––––––––––––––––––
Определить: t , q, j
Касательные напряжения в поперечных сечениях для точек вблизи контура направлены по касательной к дуге контура
tn = t¢n = 0; t = tк.
Рассмотрим равновесие части стержня (вала) длиной dz:
Условие равновесия:
(1)
Статическая неопределимость задачи.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ
Гипотеза плоских сечений, её обоснование
DD1 = rdj = g dz
условие совместности деформаций;
Обозначим 
– относительный угол закручивания;
g = rq (2)
ЗАКОН ГУКА
t = Gg; s = Ee = 0 (3)
Решение системы (1) – (3):
t = r Gq
Gq = const; t = f(r).
Подставляя значение t в (1), получим:
– полярный момент инерции сечения.
T = GIpq или 
GIp – жесткость сечения вала при кручении.
С учётом полученного значения q
– полярный момент сопротивления при кручении круглого поперечного сечения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ
а) сплошное круглое сечение
б) кольцевое сечение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
Для вала постоянного сечения с постоянным по длине крутящим моментом:
Испытания на кручение сплошных круглых образцов по ГОСТ 3565-80 (см. стр. 24)
УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ И ЖЁСТКОСТИ ПРИ КРУЧЕНИИ
а) Условия прочности:
или
Допускаемые напряжения [t] или нормативный коэффициент запаса [k] задаются в нормах прочности в зависимости от материала, технологии изготовления и условий работы
б) Условия жесткости:
1) 
2) В заданном сечении j £ [j] или max j £ [j].
Здесь [q] и [j] – допустимые углы закручивания (относительный и абсолютный); они задаются, как правило, в зависимости от функциональных особенностей вала.
КУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Гипотеза плоских сечений не применима. Задача об определении напряжений в стержне сводится к решению системы дифференциальных уравнений; такие решения рассматриваются в курсах теорий упругости и пластичности
ПОНЯТИЕ О МЕМБРАННОЙ (ПЛЕНОЧНОЙ) АНАЛОГИИ
В физике известен ряд случаев, когда различные по физической сущности задачи сводятся к одинаковым дифференциальным уравнениям.
Задача о кручении стержня любого поперечного сечения сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натанутой по контуру того же очертания и нагруженного равномерно распределенным давлением.
а) направление t в какой либо точке сечения стержня совпадает с касательной к горизонтали изогнутой поверхности пленки.
б) аналогом величины касательных напряжений t при кручении является tg a.
в) аналогом крутящего момента T является объем, заключенный между поверхностью пленки и плоскостью контура сечения.
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Касательные напряжения вблизи внешнего угла в поперечном сечении отсутствуют.
Касательные напряжения вблизи контура направлены по касательной к контуру.
Коэффициенты a, b и g зависят от отношения стороны h/b и числовые значения приведены в таблице.
Wk = ahb2 – геометрический фактор прочности;
Ik = bhb3 – геометрический фактор жесткости.
h/b | 1,00 | 1,20 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,50 | 3,00 | 4,00 | 5,00 | 10 | ¥ |
a | 0,208 | 0,219 | 0,221 | 0,231 | 0,239 | 0,246 | 0,258 | 0,267 | 0,282 | 0,291 | 0,313 | 0,333 |
b | 0,141 | 0,166 | 0,172 | 0,196 | 0,214 | 0,229 | 0,249 | 0,263 | 0,281 | 0,291 | 0,313 | 0,333 |
h | 1,000 | 0,930 | 0,910 | 0,859 | O,820 | 0,795 | 0,766 | 0,753 | 0,745 | 0,742 | 0,742 | 0,742 |
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Типичные формы профилей
b – длина контура поперечного сечения (t << b)
ТОНКОСТЕННЫЙ ПРОФИЛЬ,
НЕ РАСПРАВЛЯЮЩИЙСЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИК
Ik – геометрический фактор жесткости при кручении открытого профиля;
h – коэффициент, учитывающий места перехода сечений;
h = 1,05…1,20; обычно h » 1,0.
Местный угол наклона a пленки в точке A больше, чем в остальных точках внутреннего контура.
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ
dS = AB×t = t×df; AB×
OC = 2SÑOAB;
 |
.
f – периметр поперечного сечения (длина средней линии);
S* – площадь, ограниченная средней линией профиля.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙСТЕРЖНЯ (ВАЛА) ПРИ КРУЧЕНИИ
Критерии рациональности
Изменение веса и допускаемого момента в зависимости от d/D (круглое сечение).
Жёсткость открытых и замкнутых тонкостенных профилей.
Понятие о стесненном кручении тонкостенных профилей.
Самостоятельно на основе мембранной аналогии изобразите эпюру касательных напряжений при кручении шатуна велосипеда.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
1. Какой вид нагружения называется кручением?
2. Как определяется полный угол закручивания на участке длиною l ?
3. Что называется относительным углом закручивания?
4. На каких положениях основана теория кручения стержней, имеющих сплошное круглое или кольцевое сечение?
5. Какие напряжения возникают при кручении стержней и как они определяются?
6. Какой вид имеет эпюра касательных напряжений?
7. Существуют ли касательные напряжения в продольных сечениях стержня при его кручении?
8. Записать формулу для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения.
9. Что называется жёсткостью сечения при кручении?
10. Записать условие прочности при кручении стержня.
11. Записать условие жёсткости при кручении. В каких случаях его применяют?
12. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он измеряется и чему равен (для круга и кольца).
13. Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения разности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов?
14. Как разрушаются стальные и чугунные образцы при кручении?
15. Какие поперечные сечения стержня считаются рациональными при кручении?
16. Как направлены касательные напряжения вблизи контура сечения?
17. Чему равны касательные напряжения в поперечных сечениях около внешних углов?
18. В чем суть мембранной аналогии при решении задач о кручении стержней?
19. В каких точках прямоугольного сечения стержня возникают наибольшие касательные напряжения при кручении? Чему равна их величина?
20. Запишите формулы для определения касательных напряжений при кручении тонкостенных открытых и замкнутых профилей.
ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ
ПРОШЛЫХ ЛЕТ
1. Чистое кручение стержня тонкостенного открытого профиля. Определение наибольшего напряжения и относительного угла закручивания (крутки). Депланация сечения. Понятие о стеснённом кручении.
2. Условия прочности и жёсткости при кручении. Рациональные формы поперечного сечения стержня.
3. Кручение тонкостенной трубки. Чистый сдвиг. Испытание материалов при чистом сдвиге; диаграммы деформирования и основные механические свойства материалов.
4. Кручение стержня круглого сечения. Определение напряжений в поперечном сечении и перемещений сечений (вывод формул).
5. Определение напряжений в поперечном сечении при кручении стержня тонкостенного замкнутого профиля (вывод формулы).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Феодосьев материалов. – М.: Издательство МГТУ им. , 1999.
2. , Мавлютов материалов. – М.: Наука, 1986.
Министерство Российской Федерации СНЕЖИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ | |||
, , , СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВЧасть 1 Учебное пособиеРазделы: 3. Геометрические характеристики 4. Сдвиг и кручение | |||
УДК 539.3//6(07)
, , . Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под ред.
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 2 назв.
