Связь между матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.
Связь между матрицами одного и того же преобразования в разных базисах выражается формулой
, где
– матрица линейного преобразования 
в базисе 
,
– матрица линейного преобразования 
в базисе 
, а 
– матрица перехода от базиса к базису .
Пример 1. Линейное преобразование в базисе 
имеет матрицу 
. Найти его матрицу в базисе 
.
Решение. Обозначим через матрицу преобразования в базисе 
. Тогда имеем .
Из условия задачи ясно, что матрица перехода от базиса к имеет вид 
. Найдем 
, тогда 
.
Пример 2. Линейное преобразование трехмерного действительного пространства с базисом 
векторы 
, 
, 
(I) переводит соответственно в векторы 
, 
, 
.(II) Найти матрицу С преобразования в базисе .
Решение. Так как матрица (столбцы ее составлены из координат векторов 
) – невырожденная, то векторы составляют базис пространства. Матрица является матрицей перехода от базиса 
к базису . Обозначим через 
матрицу линейного преобразования в базисе . Тогда 
и 
. Найдем матрицу 
. Так как 
, 
, 
, то следует векторы 
выразить через . Выразим через из уравнений (I) и подставим их в формулы (II).
, следовательно,
2
–2
, откуда =
e1–e2+e3=x1, откуда e1=
.
Тогда получим 
, 
, 
, 
.
Из (I) получаем матрицу перехода 
, находим 
.
Окончательно получаем
=
=
=
.
