Частные производные сложных функций. Дифференциалы сложных функций

§ 5. Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

1. Частные производные сложной функции.

Пусть – функция двух переменных, аргументы которой и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть , .

Тогда будет сложной функцией независимых переменных и , переменные и будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции по и ?

Можно, конечно, выразить непосредственно через и :

и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных , потребует тогда больших усилий.

Если функции , , дифференцируемы, то найти и можно не прибегая к непосредственному выражению через и . В этом случае будут справедливы формулы

(5.1)

Действительно, дадим аргументу приращение , – const. Тогда функции и получат приращения

,

,

а функция получит приращение

,

где , – бесконечно малые при , . Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

.

Так как по условию функции и дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если , то и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при получим:

,

(так как , – бесконечно малые при , ).

Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).

ПРИМЕР. Пусть , где , . Тогда является сложной функцией независимых переменных и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

Подставляя в (5.1), получаем

,

.

Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

где ,

,

………………………

,

и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого имеет место равенство

.

Возможен также случай, когда аргументы функции являются функциями только одной переменной, т. е.

, .

Тогда будет являться сложной функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции , , дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле (5.2)

ПРИМЕР. Пусть , где , . Здесь является сложной функцией одной независимой переменной . Пользуясь формулой (5.2) получим

.

И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т. е. ,

где .

Из формулы (5.2) тогда получаем

(5.3)

(так как ). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции по . Она вычисляется при закрепленном значении . Производная в левой части формулы (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что зависит от двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

ПРИМЕР. Найти и для функции , где .

Имеем .

Для нахождения воспользуемся формулой (5.3). Получим

.

И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.

2. Дифференциал сложной функции.

Напомним, что если – дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

, (5.4)

или в другом виде . (5.5)

Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

Действительно, пусть , где , . Предположим, что функции , , дифференцируемы. Тогда сложная функция тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

.

Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

.

Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций и , то окончательно имеем

.

Итак, мы убедились, что и в том случае, когда и – независимые переменные, и в том случае, когда и – зависимые переменные, дифференциал функции можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной. Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда и – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка функции двух переменных может быть найден по формуле

. (4.12)

Но если и не являются независимыми переменными, то формула (4.12) при перестает быть верной.

Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

и ,

причем вторая форма записи будет инвариантной, т. е. справедливой и в том случае, когда являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

и

определяют неявно заданные функции и соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции переменных () содержатся в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 6.1. (существования неявной функции) Пусть функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки . Если и , то существует такая окрестность точки , в которой уравнение

определяет непрерывную функцию причем

1)  ;

2)  для любой точки

;

3)  функция имеет в указанной окрестности непрерывные частные производные по всем аргументам.

ПРИМЕРЫ.

1) Рассмотрим уравнение . Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки . Следовательно, в некоторой окрестности точки это уравнение определяет как неявную функцию двух переменных и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно :

2) Рассмотрим уравнение . Оно определяет две функции двух переменных и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки . Следовательно, найдется такая окрестность точки , в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение .

С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки . Следовательно, в некоторой окрестности точки уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение .

Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях и соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

и .

3) Рассмотрим уравнение . Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки . Следовательно, найдется такая окрестность точки , в которой уравнение определяет как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

4) Уравнение не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел и , которые ему удовлетворяют.

Функция , заданная уравнением , согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение определяет в некоторой окрестности точки непрерывную функцию . Рассмотрим сложную функцию , где . Функция является сложной функцией одной переменной , причем если , то

(6.1)

С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной производной (6.2)

Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

(6.3)

Замечание. Делить на можно, так как согласно теореме 6.1 в любой точке окрестности .

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции , заданной уравнением и вычислить ее значение при .

Имеем ,

, .

Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

.

Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения : и .

Следовательно, в окрестности точки уравнение определяет две функции: и , где , . Их производные при будут равны

и .

Пусть теперь уравнение определяет в некоторой окрестности точки функцию . Найдем . Напомним, что фактически это обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция переменной при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения формулу (6.3), считая функцией, – аргументом, – константой. Получим

. (6.4)

Аналогично, считая функцией, – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

. (6.5)

ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением .

Имеем ,

, , .

Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим

, .

И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение

определяет в некоторой окрестности точки функцию переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

, , …, .

§ 7. Производная по направлению

1. Производная по направлению.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области плоскости , – точка области , –вектор любого направления. Перейдем из точки в точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение

.

Разделим приращение функции на длину отрезка смещения . Полученное отношение дает среднюю скорость изменения функции на участке . Тогда предел этого отношения при (если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке в направлении вектора . Его называют производной функции в точке по направлению вектора и обозначают или .

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора (возрастание или убывание):

1)  если , то функция в точке в направлении вектора возрастает;

2)  если , то функция в точке в направлении вектора убывает;

3)  если , то в направлении вектора функция не изменяется, т. е. направление вектора – направление линии уровня функции, проходящей через точку (вектор является касательным к линии уровня в точке ).

Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно, это производная функции по направлению вектора (направлению оси ), – производная функции по направлению вектора (направлению оси ).

Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

,

где – бесконечно малая при .

Обозначая через , имеем , , , где – направляющие косинусы вектора . Следовательно,

.

Разделив на и перейдя к пределу при , получим

, (7.1)

где – направляющие косинусы вектора .

Таким образом, для дифференцируемой функции знание частных производных позволяет найти производную по любому направлению.

ПРИМЕР. Найти производную функции в точке по направлению вектора , где .

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке : , ;

, .

Теперь найдем направляющие косинусы вектора . Для этого необходимо координаты вектора разделить на его длину. Имеем:

, .

Подставляя все в формулу (7.1) получаем

.

Аналогичным образом определяется и обозначается производная по направлению для функции трех переменных . Повторяя для этой функции все проведенные выше рассуждения, получим

,

где – направляющие косинусы вектора .

2. Градиент.

Вектор с координатами , называется градиентом функции в точке и обозначается

.

Пусть – орт вектора (т. е. единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор ). Тогда и правую часть формулы (7.1) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:

Следовательно, формулу (7.1) можно записать в виде

По определению скалярного произведения

где – угол между векторами и . Так как , то окончательно получаем

(7.2)

Из этого равенства следует, что производная по направлению в точке будет наибольшей, если это направление совпадает с направлением градиента функции в точке . В этом случае и

.

Таким образом, градиент дифференцируемой функции в точке определяет направление, в котором функция в этой точке возрастает с наибольшей скоростью. При этом его модуль равен наибольшей скорости изменения функции в точке .

Из равенства (7.2) следует также, что если векторы и перпендикулярны, то производная . Но это значит, что функция в точке в направлении не меняется, т. е. указанное направление будет касательным к линии уровня в точке .

Таким образом, мы получили еще одно свойство градиента: направление вектора совпадает с направлением нормали к линии уровня функции , проходящей через точку .

Для функции трех переменных градиент определяется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.