«Про цены». Образовательная программа для обучающихся 6 классов

Муниципальное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа с. Александровское.

«Про цены».

Образовательная программа для обучающихся 6 классов.

Составитель

учитель математики

с. Александровское 2010 год.

СОДЕРЖАНИЕ:

Пояснительная записка……………………………………………………..3 Тематическое планирование……………………………………………….4-7 Возможные критерии оценок………………………………………………8-10 Приложение, ресурсный материал для проведения занятий……………11-17

4.1.  Понятие процента………………………………………………………….11-12

4.2.  Задачи на проценты………………………………………………………..12-13

4.3.  Простой процентный рост………………………………………………...13-14

4.4.  Сложный процентный рост………………………………………………..14-15

4.5.  Задачи связанные с изменением цены……………………………………15-18

Список литературы…………………………………………………………19

Пояснительная записка.

Предлагаемый курс «Про цены» является предметно – ориентированным и предназначен для реализации в виде проектной деятельности учащихся 6 классов общеобразовательной школы. Курс рассчитан на 24 часа. Разработка программы данного курса обусловлена практической потребностью разобраться в ценах на некоторые товары и услуги. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы велико и затрагивает не только финансовую, но и демографическую, социальную и другие стороны нашей жизни.

Непродолжительное изучение темы «Проценты» в 5 классе не позволяют шестиклассникам получить полное представление о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Изучение курса «Про цены» через организацию проектной деятельности, связано с тем, что только в основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учащихся, умение самостоятельно конструировать свои знания, умение ориентироваться в информационном пространстве, анализировать полученную информацию, самостоятельное выдвигать гипотезы, умение применять решения, умение исследовательской, теоретической деятельности, развитие критического мышления. При работе над проектом появляется исключительная возможность для формирования ключевых компетентностей учащихся.

Метод проектов предусматривает обязательное наличие проблемы, требующей исследования. Основным требованием проекта является использование исследовательских методов: определение проблемы, вытекающих из нее задач исследования, выдвижение гипотезы из решения, обсуждение методов исследования, оформление конечных результатов, анализ полученных данных, подведение итогов, корректировка, выводы (использование в ходе совместного исследования метода «мозгового штурма», «круглого стола», дискуссии и т. д.). Т. к. метод проектов ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся, то при изучении курса преобладают групповые и коллективные способы обучения.

Цель курса:

- Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большего курса задач, показав широту применений процентных расчетов в реальной жизни.

- Получение опыта проектной деятельности.

- Реализовать свои знания в практической ситуации.

Задачи курса:

- Формирование умения: постановки проблемы, целей и задач проекта.

- Формирование умении планировать свои действия в соответствии с поставленными условиями и задачами.

- Формирование умения работать с информацией (поиск, обработка информации).

- Формирование навыков работы в группах постоянного и сменного состава.

- Формирование умения осуществлять самооценку и взаимооценку в соответствии с выбранными требованиями.

Тематическое планирование

Этапы	Название	№ урока	Тема	Формы работы	Результат
I Замысел	Аналитический				План реализации проекта: пошаговое планирование работы
№ п/п	Содержание деятельности (виды деятельности, формы работы)	Результат
1	Изучение теоретического материала Работа в группах постоянного (сменного состава) а) понятие процента; б) вывод формул, правил при решении основных задач на проценты; в) вывод формул простого процентного роста; г) вывод формул сложного процентного роста;	Конспект. Формулы, правила. Формула. Формула.
2	Процентные вычисления в жизненных ситуациях (сюжеты задач из реальной жизни). Индивидуальная и групповая форма обучения) а) Распродажа; б) Тарифы; в) Штрафы; г) Банковские операции - простые проценты; - сложные проценты.	Задачи. Практические работы.
3	Обобщение «Круглый стол».	Схема преобразования цен.
4	Создание и формирование мини – справочника для потребителя.	Справочник.
5	Презентация результатов (слайдовая).	Выступление учащихся.
6	Рефлексия.	Оценки результатов деятельности.
II Реализация проекта	Практический	8	Понятие процента	«Водоворот»	Зафиксировали информацию из разных источников в единой системе (конспект).
9.10.11 12.13	Задачи на проценты ( три группы) - Нахождение процента от числа. - Нахождение числа по его проценту. - Нахождение процентного отношения двух чисел. - Простой процентный рост. - Сложный процентный рост.	Научно – исследовательские лаборатории. Учащиеся разбиваются на группы и выбирают тему для самостоятельно изучения, вырабатывают критерии взаимооценки. Каждая группа выбирает форму передачи изученного материала, готовит одно, два задания по своей теме для проверки уровня усвоения изложенного ими материала. Остальные выступают в роли экспертов. При необходимости возможна консультация учителя	Самостоятельно договариваются о правилах и вопросах обсуждения; Предлагают план действия ; Излагают новую информацию и задают вопросы на понимание; Задают друг другу вопросы; Фиксируют результаты, выявляют суть разногласий; Сопоставляют, развивают, уточняют идеи друг друга; Аргументируют свои ответы; Приводят примеры подтверждающие выводы; Индивидуальная домашняя самостоятельная работа: подготовить 1-2 задачи на проценты из реальной жизни.
15.16	Процентные вычисления в жизненных ситуациях - Распродажа. - Тарифы. - Штрафы.	Работа в «команде».	Использовали полученные ими теоретические знания на практике.
	Презентационный	17	Стандартная форма для вычисления процентов.	«Круглый стол».	Обобщали, систематизировали полученные знания.
18 19 20	Создание элементарного мини – справочника «Про цены».	Творческая лаборатория: По созданию и оформлению продукта проекта.	Осмысление изученного материала. Использование его в новой ситуации. Справочник при желании поможет разобраться не только в ценах, но и с любыми задачами на проценты.
21 22	Подготовка презентационных материалов.	- Оформление проекта на бумажной основе. - Слайдовое оформление. - Подготовка докладов и тезисов. Конференция.	Формирование умения оформлять результаты своей деятельности с использованием доступных средств. Выступления участников проекта.
III Контрольный		23.24	Рефлексия.	Беседа.	Формирование умений осуществлять самооценку и взаимооценку в соответствии с выбранными требованиями.

Возможные критерии оценок.

За основу оценки результатов деятельности участников проекта предлагается рейтинговая система.

Оценка «удовлетворительно» - за 1-2 балла.

Оценка «хорошо» - за 3-4 балла.

Оценка «отлично» - за 5-6 баллов.

Оценки выставляются на основании оценочных листов, которые заполняются на каждого участника проекта.

Оценочный лист №1. Ф. И.О. участника ___________________ класс

Постановки «Проблемы»

№	Содержание	Баллы	Самооценка (баллы)	Взаимооценка и рефлексия (баллы)
1	Понимание проблемы.	1б
2	Объясняет выбор проблемы.	2б
3	Описал ситуацию и свои намерения.	3б
			Количество баллов:	Количество баллов:
		Средний балл: Оценка:

Оценочный лист №2. Ф. И.О. участника _________________ класс

Целеполагания и планирование

№	Содержание	Баллы	Самооценка (баллы)	Взаимооценка и рефлексия (баллы)
1	Понимает цель. Рассказал о работе над проектом.	1б
2	Ставит задачи. Описал ожидаемый результат.	2б
3	Определил последовательность действий. Указал характеристики продукта.	3б
			Количество баллов:	Количество баллов:
		Средний балл: Оценка:

Оценочный лист №3 Ф. И.О. участника ___________________ класс

Работа с информацией

№	Содержание	Баллы	Самооценка (баллы)	Взаимооценка и рефлексия (баллы)
1	Получил информацию из источника. Изложил информацию.	1б
2	Называет проблемы в информации по вопросу. Привел пример, подтверждающий вывод.	2б
3	Назвал несовпадения в сведениях. Предложил свою идею.	3б
			Количество баллов:	Количество баллов:
		Средний балл: Оценка:

Оценочный лист №4 Ф. И.О. участника __________________ класс

Письменная коммуникация

№	Содержание	Баллы	Самооценка (баллы)	Взаимооценка и рефлексия (баллы)
1	Соблюдение норм заданные образцом.	1б
2	Использует вспомогательную графику (тема включает 1 вопрос).	2б
3	Тема включает несколько вопросов, использует вспомогательную графику.	3б
			Количество баллов:	Количество баллов:
		Средний балл: Оценка:

Оценочный лист №5 Ф. И.О. участника __________________ класс

Устная, продуктивная коммуникация

№	Содержание	Баллы	Самооценка (баллы)	Взаимооценка и рефлексия (баллы)
1	Повторил фрагмент выступления. Следует теме и процедуре.	1б
2	Провел дополнительную информацию. Высказывает мысли подготовленные заранее.	2б
3	Раскрыл причинно – следственные связи. Разъясняет и аргументирует высказывания.	3б
			Количество баллов:	Количество баллов:
		Средний балл: Оценка:

Приложение.

Ресурсный материал для проведения занятий

4.1. Понятие процента

Некоторые дроби, часто встречаются в повседневной жизни, получили особое название. К таким дробям относятся: –половина, –треть, – четверть и - процент

Дробные числа удобно сравнивать, если они выражены в одинаковых долях. На практике удоб­ными оказались сотые доли.

Процентом называется дробь (0,01).

Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть.

Процент обозначают знаком %. С помощью этого зна­ка можно записать:

=1% или 0,01 = 1%.

Знак % заменяет множитель 0,01.

Проценты - это числа, представляющие собой част­ный случай десятичных дробей. Так как любое число можно выразить десятичной дробью, то любое число можно выразить в процентах.

Единица содержит сто сотых долей: 1 =

Так,

2 = 12 = 100% • 2 = 200%; 7 = 700% 0,8 =1 • 0,8 = 100% • 0,8 = 80%.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «рго centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» использу­ют это словосочетание. Например, говорят, что в России на каж­дые 100 человек приходится 12 человек, имеющих высшее обра­зование. Это означает: 12% населения России имеет высшее об­разование.

Символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: cto

В 1685 г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо cto было на­брано %. После этого знак % получил всеобщее признание.

Изображение процентов на числовом луче:

 

В практической жизни полезно знать связь между простейшими значения­ми процентов и соответствующими дробями: половина - 50% , четверть - 25%, три четверти - 75% , пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т. д.

Полезно также "автоматически" понимать разные формы выражения одно­го и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помо­щью процентов, и конечно, самостоятельно говорить "двумя способами".

Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50% " и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раза" говорится об одном и том же.

Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увели­чить в 3 раза - это значит увеличить на 200% , уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%:

Аналогично

-  увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,

-  уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.

4.2. Задачи на проценты (формула процентов)

Поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являют­ся по существу теми же задачами на дроби.

В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть в (правильная или неправильная) выражается числом р%:

В зависимости от того, что неизвестно — а, в или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие зада­чи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

I. Нахождение процента от числа.

 

Итак, чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18х

II. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его части Ь, выраженной дробью , надо в разделить на

Таким образом, чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответ­ствующую этому проценту, разделить на дробь. Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4 : 0,08 = 240 : 8 = 30 см.

III. Нахождение процентного отношения двух чисел. ,

Чтобы найти, сколько процентов число в составляет от а, надо сначала уз­нать, какую часть в составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

Значит, чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от вто­рого, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным от­ношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахож­дения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

, и взаимосвязаны. Именно две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби и, при желании, можно пользоваться ею, чтобы найти любую из неизвестных

величин а, b и р.

4.3. Простой процентный рост

Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т. п., то на него может налагаться штраф, который называется «пеня» (от латинского poena – “наказание»).

Если, например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за 19 дней просрочки штраф составит 19% от суммы платежа, и вместо, скажем, с 50 рублей самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19 50 =9,5 рублей, а всего 59,5 рублей

Ясно, что платежи все разные; в разных местах пеня за просрочку также не одинаковая и время просрочки разные. Поэтому составим общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячный платеж, пеня составляет р% за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней.

Сумму, который должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим Sn.

Тогда за n дней просрочки пеня составит pn% от S или Всего придется заплатить , или, что то же самое, Таким образом Sn=

Задача 1. Сколько надо заплатить, если платеж 5000 рублей просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой:

а) на 5 дней

б) на 30 дней

Решение: В случае а) всего надо будет заплатить р.

В случае б) пеня составит 30% от суммы платежа: р.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р%, от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через n месяцев на его счете будет , и мы в результате получаем, что Sn=

Мы получили в точности ту же самую формулу, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл.

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название.

Формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.

Sn=

Эта формула также простого процентного роста, хотя в действительности заданная величина убывает. Рост в этом случае «отрицательный»

Задача 2. Новый компьютер был куплен за 50000 рублей. Каждый год на его амортизацию списывается 10%. Сколько будет стоить компьютер через 4 года.

р

4.4.Сложный процентный рост

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называе­мых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения вне­сенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - "проценты", как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, уве­личенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза. Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится

в1,4•1,42=1,43раза.

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через п лет, равна Snруб.

р% от S составляют руб., и через год на счете окажется сумма

,

То есть начальная сумма увеличится в раз

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сума

 

Аналогично, S= и т. д. Другими словами, справедливо равенство

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи­ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.

Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож­ном росте 100% - это предыдущее значение величины.

Задача 2. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?

Решение:

При простом процентном росте через 5 лет сумма составитруб.,

А при сложном руб.

Ответ: при простом проценте будет суммаруб., а при сложном - 12441,6 руб.

Видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло­виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото­рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить. Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуа­ции, когда рассматриваемая величина за каждый задан­ный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определенное число про­центов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус

4.5. Задачи связанные с изменением цены.

Проанализируем часто встречающиеся объявления об изменении цен и выразим их в виде схем которыми потребители (учащиеся, родители) будут руководствоваться при решении более сложных задач «про цены»

Рассмотрим наиболее типичные ситуации.

1.  Если первоначальная цена некоторого товара составляла So рублей, то после ее повышения на а%, она составит

So+Soa0,01=So(1+a0,01) рублей

Аналогично, если первоначальная цена So понизилась на а%, то она составит

руб.

Нарисуем схему, где повышение цены
изображаем стрелкой, идущей от So вверх, а понижения – стрелкой вниз от So.

2.  В результате повышения первоначальной цены So на а% и последующего понижения на в % окончательная цена равна

So(1+a0,01)(1-вруб.

Аналогично, если первоначальная цена So сначала понизилась на а%, а потом повысилась на в%, то окончательная цена равна

So(1-a0,01)(1+вруб.

Схема преобразования цен

 

3.  Задачи

1 Холодильник стоит 25000 рублей. На весенней распродаже цену снизили на 33%. Сколько стал стоить холодильник?

25000

25000(1-330,01) руб.

33%

1.  25000 0,67=16750 рублей

2.  Цена на хлеб в течение прошлого года увеличилась сначала на 15%, а потом еще на 20%. На сколько процентов увеличилась цена на хлеб по сравнению с первоначальной?

·  So(1+150,01) (1+200,01)=So1,38

·  1,38100=138%

·  138-100= на 38% (увеличилась цена хлеба)

3.  В результате двухкратного повышения цен на 10% цена товара стала 2662 руб.

Определить первоначальную цену.

Пусть So –первоначальная цена

 

1.  So(1+0,1) (1+0,1) – новая цена

So(1,1)(1,1)=2662

2.  So=26621,21=2200 рублей первоначальная цена.

4.Осенью яблоки продавались по 55 рублей за килограмм, к декабрю их цена возросла сначала на 28%, а затем еще на 22%, а после нового года их цена была снижена на 7%. Какая стала цена яблок после нового года?

22%

55(1+28(1+220,01)(1-70,01)=551,281,220,9379,9=80 рублей новая цена яблок

ФОРМУЛЫ

С=а n – формула стоимости

Формула процентов

в= а

Формула простого процентного роста

Формула сложного процентного роста

Схема преобразования цен (стандартная форма для вычисления процента)

Список литературы:

1.  , , Процентные вычисления, М., 2003.6-14с, 50-59с, 68-73 с.

2.  , , 2006. 26с, 84-86с, 98-100с, 106-108с.

3.  , Учимся решать задачи на проценты, ч., 20с.

4.  , Еще раз о процентах, М., 20с.

5.  , Сложные проценты, М., 19с, 40-41с.

6.  , , Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры, М., 20с, 176-194с.

7. , , Метод проектов – технология компетентностно – ориентированного образования, С., 20с., 100-104с, 154-155 с.

Приложение.

Ресурсный материал для проведения занятий

4.1. Понятие процента

Некоторые дроби, часто встречаются в повседневной жизни, получили особое название. К таким дробям относятся: –половина, –треть, – четверть и - процент

Дробные числа удобно сравнивать, если они выражены в одинаковых долях. На практике удоб­ными оказались сотые доли.

Процентом называется дробь (0,01).

Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть.

Процент обозначают знаком %. С помощью этого зна­ка можно записать:

=1% или 0,01 = 1%.

Знак % заменяет множитель 0,01.

Проценты - это числа, представляющие собой част­ный случай десятичных дробей. Так как любое число можно выразить десятичной дробью, то любое число можно выразить в процентах.

Единица содержит сто сотых долей: 1 =

Так,

2 = 12 = 100% • 2 = 200%; 7 = 700% 0,8 =1 • 0,8 = 100% • 0,8 = 80%.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «рго centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» использу­ют это словосочетание. Например, говорят, что в России на каж­дые 100 человек приходится 12 человек, имеющих высшее обра­зование. Это означает: 12% населения России имеет высшее об­разование.

Символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: cto

В 1685 г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо cto было на­брано %. После этого знак % получил всеобщее признание.

Изображение процентов на числовом луче:

 

В практической жизни полезно знать связь между простейшими значения­ми процентов и соответствующими дробями: половина - 50% , четверть - 25%, три четверти - 75% , пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т. д.

Полезно также "автоматически" понимать разные формы выражения одно­го и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помо­щью процентов, и конечно, самостоятельно говорить "двумя способами".

Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50% " и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раза" говорится об одном и том же.

Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увели­чить в 3 раза - это значит увеличить на 200% , уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%:

Аналогично

-  увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,

-  уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.

4.2. Задачи на проценты (формула процентов)

Поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являют­ся по существу теми же задачами на дроби.

В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть в (правильная или неправильная) выражается числом р%:

В зависимости от того, что неизвестно — а, в или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие зада­чи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

I. Нахождение процента от числа.

 

Итак, чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18х

II. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его части Ь, выраженной дробью , надо в разделить на

Таким образом, чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответ­ствующую этому проценту, разделить на дробь. Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4 : 0,08 = 240 : 8 = 30 см.

III. Нахождение процентного отношения двух чисел. ,

Чтобы найти, сколько процентов число в составляет от а, надо сначала уз­нать, какую часть в составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

Значит, чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от вто­рого, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным от­ношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахож­дения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

, и взаимосвязаны. Именно две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби и, при желании, можно пользоваться ею, чтобы найти любую из неизвестных

величин а, b и р.

4.3. Простой процентный рост

Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т. п., то на него может налагаться штраф, который называется «пеня» (от латинского poena – “наказание»).

Если, например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за 19 дней просрочки штраф составит 19% от суммы платежа, и вместо, скажем, с 50 рублей самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19 50 =9,5 рублей, а всего 59,5 рублей

Ясно, что платежи все разные; в разных местах пеня за просрочку также не одинаковая и время просрочки разные. Поэтому составим общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячный платеж, пеня составляет р% за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней.

Сумму, который должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим Sn.

Тогда за n дней просрочки пеня составит pn% от S или Всего придется заплатить , или, что то же самое, Таким образом Sn=

Задача 1. Сколько надо заплатить, если платеж 5000 рублей просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой:

а) на 5 дней

б) на 30 дней

Решение: В случае а) всего надо будет заплатить р.

В случае б) пеня составит 30% от суммы платежа: р.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р%, от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через n месяцев на его счете будет , и мы в результате получаем, что Sn=

Мы получили в точности ту же самую формулу, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл.

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название.

Формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.

Sn=

Эта формула также простого процентного роста, хотя в действительности заданная величина убывает. Рост в этом случае «отрицательный»

Задача 2. Новый компьютер был куплен за 50000 рублей. Каждый год на его амортизацию списывается 10%. Сколько будет стоить компьютер через 4 года.

р

4.4.Сложный процентный рост

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называе­мых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения вне­сенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - "проценты", как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, уве­личенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза. Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится

в1,4•1,42=1,43раза.

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через п лет, равна Snруб.

р% от S составляют руб., и через год на счете окажется сумма

,

То есть начальная сумма увеличится в раз

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сума

 

Аналогично, S= и т. д. Другими словами, справедливо равенство

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи­ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.

Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож­ном росте 100% - это предыдущее значение величины.

Задача 2. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?

Решение:

При простом процентном росте через 5 лет сумма составитруб.,

А при сложном руб.

Ответ: при простом проценте будет суммаруб., а при сложном - 12441,6 руб.

Видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло­виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото­рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить. Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуа­ции, когда рассматриваемая величина за каждый задан­ный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определенное число про­центов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус

4.5. Задачи связанные с изменением цены.

Проанализируем часто встречающиеся объявления об изменении цен и выразим их в виде схем которыми потребители (учащиеся, родители) будут руководствоваться при решении более сложных задач «про цены»

Рассмотрим наиболее типичные ситуации.

1.  Если первоначальная цена некоторого товара составляла So рублей, то после ее повышения на а%, она составит

So+Soa0,01=So(1+a0,01) рублей

Аналогично, если первоначальная цена So понизилась на а%, то она составит

руб.

Нарисуем схему, где повышение цены изображаем стрелкой, идущей от So вверх, а понижения – стрелкой вниз от So.

2.  В результате повышения первоначальной цены So на а% и последующего понижения на в % окончательная цена равна

So(1+a0,01)(1-вруб.

Аналогично, если первоначальная цена So сначала понизилась на а%, а потом повысилась на в%, то окончательная цена равна

So(1-a0,01)(1+вруб.

Схема преобразования цен

 

3.  Задачи

1 Холодильник стоит 25000 рублей. На весенней распродаже цену снизили на 33%. Сколько стал стоить холодильник?

25000

25000(1-330,01) руб.

33%

1.  25000 0,67=16750 рублей

2.  Цена на хлеб в течение прошлого года увеличилась сначала на 15%, а потом еще на 20%. На сколько процентов увеличилась цена на хлеб по сравнению с первоначальной?

·  So(1+150,01) (1+200,01)=So1,38

·  1,38100=138%

·  138-100= на 38% (увеличилась цена хлеба)

3.  В результате двухкратного повышения цен на 10% цена товара стала 2662 руб.

Определить первоначальную цену.

Пусть So –первоначальная цена

 

1.  So(1+0,1) (1+0,1) – новая цена

So(1,1)(1,1)=2662

2.  So=26621,21=2200 рублей первоначальная цена.

4.Осенью яблоки продавались по 55 рублей за килограмм, к декабрю их цена возросла сначала на 28%, а затем еще на 22%, а после нового года их цена была снижена на 7%. Какая стала цена яблок после нового года?

22%

55(1+28(1+220,01)(1-70,01)=551,281,220,9379,9=80 рублей новая цена яблок

ФОРМУЛЫ

С=а n – формула стоимости

Формула процентов

в= а

Формула простого процентного роста

Формула сложного процентного роста

Схема преобразования цен (стандартная форма для вычисления процента)

Список литературы:

1.  , , Процентные вычисления, М., 2003.6-14с, 50-59с, 68-73 с.

2.  , , 2006. 26с, 84-86с, 98-100с, 106-108с.

3.  , Учимся решать задачи на проценты, ч., 20с.

4.  , Еще раз о процентах, М., 20с.

5.  , Сложные проценты, М., 19с, 40-41с.

6.  , , Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры, М., 20с, 176-194с.

7. , , Метод проектов – технология компетентностно – ориентированного образования, С., 20с., 100-104с, 154-155 с.

Комментарий эксперта НОЦ «Институт инноваций в образовании» ТГУ

Анализ и оценка модуля осуществлялась на основе следующих критериев:

1.  Соответствие целей и задач модуля современным требованиям к образовательным результатам, в частности - ориентация образовательного процесса на формирование компетенций (способа действия, деятельности в предметной или иной области), развитие самостоятельности, образовательной активности в изучении предметного материала.

2.  Адекватность форм и способов организации образовательной деятельности компетентностному и личностно-ориентированному подходу, в частности наличие в программе специальных форм вовлечения учащихся в образовательной процесс, создание условий доля формирования субъектной позиции по отношению к предметному материалу и организации своего образования, использование методов, технологий, приемов, обеспечивающих самостоятельную учебную деятельность, активизирующих познавательный интерес и способствующих развитию коммуникативных, аналитических, проектных и информационных компетенций.

3.  Логика проектирования программы, в частности соответствие заявленных целей, формам и способам организации образовательного процесса, адекватность заявленных результатов и методов их оценки, соответствие учебного материала и используемых технологий и методик преподавания.

4.  Проработанность, как содержания программы, так и методической базы для ее реализации, в частности - полнота и качество представленного методического обеспечения, спектр учебных заданий, наличие разработанных авторских методических приемов, раздаточного материала и др.

Исходя из указанных позиций для анализа и оценки, можно отметить, что в качестве образовательных результатов автор модуля выделяет широкий спектр: это расширение и усиление учебных навыков в предметной материале, умение самостоятельно работать со знаниевым математическим материалом, находя ему практическое применение в обыденной жизни, умение ориентироваться в информационном пространстве, анализировать полученную информацию, самостоятельное выдвигать гипотезы, организовывать поисковую, аналитическую, проектную работу, презентировать образовательный результат и продукт другим, адекватно оценивать результат своей образовательной деятельности.

Такой спектр целевых установок является избыточным для традиционного академического подхода к образованию и не может быть выполнен в полноте стандартными приемами и образовательными технологиями. В связи с этим кажется совершенно адекватным выбор автором метода проекта как ключевой технологии для организации образовательного процесса. В пояснительной записке к модулю автор обосновывает необходимость и адекватность использования именно этого педагогического метода.

Ориентация на организацию проектной деятельности отразилась в способе проектирования учебно-тематического плана программы, который отражает, в первую очередь, этапы проектной деятельности учащихся, а уже во вторую – тематические блоки, которые при этом изучаются. Для организации проектной деятельности автору пришлось

разработать пакет заданий для самостоятельной и групповой работы, диагностические материалы для анализа и оценки сформированности отдельных метаумений в процессе овладения проектной, информационной, аналитической компетенциями.

Представленный автором пакет методических материалов к программе отражает задания, раздаточные материал, карты для анализа и оценки учащимися своей деятельности.

Надо сказать, что тема «проценты» в 6-классе часто является основанием для организации проектной работы учащихся. Это связано с практическим характером получаемых знаний и «удобством» использования этой темы для организации самостоятельной поисковой и практической деятельности учащихся. Достоинством данного модуля является проработанность именно методической базы его реализации. В частности представляет интерес структура и содержание диагностического материала.

Считаю модуль законченным, целостным, логичным элементом программы, он полностью соответствует современным задачам общего образования. В качестве рекомендации для развития советую опробовать способ организации образовательной деятельности на других предметных блоках. В этом случае можно будет говорить о постепенном переходе к целостной образовательной программе изучения математики, обеспечивающей систематическую педагогическую работу над формированием необходимых компетенций в образовательной деятельности.