I блок заданий

I блок заданий

Таблица элементарных функций.

Она составляет базу для решения всех задач, поэтому знания проверяются на уровне таблицы умножения.

(Демонстрируются графики функций)

я показываю рисунок графика, вы должны назвать имя функции, её область определения, область значений и монотонность. Берутся наиболее важные фрагменты таблицы.

Элементарные функции и их графики.

 

k>0 y=kx+b k<0

возр. D= убыв.

E=

Если x [a, b]

Е=[f(a);f(b)] E=[f(b)-f(a)]

 

a>0 y=ax2+bx+c a<0

 

D=(-+)

 

E=[yo; +) E=(-; yo]

 

y=|x| y=

 

D=(-; +) D=[0;+)

E=[0;+) E=[0;+)

 

y= k>0 y=x3

 

D=E=(-; 0) (0; +) D=E=(-

a>1 y=ax 0<a<1

возр. убыв.

1 1

 

D=(-

E=(0;+)

 

a>1 y=logax 0<a<1

возр. D=(0;+) убыв.

E=(-)

1 1

 

y=sinx y=cosx

D=(-)

E=[-1;1]

 

y=tgx y=ctgx

 

D: x; E= D: xn;

y=arcsin x y=arccos x

D=[-1;1] D=[-1;1]

E=[-] E=[0;]

-1 1

 

-1 1

 

y=arctg x y=arcctg x

D=() D=()

E: () E: (0;)

 

0

II блок заданий.

Задачи базового уровня группы A

Среди них можно выделить функции вида y=k f(x)+a, где f(x) – элементарная функция, k, a – числа, причем k0

Сформулируйте теоритическое обоснование решения такич задач.

1.  y=2x+5 E=(5;+)

2.  y=()x-3 E=(-3;+)

3.  y=x2+4 E=[4;+]

4.  y=–x2+5 E=(-;5]

5.  y=-2 E=[-2;+)

6.  y=|x| -2 E=[-2;+)

7.  y=3cos(x-2) E=[-3;3]

8.  y=sinx cosx E=[-0.5;0.5]

9.  y=5sin +5 E=[0;10]

10. y=lg x +3 E=()

11.  y=3+4 E=[4;+)

 

Некоторые интересные частные случаи.

12. y= E=[2;+)

13. y=2x+2-x E=[2;+)

14. y=tgx . ctgx, x I ч. E={1}

15. y=7-|x| E=(0;1]

16. y=7|x| E=[1;+)

17. y=arcsin 7|x| E={}

18. y=log2 (x2+2) E=[1;+)

19. y= E={0}

20. y= E={1;-1}

III блок

Сложная функция

(Задачи групп В и С)

Начнем с понятия сложной функции. Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят, что h есть сложная функция, составленная из функции g и f и пишут

f g

x à y à z, h = g ( f ( x ))

При этом D(h) является Е(f) или его частью D(h) E(f)

Рассмотрим группу задач на нахождение области значений функции h(x)=g(ax2+bx+c), где g – одна из элементарных функций.

В основе их решения лежит ключевая задача о нахождении множества значений квадратного трёхчлена. Решим её на примере функции:

y=x2+2x+;

x0==1; y0=1-2+1

(1;) – вершина

a=1>0, E(y)=[; +)

Далее у доски готовятся к ответу 3 человека (их контролируют с места 3)

1) y=16x-2x+ y=() x-2x+ =max y

a) 2=min y 1

 

¼ ¼

y=16¼ =2; E=[2;+) ()¼=; E=(0;]

2.

a) y=log4 (x-2x+) б) y=log¼ (x-2x+)

 

¼

¼ 1

[-1;+) (-;1]

min y=-1 max y=1

3.

a) y=arcsin (x-2x+) б) y=arccos (x-2x+)

x-2x+ a 1;

-1 a 1; 0 arccos a arccos

a 1; E=[0; arccos ]

arcsinarcsin a

E=[arcsin ; ]

В это время yстно разобрать ситуации

y= [;+]

y= (0; 4]

От функции у=f(ax2+bx+c) следует отличать функцию вида y=af2(х)+bf(х)+c, где a0, f(x) – элементарная функция.

У доски готовятся два человека:

1)  y=cos2x-2cos x +

cos x=t, |t| 1, y=t2 - 2t +

E(y)=[;4] ¼

4=y(-1)=1+2+ -1 1 t

2)  y=22x-2 2x +;

2x=t, t>0, y=t2 - 2t +

E=[;+) t

 

Функция y=, где f(x) – либо функция, приводимая к виду kf1(x)+a, либо сложная.

У доски готовятся 4 учащихся.

1)  Найти количество целых чисел E(y),

y=7 .

g(x)= . 4x - . 42x, 4x=t, t > 0

g(t)= -t2+t, t>0

to==-: (-)=1; g(1)=

(1; ) – вершина

E(g)=(-; ], но 1 t

с учетом D(); [0;] à [0;] à [0;]

из них целые 0, 1, 2, 3 – всего 4.

2)  Найдите наибольшее целое Е(у), если

y=

g(x)=25cos2x+10cos x+14=(5cosх+1)2+13

0(5cos x+1)236

10(5cos x + 1)2+1349

7

101,5у . 7=10.5

Наибольшее целое 10.

II способ

g(t)=25t2+10t+14, |t|1

t0=, g()=1-2+14=13

g(1)=25+10+14=49

[13;49] à[]=[;7] à] наибольшее целое 10.

-13

 

-

3)  Найти наибольшее целое значение функции:

 

y=

7-x=()x, x>0 1

g(x)=7-|x|=

7x, x>0

E(g)=(0;1]

0<7-|x| 1

15<7-|x|+1516

4 наибольшее целое 4.

В это время полуустная работа E(y) – ?

y= y=;

y=

Блок 4

Нахождение множества значений дробно-рациональных функций и сложных функций, в которых аргумент представлен дробно-рациональной функцией.

У доски готовятся

1) y=; [-;]

2) y=, [-;1)(1;+)

3) y= (0;3]

4) y= [-;1]

5) y= [;3]

см. решебник.

Сложная функция

1) y=arcsin [-]

2) y=arccos [0;]

3) y=log3 [-1;1]

4) y=5 (1;125]

5) y= [0;3]

6) y= (1;6)

Краткий комментарий к решению

Рассмотрим вопрос о нахождении множества значений дробно-рациональных функций.

1.  y=

Выразим x через y, решая уравнение как квадратное.

y+yx2=x; yx2-x+y=0

D=1-4y2. Чтобы уравнение имело корни D0 1-4y20; 4y21; y2

y[-;] ) y= [-;]; y= E=[]

2.  y=

yx2+2y=2x2-1; это неполное кв. уравнение (y-2)x2=-2y-1

x2=

y=; y=2 - + -

½ 2 y

3. y=; xy-3y=x+2

x(y-1)=2+3y x=;

y

4. y=;

yx2-yx+y=x2+x+1 Если y=1, то 0 . x2-2 . x+y=1

(y-1)x2-x(y+1)+y-1=0 x=0

y1, D=(y+1)2-4(y-1)2=y2+2y+1-4y2+8y-4=-3y2+10y-3

Для того, что x

y1=; y2=+3;

. y=

5. y=

yx4-x2+y=0

x2=

c учетом y0

y[0; ]

1-4y20

Дополнительные упражнения.

а) y=; б) y=; в) y=; г) y=

a) yx2+2y=2x2-1 в) yx2+y=9-x2

(y-2)x2=-1-2y (y+1)x2=9-y

x2=0 x2=

y=-,y=2 y=9; y=-1

- + - - + -

½ 2 E= -1 9

E= [-;2) E=( -1 9]

б) yx2+4y=x2-2 г) y=

(y-1)y2=-2-4y 2y|x|+y=3

x2= |x|=

y=-, y=1 y=0, y=3

- + - - + -

-½ 1 0 3

[-;1) (0;3]

Сложная функция, в которой роль промежуточной переменной выполняет дробно-рациональная функция.

1. f(y)=arcsin [arcsin]

y= из предыдущего блока

E(y)=[-;1]=D(f)

- a 1

- arcsin a E(f)=[- ;]

Что изменится, если arcsin

2. f(x)=arccos

- a 1 функция убывающая

0 arccos a [0; ]

3. y=log2

E(y)=[-;1] àD=(0;1]

E(f)=(-;0]

1

Для самостоятельной работы.

1) f(x)=arcsin

2) f(x)=arccos [-;1] à[0;]

3) f(x)=log3 [-1;9] à [0;9] à [0;3] à (-;1]

 

1 3

Блок 5

Тригонометрические функции.

База. y=sin x D=R

y=cos x E=[1;-1]

y=tg x, xn

y=ctg x; xn E=R

arcsin a = , sin = a, |a|=1

arccos a = , [0;], cos = a, |a|=1

arctg a = , , tg = a

arcctg a = , , ctg=a

Ключевые задачи:

y=a sin k;x; y=a cos k x;

y=sin k x + b; y=cos k x + b;

y=a sin k x + b; y=a cos k x + b;

I. E=[-a;+b; a+b];

Частные случаи y=a cos2x+b, E=[0; a+b]

К ним приводятся с помощью тождественных преобразований

y=cos2x-sin2x, E=[-1;1]

y=sin x cos x =sin 2x; E=[-1;1]

y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2x cos2x=1-sin2 2x; E=[;1]

y=sin6x+cos6x=1-sin22x; E=[;1]

II. y=a sin x b cos x=sin (x +) Ключевые

E=[-;] |cos + (cos x + )| задачи

Например: y=4cos x+3sin x=5 cos(x+4)

E=[-5;5]

III. y=a sin2x+b cos2x+c sin x cos x

Например: y=3cos2x-5sin2x+6sin x cos x=3 +3sin2x=

=

[-5;5] E(y)=[-6;4]

Аналогичное

1) y=sin2x+sin2x-3cos2x=…=sin2x-2cos2x-1=3sin(2x-4)-1; E(y)=[-4;2]

2) y=cos2x-sin x cos x E(y)=[]

3) y=cos2x + 4cos2x + 6sin x cos x E=[3-;3+]

Комбинации тригонометрических функций с другими.

IV. f(x)=cos (1-)

(1) t(x)=1- yx2+y=x2;

- + - (y-1)x2=-y, x2=

0 1 y E(y)=[0;-1)

f(y)=cos y, где y [0;1), cos y – убыв.

E=(cos 1; 0]

(2) f(x)=4arcsin() + 3

g(x)=sin2x+cos2x;=sin(2x+4);

-+3 < y < +3

arcsin(-) < arcsin E=[-+3; +3]

-< . . < | . 4 Из E удалили целые. Сколько

получилось промежутков? (8)

Блок 5

Применение производной для нахождения множества значений функции

1.  f(x)=4sin3x+3cos2x=4sin3x - 6 sin2x+3

sin x=t, |t| < 1

f(t)=4t3-6t2+3

f |(t)=12t2-12t=0 12t(t-1)=0, t=0, t=1

f(0)=3=max f(t)

[-1;1]

f(1)=4-6+3=1

f(-1)=-4-6+3=-7= min f(t)

[-1;1]

E=[-7;3]

Видоизменение (переформулировка) задачи.

При каких p уравнение не имеет корней (имеет корни)?

4sin3x=p-3cos2x

4sin3x+3cos2x=p

Если рE, то уравнение имеет корни, если рЕ, то нет корней

Ответ:

имеет корни р[-7;3]

не имеет корней p

2. При каких р уравнение имеет хотя бы один корень?

2sinx-3=p(1+ctg2x)

2sin x-3=p sin2x0

2sin3x-3sin2x=p

E=2sin3x-3sin2x, E(y)=?

t=sin x, |t| < 1, y=2t3-3t2=0

t0

y|=6t2-6t=0, t=0, t=1.

так y(0)=0, y1(1)=-1; y(-1)=-5= min y

[-1;1]

Функция y(t) непрерывна, следовательно E=[-5;0)

II

y=x ex+1

y|=ex+1+x ex+1=ex+1(1+x)=0;

x=-1 – ед. кр. точка

- min +

-1 1

y(-1)=-1. e0=-1 -1

y=0, x=0

y(1)=e2 E=[-1;+)

Наименьшее -1;

Аналогичное (1) y=2x e2x+1 E=[-1;+)

Продолжение к 1

при каком p уравнение не имеет корней?

6sin3x = p - 5cos2x

E(y) = [-11;5]

Уравнение не имеет корней, если pE, т. е. (-;-11)(5;+)

3. f(x)=x; E – ?

D: x y|=

y|=0; x=- 1/6

не опр. - min +

-¼ -1/0

 

Блок 7

Функция вида y=

1.  y=x+

=t, t > 0

2x-2=t2;

2x=t2-3, x=

y(t)=+t, t > 0

t0= -2

E=[-2;+) наименьшее -2.

2. y=-x E=(-;1]

Блок 8

Использование свойств числовых неравенств и монотонности функций.

1. y=(

log5(125+x4) > 3 т. к. возрастающая функция.

13+log5(125+x4) > 16

y=log0.2t, где t < 5

E(y)=[-1;+)

2.

log7(7+|x|) > 1

10+log7(7+|x|) > 11 |

t >

y=log1/7t, t >

E=(-;1]

2.  y=log0.5=log0.5 < 2 = -1

1+|ln x| > 1 11+

> 1

y=log4(16+|x|)-, x < 48

16+|x| > 16

log4(16+|x|) > log416=2

0 < x <48

log4(16+|x|)-3 > 2-3 = -1

E=(-1;+)

x < 0, log4(16+|x|)+3 > 2+3=5

E=(5;+)

E=(-1;+)(5;+ ) (-1;5)(5;+)

1. Найти множество значений функции

y=log3(3+|x|)-, если x < 24

a)  0 < x < 24

3 < 3+|x| < 27 1 < log3(3+|x|) < 3

 

1 3 27

-4=-5+1 < log3(3+|x|)-5 < 3-5=-2; (-4;-2]

Если x < 0 1 < log3(3+|x|) < 3 | +5

6 < log3(3+|x|) < 8

(6; 8]

Итак: (-4;-2](6;8]

2. y=log5(0,2+|x|)+, если x > -0,8

-0,8 < x < 0

0,2 + |x| > 0,2

log5(0,2 + |x| > log50,2 = -1

если –0,8 < x < 0, то

log5(0,2+|x|)-4 > -1+(-4)=-5

E=(-5;+)

если x > 0

log5(0,2+|x|)+4 > -1+4=3 E=(3;+)

(-5;+)(3;+) (-5;3)(3;+)

Блок № 9

Нахождение наибольшего и наименьшего значения монотонной функции на [a; b]

Повторение основных положений теории.

I 1) y=f(x) – возрастающая функция на [a; b]

Найти max f(x) – ? min f(x)

[a; b] [a; b]

2) y=g(x) – убывающая функция на [a; b]

Найти max g(x) – ? min f(x) – ?

[a; b] [a; b]

3) Известно, что f(x) и g(x) – возрастающие функции на [a; b]. Каков характер монотонности функций?

a) f(x) + g(x) б) f(x) . g(x) в) f(g(x)), г)

4) Известно, что f(x) И g(x) – убывающие функции на [a; b]. Назовите характер монотонности функций:

a) f(x) + g(x); б) f(x) . g(x); в) f(g(x)), г)

II Используя эти теоретические факты, найдите 1) наибольшее значение функции y=f(x) на [a; b], если Ответы:

a) y= max y=y(1)=8

[1;7]

б) y= max y=y(1)=1

[1; 7]

в) y= max y=y(-2)=40.5

[-2;1]

y=

г) y=elgx-1; x [1; 10] max y=y(10)=1;

[1; 10]

III Найти наименьшее значение функции на [a; b].

Ответы:

а) y= min y=y(2)=0.2

[1; 2]

б) y=log3 log2(x-1), x [3; 9] min y=y(3)=0

[3; 9]

в) y=; x[0; 1] min y=y(1)=2

[0; 1]

Заключительное слово учителя.

На этом мы закончим осмотр панорамы задач на нахождение области значений функции, предоставленных в тестах ЕГЭ в годах. Однако ставить точку в этом вопросе рано, думаю что задания последующих ЕГЭ ещё не раз удивят нас своей формулировкой и оригинальностью решения и хочется верить, что рассмотренный материал будет вам хорошим помощником.