Статика

Статика

Равнодействующая двух пересекающихся сил– ; диагональ параллелограмма . Равнодействующая сходящихся сил . Проекции силы на оси координат (для плоской системы сил): Fx=F×cosa; Fy=F×cosb. Модуль силы:; направляющие косинусы: разложение на составляющие: , Для пространственной системы: ,

Fx=Fcosa; Fy=Fcosb; Fz=Fcosg; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=åFix; Ry=åFiy; Rz=åFiz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:, аналитические: åFix=0; åFiy=0; åFiz=0. Условие равновесия пар сил: . Момент силы относительно точки: – векторное произведение. Модуль векторного произведения: R×F×sina= F×h. Плоская система сил: ±F×h, >0 – против час. стр.; <0 – по час. стр.

=(yFz – zFy)+(zFx – xFz)+(xFy – yFx), проекции момента силы на оси координат: М0x()=yFz – zFy; М0y()=zFx – xFz; М0z()=xFy – yFx.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.:, или, А, В,С – точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения: . tgjсц=fсц; tgjтр=f. Мтр= fkN – момент трения качения. Момент силы относительно оси: . Моменты силы относительно осей координат: Мx()=yFz – zFy; Мy()=zFx – xFz; Мz()=xFy – yFx. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I1= Fo2= Fx2+Fy2+Fz2; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I2= =Fx×Mx+Fy×My+Fz×Mz.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора . Мmin=M*

Главный вектор и главный момент ,

уравнения центральной оси: .

Условия равновесия простр. сист. сил: åFkx=0; åFky=0; åFkz=0; åMx(Fk)=0; åMy(Fk)=0; åMz(Fk)=0. Условия равновесия для системы параллельных сил (||z): åFkz=0; åMx(Fk)=0; åMy(Fk)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести: ; ; где Р=åрk. Центр тяжести плоской фигуры: , . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2a: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигуры – Sx=åyi×DFi= F×yc; Sy=åxi×DFi= F×xc.

Объем тела вращения V=2pxcF; площадь поверхности вращения F=2pxcL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .

Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный способ: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнение траектории: f(x, y,z)=0.

Векторный способ: радиус-вектор =, модуль , направляющие косинусы: и т. д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор скорости: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т. д.

Естественный способ: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, j=j(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcosj, y=rsinj. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т. д. Модуль уск.-я:, направляющ. косинусы: , и т. д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . . Модуль нормального ускорения: , r – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения , ^, Þ . Прямолинейное движение: r= ¥, аn=0, a=at. Равномерное криволинейное движение: v=const, at=0, a=an. s=s0+v×t, при s0=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движение: а=at=an=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение: at=const, v=v0+at×t, .

Угловая скорость: , . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: w=const, j=wt, w=j/t, равнопеременное вращение: w=w0+et; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: .

v=w×r×sin(a) = w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.

Формулы Эйлера: ,

vx=wyz – wzy; vy=wzx – wxz; vz=wxy – wyx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – wy; vy=wx. Ускорение: . Вращательное уск. , авр=e×r×sina, центростремительное уск. , ац=w2×R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремительным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.

Уравнения плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t), j = f3(t), Скорость ; , vBA= w×BA, vAcosa = vBcosb. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ий – Q; , , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: Y=f1(t); q=f2(t); j=f3(t) Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=wr×sina=w×h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. авр=e×r×sinb=e×h1, h1– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , аос=w2×h. Движение свободного тв. тела. Ур-ия движ. св. тв. тела: xA=f1(t); yA=f2(t); zA=f3(t); Y=f4(t); q=f5(t); j=f6(t) (углы Эйлера). Скорость точки св. тв. тела: . Ускорение точки св. тв. тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ;

, ;

; ; ,

, . Теорема о сложении ускорений -

теорема Кориолиса:

и т. д.

1) ;

2)

3) ;

4) ,

; ; .

. , ; ас= 2×|we×vr|×sin(we^vr).

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угловых ск-ей:.

. Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации ,

угл. ск. собственного вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера.

Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. w=w2+w1, ,

. 2) Вращения направлены в разные стороны. ,

w = w2—w1, . 3) Пара вращений ; vA=vB, v=w1×AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и w=const, то h==const, . Динамика

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: ,

; . –

– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t, C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0, =Vx=V0.

Свободные колебания ; c/m=k2, ; x= C1coskt + C2sinkt,

= – kC1sinkt + kC2coskt, С1= х0, С2=/k, т. е. x= х0coskt + (/k)sinkt.

С1=Аsinb, C2=Acosb, x=Asin(kt+b) – гармонические колебания, А= амплитуда, tgb=kx0/, b – начальная фаза свободных колебаний; – собственная частота колебаний; период Т=2p/k. Статическое отклонение dст=Р/с. Т=2p.

Затухающие колебания Rx= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:

z1,2=. а) n<k ,

x=Ae-ntsin(kt+b). , ; частота затухающих колебаний: k*=; период: . – декремент колебаний; –nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n ³ k. При n > k: , обозначая С1=(В1+В2)/2, С2=(В1-В2)/2, . При n = k: , ,

Вынужденные колебания: возмущающая сила: Q = Hsin(pt+d), р – частота возмущающей силы, d – начальная фаза. , h=Н/m, .

х = х*+х**. х*= C1coskt + C2sinkt, х**= Asin(рt+d).

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т. д. - момент количества движения матер.

точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. . Если МО= 0, Þ =const. =const,

где – секторная скорость. Элементарная работа dA = Ftds, Ft – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscosa. dA= – скалярное произведение; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:

. Если F=const, то = F×s×cosa. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М0 выше М1.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , Fтр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR2. Работа силы тяготения:.

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: . – кинетическая энергия материальной точки. В конечном виде: . , U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn, yn, zn) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådАi= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А1,2= П1– П2. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральная сила –, . Гравитационная сила ,, f = 6,67×10-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения.

Первая космическая скорость v1=» 7,9 км/с, R = 6,37×106м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v11=» 11,2 км/с.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: , l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т. д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер. точек: или в проекциях на оси координат: и т. д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер. точки: mh2. Момент инерции тела: Jz= åmkhk2. При непрерывном распределении масс: Jx= ò(y2+z2)dm; Jy= ò(z2+x2)dm; Jz= ò(x2+y2)dm. Jz= M×r2, r – радиус инерции тела. Полярный момент инерции Jo= ò( x2+y2+z2)dm; Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции: Jxy=òxy dm; Jyz=òyz dm; Jzx=òzx dm. Jxy=Jyx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; . Сплошной диск: .

Полый цилиндр:, цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):

. Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = Jxcos2a + Jycos2b + Jzcos2g – 2Jxycosacosb – 2Jyzcosbcosg – 2Jzxcosgcosa, если координатные оси – главные, то: J = Jxcos2a + Jycos2b + Jzcos2g.

Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если Þ , если при этом в начальный момент vCx0= 0, то Þ Þ xC= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . – импульсы внешних сил. В проекциях: Q1x – Q0x = åSekx. Закон сохранения количества движения: Þ = const, в проекциях: Þ Qx= const. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы: – уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m0 – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) . Теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося тела Kz = Jzw. Если Mz= 0, то Jzw = const. Кинетическая энергия системы .

Т = åТк. Поступательное движение: Тпост=. Вращательное: Твр=. Плоскопараллельное (плоское): Тпл=+, vC – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т=+. Работа момента: . Мощность: N=Mzw.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме:

dT = , в конечной форме: Т2 – Т1= . Для неизменяемой системы и Т2 – Т1= . Коэффициент полезного действия:,

h= Nмаш/Nдв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела: и т. д.

Дифф-ные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: , .

1) если = 0, то w = const; 2) = const, то e = const.

Уравнение вращательного движения физического маятника: , , дифференциальное уравнение колебаний маятника: , sinj » j,

тогда – дифференциально уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения: j = С1coskt + C2 sinkt или j = asin(kt + b). Период малых колебаний физического маятника Т= 2p/k = 2p. Для математического маятника:, L=– приведенная длина физического маятника.

Дифф. урав-ния плоского движения тела: ; ; .

— принцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.

Для системы добавляется уравнение: .

– главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции. , — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском движении: , при вращении вокруг оси z: .

Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .

и , , .

,

,

,

, – центробежные моменты инерции, .

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , ,

откуда xC= 0, yC= 0, Jyz= 0, Jzx= 0.

Основы аналитической механики

Принцип возможных перемещений:

; .

Общее уравнение динамики .

Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i=1,2…s), s – число степеней свободы; qi – обобщенная координата; – обобщенная скорость,

Т = Т(q1,q2,…,qS,,…,t) – кинетическая энергия; Qi – обобщенная сила.

. , П = П(q1,q2,…,qS, t) – потенциальная энергия.

Функция Лагранжа: L = T – П, – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях – квадратичная форма обобщенных скоростей, aij= aji – коэффициенты инерции.