УДК 511.3
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПАР ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ–БЛИЗНЕЦОВ
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ
Среди аддитивных задач с простыми числами, которые ждут своего решения, наиболее из-
вестна проблема простых чисел-близнецов. Выдвинута гипотеза, что простые числа-близнецы
составляют бесконечное множество. Однако это предположение до сих пор не удалось ни
доказать, ни опровергнуть.
Для решения этой задачи в теории чисел определена функция B(n), выражающая число про-
стых чисел p £ n, таких, что p + 2 тоже простое число ([1], С. 362 – 365).
Алгоритмическая форма задания этой функции, так называемое двойное эратосфеново ре-
шето, дает возможность вычислять значения этой функции, но не решает проблему простых чи-
сел-близнецов, которая заключается в том, чтобы доказать, что при увеличении n величина B(n)
тоже неограниченно увеличивается.
В данной статье рассматривается задача о распределении простых чисел-близнецов в нату-
ральном ряду. Приведены также результаты исследований распределения простых чисел-близ-
нецов на отрезках натурального ряда, которые по определению поставлены во взаимно одно-
значное соответствие с простыми числами-близнецами.
Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной
работы.
Определение 1 ([1], С. 362). Два простых числа с разностью, равной 2, называются просты-
ми числами-близнецами.
В дальнейшем простые числа-близнецы будут рассматриваться как один математический
объект и называться парой простых чисел-близнецов или кратко парой близнецов. Для опре-
деления каждой пары близнецов и однозначной идентификации установим два параметра:
порядковый номер пары близнецов в натуральном ряду k; значение второго простого числа
пары близнецов pk. Значение первого простого числа пары близнецов, согласно определе-
нию 1, равно pk – 2. Для характеристики распределения пар близнецов в натуральном ряду
имеют значение только эти два параметра. Внутренняя структура пары близнецов, определяе-
мая зависимостью первого простого числа пары близнецов от второго числа, в этом случае не
влияет на распределение пар близнецов в натуральном ряду.
Обозначим через ((pk – 2, pk)) пару близнецов с порядковым номером k; P – множество про-
стых чисел; N – множество натуральных чисел; Q – множество рациональных чисел; R – мно-
жество действительных чисел.
Тогда решение задачи о распределении пар близнецов в натуральном ряду сводится к ре-
шению задачи о распределении простых чисел, принадлежащих упорядочному подмножеству
P2 = {pk | pk Î P, k Î N}, где k – порядковый номер пары близнецов, pk – второе простое число
пары близнецов. Например, p1 = 5, p2 = 7, p3 = 13, p4 = 19, p5 = 31, p6 = 43, p7 = 61,
p8 = 73, p9 = 103, p10 = 109 и т. д.
Для характеристики распределения пар близнецов в натуральном ряду определим функцию
p2(x).
Определение 2. Числовая функция p2(x) обозначает число пар простых чисел-близнецов
((pk – 2, pk)), k Î N, меньших или равных x.
Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции
и в других точках, являются не натуральные значения аргумента x, а простые числа. Действи-
тельно, если задано упорядоченное множество простых чисел P2, то значение функции p2(x)
может быть вычислено по следующему алгоритму
k Î N; если pk £ x < pk+1, то p2(x) = k.
Алгоритмический способ задания функции p2(x) задает правило соответствия, которое устанав-
ливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа и его
порядкового номера.
Отметим некоторые свойства функции:
а) функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках pk, k Î N слева;
б) значения функции в точках pk, k Î N равны p2(pk) = k (согласно определению);
в) значения функции в точках pk, k Î N слева равны p2(pk - 0) = k - 1;
г) скачки функции в точках pk слева, k Î N равны p2(pk - 0) - p2(pk) = -1;
д) на частичных промежутках [pk, pk+1), k Î N функция сохраняет постоянные значения
p2(x) = k, pk £ x < pk+1;
е) при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.
В дальнейшем частные значения функции p2(pk), которые отвечают частным значениям
аргумента x = pk, k Î N, рассматриваются как сложная функция от аргумента k (pk интерпре-
тируется как функция натурального аргумента k).
Для решения задачи аппроксимации функции p2(x) в качестве исходных данных исполь-
зуется таблица, содержащая 3424500 простых чисел, принадлежащих множеству P2. При этом
с целью уменьшения объема вычислений точками аппроксимации приняты x = pk, k = 70, 80,
90, …, 1840160.
Численное решение задачи разбивается на следующие этапы:
а) выбор типа приближающей функции;
б) выбор параметров приближающей функции.
При выборе типа приближающей функции была выполнены предварительные расчеты
pk
табличных значений функции натурального аргумента yk = ¾¾.
k
Эта функция обозначает среднюю разность между соседними парами близнецов, которые
принадлежат отрезку [0, pk], k = 1, 2, 3, …, 1840160. Функция изменяется довольно гладко
и может быть аппроксимирована выражением
1
(1 – ¾¾¾¾¾ ) (ln k) (ln k),
(ln k) ¤ a + b
где a и b – числовые параметры.
Согласно определению значения функции в точках pk, k Î N равны p2(pk) = k.
pk pk
Так как ¾¾ = ¾¾¾ = k, то функция p2(x) для x = pk связана с функцией yk соотношением
yk pk ¤ k
pk
p2(pk) = ¾¾.
yk
Тогда тип приближающей функции для p2(x) будет иметь вид
x
j(x) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ . (1)
1
(1- ¾¾¾¾¾¾) (ln x) (ln x)
(ln x) ¤ a + b
Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции используется метод
наименьших квадратов ([2], с. 326 ¸ 344).
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции j(x) от табличных значений
функции p2(x) была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция
параметров a и b. Обозначим ее через S(a, b)
S(a, b) = S (j(pk) - p2(pk))2, (2)
где суммирование выполняется по точкам аппроксимации pk , k = 70, 80, 90, …, 1840160.
Тогда в качестве меры наилучшего приближения функции p2(x) принимается величина
min S (j(pk) - p2(pk))2.
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, численными методами разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим
по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b).
Результаты расчетов приведены в табл.1.
Таблица 1 Продолжение табл.1
-----
a : b : S(a, b) a : b : S(a, b)
----
20,4 : 2, : ,93 22,0 : 2, : ,02
20,8 : 2, : ,67 22,4 : 2, : ,85
21,2 : 2, : ,40 22,8 : 2, : ,60
21,6 : 2, : ,61 23,2 : 2, : ,48
-----
На втором этапе выполним интерполяцию функции S(a, b), используя данные табл.1.
Узлами интерполяции выбраны значения параметра a, равные 22,0; 22,4 и 22,8. Для интерполя-
ции функции S(a, b) используем полином второй степени
S(a, b) = a a2 + b a + g, (3)
где a = ,652479; b = - ,8291; g = ,3890.
На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального
значения функции S(a, b)
b - ,8291
a = - ¾¾ = - ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 22,.
2a 2 × ,652479
При этом минимум минимального значения функции S(a, b), вычисленный по формуле (3),
равен ,29.
На четвертом этапе для параметра a = 22, определим по формуле (2) значение
параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b). Минимуму функции S(a, b)
отвечает b = 2,. Минимальное значение функции S(a, b) равно ,79.
Минимальное значение функции S(a, b), вычисленное по формуле (2) для a = 22, и
b = 2,, отличается от минимального значения функции S(a, b), определенного по фор-
муле (3), на 250. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S(a, b).
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S(a, b) зададимся
рядом значений параметра a в окрестности точки a = 22, и для каждого из них
определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение
функции S(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.2.
Таблица 2 Продолжение табл.2
-----
a : b : S(a, b) a : b : S(a, b)
-----
22,4620 : 2, : ,25 22,4650 : 2, : ,01
22,4625 : 2, : ,47 22,4660 : 2, : ,92
22,4627 : 2, : ,92 22,4670 : 2, : ,18
22,4630 : 2, : ,38 22,4680 : 2, : ,97
22,4640 : 2, : ,43 22,4700 : 2, : ,84
-----
Используя данные, приведенные в табл.2, уточненные значения параметров a и b приняты
соответственно равными 22,4627 и 2,. При этом приближающая функция для p2(x)
имеет вид
x
j(x) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ . (4)
1
(1- ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾) (ln x) (ln x)
(ln x) ¤ 22,4627 + 2,
В табл.3 приведены отклонения приближающей функции j(x) от исходной функции p2(x)
для значений аргумента, принадлежащих отрезку [109, ].
Таблица 3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
109 : 8 : 10 :: 26 : 30 : -4
Продолжение табл.3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
1489 : 46 : 50 :: 129489 : 130000 : -511
2311 : 63 : 70 :: 139504 : 140000 : -496
3823 : 92 : 100 :: 149596 : 150000 : -404
17209 : 291 : 300 :: 159593 : 160000 : -407
32413 : 480 : 500 : : 169599 : 170000 : -401
49669 : 676 : 700 : : 179669 : 180000 : -331
79561 : 990 : 1000 : : 189523 : 190000 : -477
300499 : 2957 : 3000 : : 199529 : 200000 : -471
557521 : 4958 : 5000 : : 209613 : 210000 : -387
833101 : 6954 : 7000 : : 219696 : 220000 : -304
1260991 : 9878 : 10000 : -: 229726 : 230000 : -274
2840419 : 19749 : 20000 : -: 239740 : 240000 : -260
4553413 : 29625 : 30000 : -: 249894 : 250000 : -106
6381469 : 39640 : 40000 : -: 259829 : 260000 : -171
8264959 : 49583 : 50000 : -: 269782 : 270000 : -218
: 59490 : 60000 : -: 279802 : 280000 : -198
: 69535 : 70000 : -: 289856 : 290000 : -144
: 79552 : 80000 : -: 299913 : 300000 : -87
: 89545 : 90000 : -: 309917 : 310000 : -83
: 99493 : 100000 : -: 319729 : 320000 : -271
: 109524 : 110000 : -: 329926 : 330000 : -74
: 119553 : 120000 : -: 339850 : 340000 : -150
Продолжение табл.3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
: 349806 : 350000 : -: 569721 : 570000 : -279
: 359884 : 360000 : -: 579660 : 580000 : -340
: 369873 : 370000 : -: 589649 : 590000 : -351
: 379818 : 380000 : -: 599682 : 600000 : -318
: 389838 : 390000 : -: 609628 : 610000 : -372
: 399874 : 400000 : -: 619678 : 620000 : -322
: 409803 : 410000 : -: 629756 : 630000 : -244
: 419827 : 420000 : -: 639919 : 640000 : -81
: 429897 : 430000 : -: 649894 : 650000 : -106
: 439798 : 440000 : -: 659801 : 660000 : -199
: 449857 : 450000 : -: 669813 : 670000 : -187
: 459737 : 460000 : -: 680021 : 680000 : 21
: 469660 : 470000 : -: 690105 : 690000 : 105
: 479651 : 480000 : -: 700025 : 700000 : 25
: 489677 : 490000 : -: 710127 : 710000 : 127
: 499694 : 500000 : -: 720132 : 720000 : 132
: 509702 : 510000 : -: 730135 : 730000 : 135
: 519781 : 520000 : -: 740090 : 740000 : 90
: 529838 : 530000 : -: 750268 : 750000 : 268
: 539826 : 540000 : -: 760256 : 760000 : 256
: 549817 : 550000 : -: 770134 : 770000 : 134
: 559783 : 560000 : -: 780227 : 780000 : 227
Продолжение табл.3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
: 790259 : 790000 : : 1020524 : 1020000 : 524
: 800210 : 800000 : : 1030508 : 1030000 : 508
: 810210 : 810000 : : 1040398 : 1040000 : 398
: 820130 : 820000 : : 1050392 : 1050000 : 392
: 830219 : 830000 : : 1060507 : 1060000 : 507
: 840243 : 840000 : : 1070500 : 1070000 : 500
: 850191 : 850000 : : 1080567 : 1080000 : 567
: 860139 : 860000 : : 1090516 : 1090000 : 516
: 870129 : 870000 : : 1100425 : 1100000 : 425
: 880323 : 880000 : : 1110393 : 1110000 : 393
: 890385 : 890000 : : 1120306 : 1120000 : 306
: 900230 : 900000 : : 1130212 : 1130000 : 212
: 910394 : 910000 : : 1140198 : 1140000 : 198
: 920460 : 920000 : : 1150147 : 1150000 : 147
: 930598 : 930000 : : 1160141 : 1160000 : 141
: 940576 : 940000 : : 1170179 : 1170000 : 179
: 950332 : 950000 : : 1180292 : 1180000 : 292
: 960318 : 960000 : : 1190194 : 1190000 : 194
: 970355 : 970000 : : 1200072 : 1200000 : 72
: 980361 : 980000 : : 1210066 : 1210000 : 66
: 990454 : 990000 : : 1220155 : 1220000 : 155
: 1000498 : 1000000 : : 1230125 : 1230000 : 125
: 1010351 : 1010000 : : 1240060 : 1240000 : 60
Продолжение табл.3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
: 1249979 : 1250000 : : 1469946 : 1470000 : -54
: 1259871 : 1260000 : -: 1480026 : 1480000 : 26
: 1269933 : 1270000 : : 1489991 : 1490000 : -9
: 1279933 : 1280000 : : 1499973 : 1500000 : -27
: 1289905 : 1290000 : : 1510022 : 1510000 : 22
: 1299821 : 1300000 : -: 1519979 : 1520000 : -21
: 1309934 : 1310000 : : 1530024 : 1530000 : 24
: 1319851 : 1320000 : -: 1540064 : 1540000 : 64
: 1329869 : 1330000 : -: 1550045 : 1550000 : 45
: 1339923 : 1340000 : : 1560125 : 1560000 : 125
: 1350129 : 1350000 : : 1569971 : 1570000 : -29
: 1360001 : 1360000 : 1 : 1579839 : 1580000 : -161
: 1370071 : 1370000 :: 1589843 : 1590000 : -157
: 1380166 : 1380000 : : 1599854 : 1600000 : -146
: 1390049 : 1390000 :: 1609926 : 1610000 : -74
: 1400064 : 1400000 :: 1619995 : 1620000 : -5
: 1410130 : 1410000 : : 1629828 : 1630000 : -172
: 1420163 : 1420000 : : 1639648 : 1640000 : -352
: 1430116 : 1430000 : : 1649717 : 1650000 : -283
: 1440129 : 1440000 : : 1659695 : 1660000 : -305
: 1449961 : 1450000 : : 1669647 : 1670000 : -353
: 1459942 : 1460000 : : 1679644 : 1680000 : -356
Продолжение табл.3 Продолжение табл.3
------
x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x) x : j(x) : p2(x) : j(x) - p2(x)
------
: 1689658 : 1690000 : -: 1900003 : 1900000 : 3
: 1699561 : 1700000 : -: 1999687 : 2000000 : -313
: 1709582 : 1710000 : -: 2099516 : 2100000 : -484
: 1719665 : 1720000 : -: 2199412 : 2200000 : -588
: 1729712 : 1730000 : -: 2299178 : 2300000 : -822
: 1739742 : 1740000 : -: 2399158 : 2400000 : -842
: 1749693 : 1750000 : -: 2499155 : 2500000 : -845
: 1759762 : 1760000 : -: 2598726 : 2600000 : -1274
: 1769669 : 1770000 : -: 2698960 : 2700000 : -1040
: 1779755 : 1780000 : -: 2798933 : 2800000 : -1067
: 1789814 : 1790000 : -: 2898978 : 2900000 : -1022
: 1799876 : 1800000 : -: 2998687 : 3000000 : -1313
: 1809902 : 1810000 : : 3098423 : 3100000 : -1577
: 1819946 : 1820000 : : 3198093 : 3200000 : -1907
: 1829930 : 1830000 : : 3297627 : 3300000 : -2373
: 1839909 : 1840000 : : 3397626 : 3400000 : -2374
: 1840068 : 1840160 : : 3422000 : 3424500 : -2500
------
Погрешность приближенного представления функции p2(x) составляет:
для 109 £ x £ 3721051 |j(x) - p2(x)| £ 350;
для 3721051 < x £ 9727843 |j(x) - p2(x)| £ 500;
для 9727843 < x £ |j(x) - p2(x)| £ 570;
для < x £ |j(x) - p2(x)| £ 680;
для < x £ |j(x) - p2(x)| £ 570;
для < x £ |j(x) - p2(x)| £ 500;
для < x £ |j(x) - p2(x)| £ 200 (см. табл.3).
Приближающая функция j(x) для исходной функции p2(x) допускает экстраполяцию на
отрезок [, ] с погрешностью, не превышающей 2500 (см. табл.3).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представ-
ление функции p2(x) в виде
x
p2(x) » ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ , x ³ 1
1
(1- ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾) (ln x) (ln x)
(ln x) ¤ 22,4627 + 2,
Формула (5) дает возможность установить важное свойство функции p2(x). При x® ¥
функция p2(x) стремится к бесконечности.
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Множество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для установления свойств пар простых чисел-близнецов определим функцию tk.
Определение 3. Функция натурального аргумента tk обозначает разность между соседними
парами простых чисел-близнецов pk и pk-1
tk = pk - pk-1, k Î N.
Условно примем, что для k = 1 значение функции t1 не определено.
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k пары простых чисел-близ-
нецов pk.
Областью изменения функции является множество {2, 6, 12, 18, 24, 30, …}.
Для исследования свойств функции tk была использована таблица, содержащая 738596
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изме-
няются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может
принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 6. В табл.4
в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на мно-
жестве значений указателя [2, 738597]. Для каждого значения указано, сколько раз функция
принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения
относительно всех 738596 значений функции.
Таблица 4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
2 : 1 : 0,0000: 7677 : 0,0103940
6 : 7428 : 0,0100: 12889 : 0,0174507
12 : 19567 : 0,0264: 12519 : 0,0169497
18 : 14313 : 0,0193: 7343 : 0,0099418
24 : 9052 : 0,0122: 15065 : 0,0203968
30 : 27677 : 0,0374: 8431 : 0,0114149
36 : 7952 : 0,0107: 13275 : 0,0179733
42 : 25208 : 0,0341: 14819 : 0,0200637
48 : 13605 : 0,0184: 4133 : 0,0055958
54 : 8972 : 0,0121: 14575 : 0,0197334
60 : 19925 : 0,0269: 8208 : 0,0111130
66 : 8946 : 0,0121: 8490 : 0,0114948
72 : 16115 : 0,0218: 14293 : 0,0193516
78 : 15115 : 0,0204: 4820 : 0,0065259
84 : 9848 : 0,0133: 17015 : 0,0230370
90 : 19560 : 0,0264: 4227 : 0,0057230
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
192 : 7916 : 0,0107: 2669 : 0,0036136
198 : 11965 : 0,0161: 8022 : 0,0108611
204 : 4184 : 0,0056: 3601 : 0,0048755
210 : 18701 : 0,0253: 4487 : 0,0060750
216 : 3237 : 0,0043: 5366 : 0,0072651
222 : 10171 : 0,0137: 1967 : 0,0026632
228 : 7164 : 0,0096: 5483 : 0,0074235
234 : 3942 : 0,0053: 2823 : 0,0038221
240 : 14232 : 0,0192: 4700 : 0,0063634
246 : 3065 : 0,0041: 5717 : 0,0077404
252 : 9046 : 0,0122: 1492 : 0,0020200
258 : 5895 : 0,0079: 7557 : 0,0102316
264 : 4633 : 0,0062: 1912 : 0,0025887
270 : 8055 : 0,0109: 3077 : 0,0041660
276 : 2826 : 0,0038: 4565 : 0,0061806
282 : 6629 : 0,0089: 1719 : 0,0023274
288 : 6158 : 0,0083: 7878 : 0,0106662
294 : 3896 : 0,0052: 1366 : 0,0018495
300 : 6655 : 0,0090: 3614 : 0,0048931
306 : 4235 : 0,0057: 2850 : 0,0038587
312 : 5029 : 0,0068: 1532 : 0,0020742
318 : 4636 : 0,0062: 4649 : 0,0062944
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
456 : 1252 : 0,0016: 2167 : 0,0029339
462 : 5117 : 0,0069: 823 : 0,0011143
468 : 2577 : 0,0034: 2906 : 0,0039345
474 : 1477 : 0,0019: 720 : 0,0009748
480 : 2929 : 0,0039: 1387 : 0,0018779
486 : 1131 : 0,0015: 1839 : 0,0024899
492 : 3072 : 0,0041: 678 : 0,0009180
498 : 1945 : 0,0026: 2729 : 0,0036948
504 : 1743 : 0,0023: 657 : 0,0008895
510 : 3013 : 0,0040: 1467 : 0,0019862
516 : 1313 : 0,0017: 1281 : 0,0017344
522 : 1906 : 0,0025: 459 : 0,0006485
528 : 2303 : 0,0031: 2480 : 0,0033577
534 : 1137 : 0,0015: 489 : 0,0006621
540 : 2345 : 0,0031: 1428 : 0,0019334
546 : 1714 : 0,0023: 1049 : 0,0014203
552 : 1742 : 0,0023: 721 : 0,0009762
558 : 2191 : 0,0029: 1358 : 0,0018386
564 : 700 : 0,0009: 473 : 0,0006404
570 : 3064 : 0,0041: 1383 : 0,0018725
576 : 990 : 0,0013: 832 : 0,0011265
582 : 1420 : 0,0019: 694 : 0,0009396
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
720 : 1081 : 0,0014: 620 : 0,0008394
726 : 662 : 0,0008: 599 : 0,0008110
732 : 702 : 0,0009: 208 : 0,0002816
738 : 830 : 0,0011: 851 : 0,0011522
744 : 445 : 0,0006: 218 : 0,0002952
750 : 1209 : 0,0016: 857 : 0,0011603
756 : 590 : 0,0007: 355 : 0,0004806
762 : 656 : 0,0008: 241 : 0,0003263
768 : 918 : 0,0012: 607 : 0,0008218
774 : 289 : 0,0003: 189 : 0,0002559
780 : 1217 : 0,0016: 470 : 0,0006363
786 : 393 : 0,0005: 369 : 0,0004996
792 : 735 : 0,0009: 295 : 0,0003994
798 : 918 : 0,0012: 490 : 0,0006634
804 : 291 : 0,0003: 234 : 0,0003168
810 : 997 : 0,0013: 275 : 0,0003723
816 : 340 : 0,0004: 381 : 0,0005158
822 : 464 : 0,0006: 187 : 0,0002532
828 : 698 : 0,0009: 468 : 0,0006336
834 : 289 : 0,0003: 275 : 0,0003723
840 : 1092 : 0,0014: 254 : 0,0003439
846 : 233 : 0,0003: 363 : 0,0004915
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
984 : 125 : 0,0001: 65 : 0,0000880
990 : 547 : 0,0007: 245 : 0,0003317
996 : 124 : 0,0001: 148 : 0,0002004
1002 : 235 : 0,0003: 94 : 0,0001273
1008 : 335 : 0,0004: 218 : 0,0002952
1014 : 176 : 0,0002: 100 : 0,0001354
1020 : 464 : 0,0006: 131 : 0,0001774
1026 : 103 : 0,0001: 133 : 0,0001801
1032 : 235 : 0,0003: 79 : 0,0001070
1038 : 271 : 0,0003: 188 : 0,0002545
1044 : 84 : 0,0001: 78 : 0,0001056
1050 : 446 : 0,0006: 89 : 0,0001205
1056 : 124 : 0,0001: 172 : 0,0002329
1062 : 256 : 0,0003: 60 : 0,0000812
1068 : 143 : 0,0001: 128 : 0,0001733
1074 : 87 : 0,0001: 73 : 0,0000988
1080 : 359 : 0,0004: 101 : 0,0001367
1086 : 73 : 0,0000: 159 : 0,0002153
1092 : 276 : 0,0003: 53 : 0,0000718
1098 : 171 : 0,0002: 196 : 0,0002654
1104 : 101 : 0,0001: 36 : 0,0000487
1110 : 177 : 0,0002: 102 : 0,0001381
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
1248 : 118 : 0,0001: 92 : 0,0001246
1254 : 45 : 0,0000: 45 : 0,0000609
1260 : 206 : 0,0002: 56 : 0,0000758
1266 : 46 : 0,0000: 71 : 0,0000961
1272 : 104 : 0,0001: 19 : 0,0000257
1278 : 74 : 0,0001: 62 : 0,0000839
1284 : 34 : 0,0000: 23 : 0,0000311
1290 : 174 : 0,0002: 30 : 0,0000406
1296 : 36 : 0,0000: 106 : 0,0001435
1302 : 94 : 0,0001: 12 : 0,0000162
1308 : 60 : 0,0000: 67 : 0,0000907
1314 : 45 : 0,0000: 16 : 0,0000217
1320 : 97 : 0,0001: 47 : 0,0000636
1326 : 38 : 0,0000: 34 : 0,0000460
1332 : 84 : 0,0001: 17 : 0,0000230
1338 : 55 : 0,0000: 71 : 0,0000961
1344 : 48 : 0,0000: 7 : 0,0000095
1350 : 82 : 0,0001: 55 : 0,0000745
1356 : 41 : 0,0000: 22 : 0,0000298
1362 : 61 : 0,0000: 15 : 0,0000203
1368 : 43 : 0,0000: 46 : 0,0000623
1374 : 27 : 0,0000: 8 : 0,0000108
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
1512 : 43 : 0,0000: 8 : 0,0000108
1518 : 43 : 0,0000: 34 : 0,0000460
1524 : 8 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1530 : 37 : 0,0000: 14 : 0,0000190
1536 : 14 : 0,0000: 16 : 0,0000217
1542 : 27 : 0,0000: 7 : 0,0000095
1548 : 20 : 0,0000: 26 : 0,0000352
1554 : 11 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1560 : 38 : 0,0000: 25 : 0,0000338
1566 : 17 : 0,0000: 20 : 0,0000271
1572 : 21 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1578 : 19 : 0,0000: 25 : 0,0000338
1584 : 24 : 0,0000: 6 : 0,0000081
1590 : 40 : 0,0000: 12 : 0,0000162
1596 : 14 : 0,0000: 8 : 0,0000108
1602 : 21 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1608 : 26 : 0,0000: 16 : 0,0000217
1614 : 8 : 0,0000: 7 : 0,0000095
1620 : 23 : 0,0000: 8 : 0,0000108
1626 : 14 : 0,0000: 6 : 0,0000081
1632 : 15 : 0,0000: 8 : 0,0000108
1638 : 35 : 0,0000: 10 : 0,0000135
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
1776 : 5 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1782 : 6 : 0,0000: 2 : 0,0000027
1788 : 10 : 0,0000: 8 : 0,0000108
1794 : 4 : 0,0000: 10 : 0,0000135
1800 : 14 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1806 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
1812 : 10 : 0,0000: 6 : 0,0000081
1818 : 8 : 0,0000: 1 : 0,0000014
1824 : 5 : 0,0000: 4 : 0,0000054
1830 : 8 : 0,0000: 4 : 0,0000054
1836 : 7 : 0,0000: 5 : 0,0000068
1842 : 5 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1848 : 5 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1854 : 2 : 0,0000: 2 : 0,0000027
1860 : 14 : 0,0000: 4 : 0,0000054
1866 : 4 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1872 : 7 : 0,0000: 2 : 0,0000027
1878 : 7 : 0,0000: 1 : 0,0000014
1884 : 1 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1890 : 11 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1896 : 2 : 0,0000: 3 : 0,0000041
1902 : 5 : 0,0000: 2 : 0,0000027
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
2046 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2052 : 3 : 0,0000: 2 : 0,0000027
2058 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2064 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2070 : 4 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2076 : 3 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2082 : 4 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2088 : 1 : 0,0000: 4 : 0,0000054
2094 : 1 : 0,0000: 3 : 0,0000041
2100 : 5 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2112 : 5 : 0,0000: 2 : 0,0000027
2118 : 3 : 0,0000: 2 : 0,0000027
2124 : 1 : 0,0000: 6 : 0,0000081
2130 : 6 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2136 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2142 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2148 : 1 : 0,0000: 2 : 0,0000027
2160 : 4 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2172 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2178 : 3 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2184 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2190 : 2 : 0,0000: 3 : 0,0000041
Продолжение табл.4 Продолжение табл.4
---
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
---
2436 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2448 : 3 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2466 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2472 : 1 : 0,0000: 2 : 0,0000027
2490 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2496 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2520 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2532 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2550 : 3 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2562 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2580 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2586 : 2 : 0,0000: 1 : 0,0000014
2598 : 1 : 0,0000: 1 : 0,0000014
ВСЕГО : 738596 : 1,0000000
---
Следует отметить, что второе простое число pk пары близнецов ((pk – 2, pk)), k ³ 3 может
иметь в разряде единиц или цифру “1” или цифру “3” или цифру “9”. Наличие цифры “7” в
разряде единиц второго простого числа pk пары близнецов ((pk – 2, pk)) привело бы к тому, что
первое простое число pk – 2 этой пары близнецов было бы составным числом.
Записи в виде pk = “…1”, pk = “…3”, pk = “…9” будут обозначать, что второе простое
число pk пары близнецов ((pk – 2, pk)) содержит в разряде единиц соответственно цифру “1”,
“3”, “9”.
Записи в виде pk+1 = “…1”, pk+1 = “…3”, pk+1 = “…9” будут обозначать, что второе простое
число pk+1 пары близнецов ((pk+1 – 2, pk+1)), k ³ 3 содержит в разряде единиц соответственно
цифру “1”, “3”, “9”.
В результате анализа данных, приведенных в таблице пар простых чисел-близнецов, уста-
новлено, что значения функции tk+1, k ³ 3 принадлежат следующим подмножествам в зави-
симости от разряда единиц вторых простых чисел соседних пар близнецов:
если pk = “…1” и pk+1 = “…1”, то tk+1 Î {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…1” и pk+1 = “…3”, то tk+1 Î {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…1” и pk+1 = “…9”, то tk+1 Î {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…1”, то tk+1 Î {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…3”, то tk+1 Î {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…3” и pk+1 = “…9”, то tk+1 Î {x | x = 6 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…1”, то tk+1 Î {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…3”, то tk+1 Î {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};
если pk = “…9” и pk+1 = “…9”, то tk+1 Î {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …}.
Обобщение отмеченных свойств функции tk дано в следующей теореме.
Теорема 2. Значения функции tk, k ³ 3 кратны 6.
Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное число k ³ 2 и рассмотрим пару
простых чисел-близнецов ((pk – 2, pk)) и натуральные числа (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1).
Исходя из определения пары простых чисел-близнецов, отметим некоторые свойства всех
этих чисел:
1) (pk – 2), pk – простые числа и так как pk ³ 7 при k ³ 2, то они являются нечетными;
2) из (pk – 2) Î P и pk Î P следует, что (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) – составные четные
числа, а именно 2∣(pk – 3), 2∣(pk – 1) и 2∣(pk + 1).
Предварительно докажем, что 3∤(pk – 3) и 3∤(pk + 1).
Согласно теореме 3 о рефлексивности отношения делимости ([1], С. 20), в частности,
следует, что 3∣3.
Предположим, что 3∣(pk – 3). Тогда согласно теореме 10 ([1], С. 20), если 3∣(pk – 3) и 3∣3,
то 3∣(pk – 3) + 3 или 3∣pk. Но простое число pk не имеет в качестве делителя число 3. Предполо-
жение, что число (pk – 3) кратно 3, привело нас к противоречию, следовательно, число 3 не
является делителем числа (pk – 3), а именно 3∤(pk – 3).
Предположим, что 3∣(pk + 1). Тогда согласно теореме 10 ([1], С. 20), если 3∣(pk + 1) и 3∣3,
то 3∣(pk + 1) – 3 или 3∣(pk – 2). Но простое число (pk– 2) не имеет в качестве делителя число 3.
Предположение, что число (pk + 1) кратно 3, привело нас к противоречию, следовательно, число
3 не является делителем числа (pk + 1), а именно 3∤(pk + 1).
Для доказательства того, что 3∣(pk – 1), используем теоремы, устанавливающие основные
свойства отношения сравнения двух целых чисел по заданному модулю и распределение
чисел в классах по этому модулю.
В качестве рассматриваемого модуля выберем число 3.
Согласно теореме 96 ([1], С. 78) число классов по модулю 3 конечно и равно трем.
_
Класс 0 = {…–6, –3, 0, 3, 6, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡0(mod 3), т. е. 3∣x – 0 или 3∣x.
_
Класс 1 = {…–5, –2, 1, 4, 7, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡1(mod 3), т. е. 3∣x – 1 или 3∤x.
_
Класс 2 = {…–4, –1, 2, 5, 8, …} содержит такие целые числа x, которые удовлетворяют
условию x≡2(mod 3), т. е. 3∣x – 2 или 3∤x.
Далее докажем, что числа (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) образуют полную систему вычетов
по модулю 3.
Для этого должны быть выполнены два условия:
число вычетов системы должно быть равно числу классов по модулю 3;
любые два вычета системы должны быть попарно несравнимы между собой по модулю 3.
Первое условие выполнено: система содержит три вычета. Проверим, что из трех вычетов
(pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) любые два попарно несравнимы между собой по модулю 3.
Предположим, что pk – 1≡pk – 3(mod 3), т. е. 3∣ pk – 1 – ( pk – 3) или 3∣2. Но число 3 не
является делителем числа 2. Предположение, что (pk – 1) сравнимо с (pk – 3) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk – 1≢pk – 3(mod 3).
Предположим, что pk + 1≡pk – 3(mod 3), т. е. 3∣ pk + 1 – ( pk – 3) или 3∣4. Но число 3 не
является делителем числа 4. Предположение, что (pk + 1) сравнимо с (pk – 3) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk + 1≢pk – 3(mod 3).
Предположим, что pk + 1≡pk – 1(mod 3), т. е. 3∣ pk + 1 – ( pk – 1) или 3∣2. Но число 3 не
является делителем числа 2. Предположение, что (pk + 1) сравнимо с (pk – 1) по модулю 3
привело нас к противоречию, следовательно, pk + 1≢pk – 1(mod 3).
Система чисел (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1), содержащая три попарно несравнимых по моду-
лю 3 чисел, согласно теореме 106 ([1], С. 86) представляет собой полную систему вычетов
по этому модулю.
В полной системе вычетов (pk – 3), (pk – 1) и (pk + 1) по модулю 3 одно из этих чисел
обязательно делится на 3.
Поскольку 3∤(pk – 3) и 3∤(pk + 1), то отсюда следует, что 3½(pk – 1).
Согласно теореме 48 ([1], С. 48), так как (2, 3) = 1 и 2½(pk – 1), 3½(pk – 1), то отсюда следует,
что 2 × 3½(pk – 1) или 6½(pk – 1).
Так как делителем числа pk – 1, k ³ 2 является число 6, то существует единственное
представление чисел pk – 1 и pk в виде
pk – 1 = 6qk (qk – целое, qk ³ 1)
pk = 1 + 6qk.
Для чисел pk-1 – 1 и pk-1, k ³ 3 также справедливо представление в виде
pk-1 – 1 = 6qk-1 (qk-1 – целое, 1 £ qk-1 < qk)
pk-1 = 1 + 6qk-1.
Тогда согласно определению 3 для задания функции натурального аргумента tk может быть
использована формула
tk = (1 + 6qk) – (1 + 6qk-1) = 6(qk – qk-1), k ³ 3,
где qk = (pk – 1) ¤ 6, qk-1 = (pk-1 – 1) ¤ 6, (qk – qk-1) – целое, (qk – qk-1) ³ 1.
Следовательно, согласно теореме 2 ([1], С. 19) число 6 является делителем числа tk.
Таким образом, 6½tk, k ³ 3. Теорема доказана.
Утверждения, доказанные в теоремах 1 и 2, дают основания для формулировки следующей
теоремы.
Теорема 3. Арифметическая прогрессия 1 + 6n, n Î N содержит бесконечное множество пар
простых чисел-близнецов.
Доказательство. Определим функцию натурального аргумента gn = 1 + 6n, n Î N . Область
изменения этой функции укажем в виде множества M1 = {x | x = 1 + 6n, n Î N}. Обозначим
через M2 = {y | y = pk, k ³ 2}множество пар простых чисел-близнецов, каждое из которых имеет
представление в виде pk = 1 + 6qk (qk – целое, qk ³ 1). Это множество не содержит только пару
простых чисел-близнецов ((3, 5)).
Так как множество {z | z = qk, k ³ 2}является подмножеством N, то множество M1 содержит
в качестве подмножества множество M2. Теорема доказана.
Следствие 1. Арифметическая прогрессия -1 + 6n, n Î N содержит бесконечное множество
простых чисел, которые входят в состав каждой пары близнецов ((pk – 2, pk)), k ³ 2 в качестве
первого простого числа pk – 2.
Для характеристики распределения пар простых чисел-близнецов на отрезках натурального
ряда определим две функции натурального аргумента fk и gk.
Каждой паре простых чисел-близнецов pk поставим в соответствие три отрезка натураль-
ного ряда [2pk, 2pk+1 – 1], [1, pk] и [pk + 1, 2pk+1 – 1], k Î N .
Определение 4. Функция натурального аргумента fk обозначает число пар близнецов на
отрезке натурального ряда [2pk, 2pk+1 – 1]. Определение отрезка смотри в ([3], С. 57).
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k Î N пары близнецов pk.
Областью изменения функции является множество {0, 1, 2, 3, …}.
Для исследования свойств функции fk была использована таблица, содержащая 1840169
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изме-
няются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может
принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 0. В табл.5
в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на мно-
жестве значений указателя [1, 1840169]. Для каждого значения указано, сколько раз функция
принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения
относительно всех 1840169 значений функции.
Таблица 5 Продолжение табл.5
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
0 : 593741 : 0, 7 : 30003 : 0,
1 : 444290 : 0, 8 : 18755 : 0,
2 : 292106 : 0, 9 : 11711 : 0,
3 : 187764 : 0,10203: 7301 : 0,
4 : 118998 : 0,06466: 4601 : 0,
5 : 75760 : 0,04117: 2809 : 0,
6 : 47567 : 0,02584: 1814 : 0,
Продолжение табл.5 Продолжение табл.5
Значение: Число : Частота Значение: Число : Частота
функции : значений : значений функции : значений : значений
14 : 1120 : 0,00060: 24 : 0,
15 : 686 : 0,00037: 16 : 0,
16 : 435 : 0,00023: 9 : 0,
17 : 250 : 0,00013: 7 : 0,
18 : 185 : 0,00010: 4 : 0,
19 : 106 : 0,00005: 3 : 0,
20 : 53 : 0,00002: 1 : 0,
21 : 49 : 0,00002: 1 : 0,
ВСЕГО : 1840169 : 1,
В связи с этим в дальнейшем будем рассматривать средние значения ([2], с. 324) этой
функции.
Определение 5. Функция натурального аргумента hn обозначает среднее значение функции
fk на отрезке [1, n]
f1 + f2 + f3 + … + fn
hn = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾.
n
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер n Î N пары близнецов pn.
Областью изменения функции является множество Q.
Функция hn выражает среднее число пар близнецов на n отрезках натурального ряда
[2pk, 2pk+1 – 1], k Î [1, n].
Значения функции меняются довольно гладко. Функция может быть аппроксимирована
простым выражением. В результате предварительных исследований функции hn численными
методами установлено, что приближающая функция для нее может быть принята в виде
1
jn = 2 - ¾¾¾¾¾¾ , (6)
(ln n) ¤ a + b
где a и b – числовые параметры.
Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции jn используется метод
наименьших квадратов.
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции jn от табличных значений
исходной функции hn была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая
функция параметров a и b. Обозначим ее через S1(a, b)
S1(a, b) = S (jk - hk)2, (7)
где для уменьшения объема вычислений суммирование выполняется по выбранным точкам
аппроксимации k = 10, 20, 30, … , 1840160.
Для оценки близости исходной функции hn и приближающей ее функции jn используется
минимальное значение S1(a, b).
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим
численным методом значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции
S1(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.6.
Таблица 6 Продолжение табл.6
-------
a : b : S1(a, b) a : b : S1(a, b)
-------
2,00 : 0, : 2, 2,50 : 1, : 0,
2,20 : 0, : 0, 2,80 : 1, : 1,
2,30 : 0, : 0, 3,00 : 2, : 2,
Продолжение табл.6 Продолжение табл.6
-------
a : b : S1(a, b) a : b : S1(a, b)
-------
4,00 : 3, : 5, 12,00 : 5, : 16,
6,00 : 4, : 10, 14,00 : 5, : 17,
8,00 : 5, : 13, 16,00 : 5, : 18,
10,00 : 5, : 15,
На втором этапе выполним интерполяцию функции S1(a, b), используя данные табл.6.
Узлами интерполяции выберем значения параметра a, равные 2,20; 2,30; 2,50.
Для интерполяции функции S1(a, b) используем полином второй степени
S1(a, b) = k a2+ l a + m, (8)
где k = 7,; l = -36,; m = 43,.
На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального
значения функции S1(a, b)
l -36,
a = - ¾¾ = - ¾¾¾¾¾¾¾¾ = 2,.
2k 2 × 7,
При этом минимум минимального значения функции S1(a, b), вычисленный по формуле (8),
равен 0,.
На четвертом этапе для параметра a = 2, определим численным методом значение
параметра b, доставляющее минимальное значение функции S1(a, b). Минимуму функции
S1(a,b) отвечает b = 1,. При этом минимальное значение функции S1(a, b), вычислен-
ное по формуле (7), равно 0,.
Минимальное значение функции S1(a, b), вычисленное по формуле (7) для a = 2, и
b = 1,, отличается от минимального значения функции S1(a, b), вычисленного по фор-
муле (8), на 0,. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S1(a, b).
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S1(a, b) зададимся
рядом значений параметра a в окрестности точки a = 2, и для каждого из них
определим по формуле (7) значение параметра b, доставляющее минимальное значение
функции S1(a, b). Результаты расчетов приведены в табл.7.
Таблица 7 Продолжение табл.7
a : b : S1(a, b) a : b : S1(a, b)
2,3400 : 1, : 0, 2,3553 : 1, : 0,
2,3500 : 1, : 0, 2,3554 : 1, : 0,
2,3540 : 1, : 0, 2,3560 : 1, : 0,
2,3550 : 1, : 0, 2,3600 : 1, : 0,
2,3552 : 1, : 0, 2,4000 : 1, : 0,
Используя данные, приведенные в табл.7, уточненные значения параметров a и b приняты
соответственно равными 2,3552 и 1,. При этом приближающая функция для hn
имеет вид
1
jn = 2 - ¾¾¾¾¾¾, (9)
(ln n) ¤ a + b
где a = 2,3552; b = 1,.
В табл.8 приведены отклонения jn - hn приближающей функции jn от исходной функции hn
для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 1840160].
Таблица 8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
30 : 1,5986869 : 1,6666667 : -0,0679: 1,6493167 : 1,7000000 : -0,0506833
50 : 1,6308209 : 1,6400000 : -0,0091: 1,6670016 : 1,7000000 : -0,0329984
Продолжение табл.8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
300 : 1,7117724 : 1,7700000 : -0,0582: 1,8370156 : 1,8349875 : 0,0020281
500 : 1,7287306 : 1,7020000 : 0,0267: 1,8376965 : 1,8361941 : 0,0015024
700 : 1,7388513 : 1,7400000 : -0,0011: 1,8383333 : 1,8374444 : 0,0008889
1000 : 1,7487865 : 1,7900000 : -0,0412: 1,8389311 : 1,8369211 : 0,0020100
3000 : 1,7751364 : 1,7803333 : -0,0051: 1,8394942 : 1,8374600 : 0,0020342
5000 : 1,7855933 : 1,7998000 : -0,0142: 1,8400261 : 1,8386619 : 0,0013642
7000 : 1,7919655 : 1,8144286 : -0,0224: 1,8405300 : 1,8402500 : 0,0002800
10000 : 1,7983195 : 1,8059000 : -0,0075: 1,8410085 : 1,8410130 : -0,0000045
20000 : 1,8096196 : 1,8082500 : 0,0013: 1,8414640 : 1,8417833 : -0,0003193
30000 : 1,8156614 : 1,8133667 : 0,0022: 1,8418984 : 1,8436640 : -0,0017656
40000 : 1,8197207 : 1,8191000 : 0,0006: 1,8423136 : 1,8437308 : -0,0014172
50000 : 1,8227482 : 1,8206800 : 0,0020: 1,8427110 : 1,8434778 : -0,0007668
60000 : 1,8251475 : 1,8209667 : 0,0041: 1,8430921 : 1,8439714 : -0,0008793
70000 : 1,8271259 : 1,8255000 : 0,0016: 1,8434581 : 1,8443690 : -0,0009109
80000 : 1,8288038 : 1,8264625 : 0,0023: 1,8438100 : 1,8452967 : -0,0014867
90000 : 1,8302571 : 1,8282778 : 0,0019: 1,8441489 : 1,8456484 : -0,0014995
100000 : 1,8315363 : 1,8292100 : 0,0023: 1,8444757 : 1,8451719 : -0,0006962
110000 : 1,8326770 : 1,8317545 : 0,0009: 1,8447911 : 1,8466030 : -0,0018119
120000 : 1,8337050 : 1,8318167 : 0,0018: 1,8450958 : 1,8461618 : -0,0010660
130000 : 1,8346396 : 1,8323154 : 0,0023: 1,8453906 : 1,8457257 : -0,0003351
140000 : 1,8354955 : 1,8324286 : 0,0030: 1,8456760 : 1,8467250 : -0,0010490
150000 : 1,8362844 : 1,8347133 : 0,0015: 1,8459525 : 1,8461135 : -0,0001610
Продолжение табл.8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
380000 : 1,8462208 : 1,8460921 : 0,0001: 1,8506742 : 1,8493433 : 0,0013309
390000 : 1,8464811 : 1,8462231 : 0,0002: 1,8508305 : 1,8495852 : 0,0012453
400000 : 1,8467341 : 1,8466800 : 0,0000: 1,8509840 : 1,8501274 : 0,0008566
410000 : 1,8469800 : 1,8460927 : 0,0008: 1,8511347 : 1,8503762 : 0,0007585
420000 : 1,8472192 : 1,8466333 : 0,0005: 1,8512827 : 1,8510109 : 0,0002718
430000 : 1,8474520 : 1,8471581 : 0,0002: 1,8514282 : 1,8512154 : 0,0002128
440000 : 1,8476788 : 1,8472750 : 0,0004: 1,8515711 : 1,8509455 : 0,0006256
450000 : 1,8478999 : 1,8476578 : 0,0002: 1,8517117 : 1,8512642 : 0,0004475
460000 : 1,8481155 : 1,8473043 : 0,0008: 1,8518498 : 1,8522456 : -0,0003958
470000 : 1,8483258 : 1,8472766 : 0,0010: 1,8519858 : 1,8524014 : -0,0004156
480000 : 1,8485312 : 1,8470104 : 0,0015: 1,8521195 : 1,8524786 : -0,0003591
490000 : 1,8487318 : 1,8473653 : 0,0013: 1,8522511 : 1,8528113 : -0,0005602
500000 : 1,8489278 : 1,8473280 : 0,0015: 1,8523806 : 1,8529750 : -0,0005944
510000 : 1,8491195 : 1,8474294 : 0,0016: 1,8525081 : 1,8527973 : -0,0002892
520000 : 1,8493069 : 1,8483750 : 0,0009: 1,8526337 : 1,8527757 : -0,0001420
530000 : 1,8494904 : 1,8487377 : 0,0007: 1,8527573 : 1,8534200 : -0,0006627
540000 : 1,8496699 : 1,8485759 : 0,0010: 1,8528792 : 1,8533368 : -0,0004576
550000 : 1,8498458 : 1,8488782 : 0,0009: 1,8529992 : 1,8532636 : -0,0002644
560000 : 1,8500181 : 1,8490857 : 0,0009: 1,8531175 : 1,8536449 : -0,0005274
570000 : 1,8501870 : 1,8487912 : 0,0013: 1,8532341 : 1,8538975 : -0,0006634
580000 : 1,8503525 : 1,8487431 : 0,0016: 1,8533491 : 1,8539238 : -0,0005747
590000 : 1,8505149 : 1,8488864 : 0,0016: 1,8534624 : 1,8539444 : -0,0004820
Продолжение табл.8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
820000 : 1,8535742 : 1,8538683 : -0,0002: 1,8557063 : 1,8562558 : -0,0005495
830000 : 1,8536845 : 1,8541157 : -0,0004: 1,8557909 : 1,8562724 : -0,0004815
840000 : 1,8537932 : 1,8542083 : -0,0004: 1,8558745 : 1,8566689 : -0,0007944
850000 : 1,8539006 : 1,8543741 : -0,0004: 1,8559573 : 1,8566832 : -0,0007259
860000 : 1,8540065 : 1,8544081 : -0,0004: 1,8560392 : 1,8570463 : -0,0010071
870000 : 1,8541110 : 1,8543103 : -0,0001: 1,8561202 : 1,8569275 : -0,0008073
880000 : 1,8542142 : 1,8549898 : -0,0007: 1,8562005 : 1,8569200 : -0,0007195
890000 : 1,8543161 : 1,8553045 : -0,0009: 1,8562799 : 1,8569378 : -0,0006579
900000 : 1,8544168 : 1,8551122 : -0,0006: 1,8563585 : 1,8567938 : -0,0004353
910000 : 1,8545161 : 1,8555132 : -0,0009: 1,8564363 : 1,8568071 : -0,0003708
920000 : 1,8546143 : 1,8558065 : -0,0011: 1,8565134 : 1,8568158 : -0,0003024
930000 : 1,8547112 : 1,8560032 : -0,0012: 1,8565897 : 1,8569235 : -0,0003338
940000 : 1,8548070 : 1,8560298 : -0,0012: 1,8566653 : 1,8570431 : -0,0003778
950000 : 1,8549017 : 1,8556432 : -0,0007: 1,8567401 : 1,8570769 : -0,0003368
960000 : 1,8549952 : 1,8556073 : -0,0006: 1,8568142 : 1,8573356 : -0,0005214
970000 : 1,8550877 : 1,8556722 : -0,0005: 1,8568876 : 1,8573109 : -0,0004233
980000 : 1,8551791 : 1,8557316 : -0,0005: 1,8569604 : 1,8573242 : -0,0003638
990000 : 1,8552694 : 1,8559253 : -0,0006: 1,8570324 : 1,8572678 : -0,0002354
1000000 : 1,8553588 : 1,8560580 : -0,0006: 1,8571038 : 1,8576049 : -0,0005011
1010000 : 1,8554471 : 1,8558822 : -0,0004: 1,8571746 : 1,8575382 : -0,0003636
1020000 : 1,8555345 : 1,8562471 : -0,0007: 1,8572447 : 1,8574718 : -0,0002271
1030000 : 1,8556209 : 1,8562563 : -0,0006: 1,8573141 : 1,8573392 : -0,0000251
Продолжение табл.8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
1260000 : 1,8573830 : 1,8573056 : 0,0000: 1,8587594 : 1,8589554 : -0,0001960
1270000 : 1,8574512 : 1,8574677 : -0,0000: 1,8588164 : 1,8588456 : -0,0000292
1280000 : 1,8575189 : 1,8574938 : 0,0000: 1,8588730 : 1,8588840 : -0,0000110
1290000 : 1,8575859 : 1,8575752 : 0,0000: 1,8589291 : 1,8589834 : -0,0000543
1300000 : 1,8576524 : 1,8574369 : 0,0002: 1,8589849 : 1,8589664 : 0,0000185
1310000 : 1,8577183 : 1,8576954 : 0,0000: 1,8590402 : 1,8590614 : -0,0000212
1320000 : 1,8577836 : 1,8577795 : 0,0000: 1,8590952 : 1,8590994 : -0,0000042
1330000 : 1,8578484 : 1,8578233 : 0,0000: 1,8591497 : 1,8591277 : 0,0000220
1340000 : 1,8579126 : 1,8578873 : 0,0000: 1,8592039 : 1,8593218 : -0,0001179
1350000 : 1,8579763 : 1,8582415 : -0,0002: 1,8592576 : 1,8591975 : 0,0000601
1360000 : 1,8580395 : 1,8583338 : -0,0002: 1,8593110 : 1,8591646 : 0,0001464
1370000 : 1,8581022 : 1,8585219 : -0,0004: 1,8593640 : 1,8591233 : 0,0002407
1380000 : 1,8581643 : 1,8586667 : -0,0005: 1,8594166 : 1,8593006 : 0,0001160
1390000 : 1,8582260 : 1,8586281 : -0,0004: 1,8594689 : 1,8593901 : 0,0000788
1400000 : 1,8582871 : 1,8586614 : -0,0003: 1,8595208 : 1,8596167 : -0,0000959
1410000 : 1,8583478 : 1,8589142 : -0,0005: 1,8595724 : 1,8594521 : 0,0001203
1420000 : 1,8584080 : 1,8589035 : -0,0004: 1,8596236 : 1,8593482 : 0,0002754
1430000 : 1,8584677 : 1,8588580 : -0,0003: 1,8596744 : 1,8594461 : 0,0002283
1440000 : 1,8585269 : 1,8589792 : -0,0004: 1,8597249 : 1,8595566 : 0,0001683
1450000 : 1,8585857 : 1,8586172 : -0,0000: 1,8597751 : 1,8595527 : 0,0002224
1460000 : 1,8586440 : 1,8586788 : -0,0000: 1,8598249 : 1,8596762 : 0,0001487
1470000 : 1,8587019 : 1,8587694 : -0,0000: 1,8598744 : 1,8597651 : 0,0001093
Продолжение табл.8 Продолжение табл.8
----
n : jn : hn : jn - hn n : jn : hn : jn - hn
----
1700000 : 1,8599235 : 1,8598071 : 0,0001: 1,8603056 : 1,8604882 : -0,0001826
1710000 : 1,8599724 : 1,8598485 : 0,0001: 1,8603520 : 1,8606933 : -0,0003413
1720000 : 1,8600209 : 1,8599453 : 0,0000: 1,8603981 : 1,8607583 : -0,0003602
1730000 : 1,8600691 : 1,8600457 : 0,0000: 1,8604440 : 1,8607834 : -0,0003394
1740000 : 1,8601170 : 1,8602575 : -0,0001: 1,8604895 : 1,8609110 : -0,0004215
1750000 : 1,8601646 : 1,8603126 : -0,0001: 1,8605348 : 1,8609027 : -0,0003679
1760000 : 1,8602119 : 1,8604114 : -0,0001: 1,8605798 : 1,8609543 : -0,0003745
1770000 : 1,8602589 : 1,8604130 : -0,0001: 1,8605805 : 1,8609751 : -0,0003946
----
Погрешность приближенного представления функции hn составляет:
для 30 £ n £ 700 |jn - hn| £ 0,11320;
для 700 < n £ 3000 |jn - hn| £ 0,04420;
для 3000 < n £ 10000 |jn - hn| £ 0,02980;
для 10000 < n £ 30000 |jn - hn| £ 0,01128;
для 30000 < n £ 600000 |jn - hn| £ 0,00509;
для 600000 < n £ 1100000 |jn - hn| £ 0,00155;
для 1100000 < n £ 1840160 |jn - hn| £ 0,00080 (см. табл.8).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представ-
ление функции hn в виде
1
hn » 2 - ¾¾¾¾¾¾, n ³ 30, (10)
(ln n) ¤ a + b
где a = 2,3552; b = 1,.
Формула (10) дает возможность установить важное свойство функции hn. При больших n
1 1
величина ¾¾¾¾¾¾ ничтожна по сравнению с 2; lim ¾¾¾¾¾¾ = 0 и мы получаем
(ln n) ¤ a + b (ln n) ¤ a + b
асимптотическое равенство
hn ~
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Среднее число пар близнецов на n отрезках натурального ряда [2pk, 2pk+1 – 1],
k Î [1, n], где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответственно,
при n® ¥ стремится к пределу, равному 2.
Дадим определение функции gk.
Определение 6. Функция натурального аргумента gk обозначает отношение числа пар
простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [pk + 1, 2pk+1 – 1] к числу пар простых
чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [1, pk].
В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k Î N пары простых чисел-
близнецов pk. Областью изменения функции является множество Q.
Для исследования свойств функции gk была использована таблица, содержвщая 1840169
значений этой функции.
Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изме-
няются довольно гладко в пределах от 0,6000 до 0,8609.
В результате предварительных исследований функции gk численными методами уста-
новлено, что выражение
1
1 - ¾¾¾¾¾¾ ,
(ln k) ¤ c + d
где c и d – числовые параметры,
является функцией, хорошо аппроксимирующей исходную функцию gk. Обозначим ее через rk.
1
rk = 1 - ¾¾¾¾¾¾ . (12)
(ln k) ¤ c + d
Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции rk используется метод
наименьших квадратов.
Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так,
чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции rk от табличных значений
исходной функции gk была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая
функция параметров c и d. Обозначим ее через S2(c, d)
S2(c, d) = S (rk - gk)2, (13)
где для уменьшения объема вычислений суммирование выполняется по выбранным точкам
аппроксимации k = 10, 20, 30, … , 1840160.
Для оценки близости исходной функции gk и приближающей ее функции rk используется
минимальное значение S2(c, d).
Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу
наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.
На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим
численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции
S2(c, d). Результаты расчетов приведены в табл.9.
Таблица 9 Продолжение табл.9
-------
c : d : S2(c, d) c : d : S2(c, d)
-------
2,000 : 0, : 2, 3,000 : 2, : 1,
2,300 : 0, : 0, 3,500 : 2, : 3,
2,400 : 1, : 0, 4,000 : 3, : 5,
2,500 : 1, : 0, 5,000 : 4, : 8,
2,700 : 1, : 1,
------
На втором этапе выполним интерполяцию функции S2(c, d), используя данные табл.9.
Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,300; 2,400; 2,500.
Для интерполяции функции S2(c, d) используем полином второй степени
S2(c, d) = k c2 + l c + m, (14)
где k = 6,; l = -31,; m = 37,.
На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального
значения функции S2(c, d)
l -31,
c = - ¾¾ = - ¾¾¾¾¾¾¾¾ = 2,.
2k 2 × 6,
При этом минимум минимального значения функции S2(c, d), вычисленный по формуле (14),
равен 0,.
На четвертом этапе для параметра c = 2, определим численным методом значение
параметра d, доставляющее минимальное значение функции S2(c, d). Минимуму функции
S2(c, d) отвечает d = 1,. При этом минимальное значение функции S2(c, d), вычислен-
ное по формуле (13), равно 0,.
Минимальное значение функции S2(c, d), вычисленное по формуле (13) для c = 2, и
d = 1,, отличается от минимального значения функции S2(c, d), вычисленного по
формуле (14), на -0,. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции
S2(c, d).
На пятом этапе для исключения погрешностей интерполяции функции S2(c, d) зададимся
рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2, и для каждого из них
определим по формуле (13) значение параметра d, доставляющее минимальное значение
функции S2(c, d). Результаты расчетов приведены в табл.10.
Таблица 10 Продолжение табл.10
c : d : S2(c, d) c : d : S2(c, d)
2,3800 : 1, : 0, 2,3900 : 1, : 0,
Продолжение табл.10 Продолжение табл.10
c : d : S2(c, d) c : d : S2(c, d)
2,3930 : 1, : 0, 2,3940 : 1, : 0,
2,3936 : 1, : 0, 2,3950 : 1, : 0,
2,3937 : 1, : 0, 2,3960 : 1, : 0,
2,3938 : 1, : 0,
Используя данные, приведенные в табл.10, уточненные значения параметров c и d приняты
соответственно равными 2,3937 и 1,. При этом приближающая функция для gk
имеет вид
1
rk = 1 - ¾¾¾¾¾¾ , (15)
(ln k) ¤ c + d
где c = 2,3937; d = 1,.
В табл.11 приведены отклонения rk - gk приближающей функции rk от исходной функ-
ции gk для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 1840160].
Таблица 11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
30 : 0,6092969 : 0,7333333 : -0,1240: 0,7515157 : 0,7920000 : -0,0404843
50 : 0,6393657 : 0,6800000 : -0,0406: 0,7769530 : 0,7810000 : -0,0040470
70 : 0,6567653 : 0,7285714 : -0,0718: 0,7870874 : 0,8002000 : -0,0131126
100 : 0,6734655 : 0,7200000 : -0,0465: 0,7932744 : 0,8147143 : -0,0214399
300 : 0,7160239 : 0,7766667 : -0,0606: 0,7994519 : 0,8061000 : -0,0066481
500 : 0,7322500 : 0,7060000 : 0,0262: 0,8104591 : 0,8083500 : 0,0021091
700 : 0,7419617 : 0,7428571 : -0,0008: 0,8163552 : 0,8134333 : 0,0029219
Продолжение табл.11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
40000 : 0,8203209 : 0,8191500 : 0,0011: 0,8424564 : 0,8437385 : -0,0012821
50000 : 0,8232809 : 0,8207200 : 0,0025: 0,8428467 : 0,8434852 : -0,0006385
60000 : 0,8256280 : 0,8210000 : 0,0046: 0,8432211 : 0,8439786 : -0,0007575
70000 : 0,8275643 : 0,8255286 : 0,0020: 0,8435806 : 0,8443759 : -0,0007953
80000 : 0,8292072 : 0,8264845 : 0,0027: 0,8439263 : 0,8453033 : -0,0013770
90000 : 0,8306306 : 0,8283000 : 0,0023: 0,8442593 : 0,8456548 : -0,0013955
100000 : 0,8318839 : 0,8292300 : 0,0026: 0,8445803 : 0,8451781 : -0,0005978
110000 : 0,8330018 : 0,8317727 : 0,0012: 0,8448902 : 0,8466091 : -0,0017189
120000 : 0,8340094 : 0,8318333 : 0,0021: 0,8451897 : 0,8461676 : -0,0009779
130000 : 0,8349257 : 0,8323308 : 0,0025: 0,8454794 : 0,8457314 : -0,0002520
140000 : 0,8357650 : 0,8324429 : 0,0033: 0,8457599 : 0,8467306 : -0,0009707
150000 : 0,8365388 : 0,8347267 : 0,0018: 0,8460317 : 0,8461189 : -0,0000872
160000 : 0,8372560 : 0,8350000 : 0,0022: 0,8462954 : 0,8460974 : 0,0001980
170000 : 0,8379241 : 0,8362059 : 0,0017: 0,8465513 : 0,8462282 : 0,0003231
180000 : 0,8385489 : 0,8374556 : 0,0010: 0,8468000 : 0,8466850 : 0,0001150
190000 : 0,8391355 : 0,8369316 : 0,0022: 0,8470417 : 0,8460976 : 0,0009441
200000 : 0,8396881 : 0,8374700 : 0,0022: 0,8472769 : 0,8466381 : 0,0006388
210000 : 0,8402103 : 0,8386714 : 0,0015: 0,8475058 : 0,8471628 : 0,0003430
220000 : 0,8407049 : 0,8402591 : 0,0004: 0,8477288 : 0,8472795 : 0,0004493
230000 : 0,8411748 : 0,8410217 : 0,0001: 0,8479462 : 0,8476622 : 0,0002840
240000 : 0,8416220 : 0,8417917 : -0,0001: 0,8481582 : 0,8473087 : 0,0008495
250000 : 0,8420486 : 0,8436720 : -0,0016: 0,8483650 : 0,8472809 : 0,0010841
Продолжение табл.11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
480000 : 0,8485670 : 0,8470146 : 0,0015: 0,8520973 : 0,8524814 : -0,0003841
490000 : 0,8487643 : 0,8473694 : 0,0013: 0,8522268 : 0,8528141 : -0,0005873
500000 : 0,8489571 : 0,8473320 : 0,0016: 0,8523543 : 0,8529778 : -0,0006235
510000 : 0,8491456 : 0,8474333 : 0,0017: 0,8524798 : 0,8528000 : -0,0003202
520000 : 0,8493300 : 0,8483788 : 0,0009: 0,8526034 : 0,8527784 : -0,0001750
530000 : 0,8495104 : 0,8487415 : 0,0007: 0,8527251 : 0,8534227 : -0,0006976
540000 : 0,8496870 : 0,8485796 : 0,0011: 0,8528450 : 0,8533395 : -0,0004945
550000 : 0,8498600 : 0,8488818 : 0,0009: 0,8529632 : 0,8532662 : -0,0003030
560000 : 0,8500295 : 0,8490893 : 0,0009: 0,8530796 : 0,8536474 : -0,0005678
570000 : 0,8501956 : 0,8487947 : 0,0014: 0,8531944 : 0,8539000 : -0,0007056
580000 : 0,8503585 : 0,8487466 : 0,0016: 0,8533076 : 0,8539263 : -0,0006187
590000 : 0,8505183 : 0,8488898 : 0,0016: 0,8534192 : 0,8539469 : -0,0005277
600000 : 0,8506750 : 0,8493467 : 0,0013: 0,8535292 : 0,8538707 : -0,0003415
610000 : 0,8508288 : 0,8495885 : 0,0012: 0,8536378 : 0,8541181 : -0,0004803
620000 : 0,8509798 : 0,8501306 : 0,0008: 0,8537449 : 0,8542107 : -0,0004658
630000 : 0,8511281 : 0,8503794 : 0,0007: 0,8538506 : 0,8543765 : -0,0005259
640000 : 0,8512738 : 0,8510141 : 0,0002: 0,8539549 : 0,8544105 : -0,0004556
650000 : 0,8514169 : 0,8512185 : 0,0001: 0,8540578 : 0,8543126 : -0,0002548
660000 : 0,8515576 : 0,8509485 : 0,0006: 0,8541594 : 0,8549920 : -0,0008326
670000 : 0,8516959 : 0,8512672 : 0,0004: 0,8542597 : 0,8553067 : -0,0010470
680000 : 0,8518319 : 0,8522485 : -0,0004: 0,8543588 : 0,8551144 : -0,0007556
690000 : 0,8519657 : 0,8524043 : -0,0004: 0,8544567 : 0,8555154 : -0,0010587
Продолжение табл.11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
920000 : 0,8545533 : 0,8558087 : -0,0012: 0,8564238 : 0,8568175 : -0,0003937
930000 : 0,8546488 : 0,8560054 : -0,0013: 0,8564990 : 0,8569252 : -0,0004262
940000 : 0,8547431 : 0,8560319 : -0,0012: 0,8565735 : 0,8570448 : -0,0004713
950000 : 0,8548364 : 0,8556453 : -0,0008: 0,8566472 : 0,8570786 : -0,0004314
960000 : 0,8549285 : 0,8556094 : -0,0006: 0,8567202 : 0,8573373 : -0,0006171
970000 : 0,8550195 : 0,8556742 : -0,0006: 0,8567926 : 0,8573126 : -0,0005200
980000 : 0,8551095 : 0,8557337 : -0,0006: 0,8568642 : 0,8573258 : -0,0004616
990000 : 0,8551985 : 0,8559273 : -0,0007: 0,8569352 : 0,8572694 : -0,0003342
1000000 : 0,8552865 : 0,8560600 : -0,0007: 0,8570056 : 0,8576066 : -0,0006010
1010000 : 0,8553735 : 0,8558842 : -0,0005: 0,8570753 : 0,8575398 : -0,0004645
1020000 : 0,8554596 : 0,8562490 : -0,0007: 0,8571443 : 0,8574734 : -0,0003291
1030000 : 0,8555447 : 0,8562583 : -0,0007: 0,8572128 : 0,8573408 : -0,0001280
1040000 : 0,8556288 : 0,8562577 : -0,0006: 0,8572806 : 0,8573071 : -0,0000265
1050000 : 0,8557121 : 0,8562743 : -0,0005: 0,8573478 : 0,8574693 : -0,0001215
1060000 : 0,8557945 : 0,8566708 : -0,0008: 0,8574145 : 0,8574953 : -0,0000808
1070000 : 0,8558760 : 0,8566850 : -0,0008: 0,8574805 : 0,8575767 : -0,0000962
1080000 : 0,8559567 : 0,8570481 : -0,0010: 0,8575460 : 0,8574385 : 0,0001075
1090000 : 0,8560366 : 0,8569294 : -0,0008: 0,8576110 : 0,8576969 : -0,0000859
1100000 : 0,8561156 : 0,8569218 : -0,0008: 0,8576754 : 0,8577811 : -0,0001057
1110000 : 0,8561938 : 0,8569396 : -0,0007: 0,8577392 : 0,8578248 : -0,0000856
1120000 : 0,8562713 : 0,8567955 : -0,0005: 0,8578025 : 0,8578888 : -0,0000863
1130000 : 0,8563479 : 0,8568088 : -0,0004: 0,8578653 : 0,8582430 : -0,0003777
Продолжение табл.11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
1360000 : 0,8579275 : 0,8583353 : -0,0004: 0,8591807 : 0,8591658 : 0,0000149
1370000 : 0,8579893 : 0,8585234 : -0,0005: 0,8592330 : 0,8591245 : 0,0001085
1380000 : 0,8580505 : 0,8586681 : -0,0006: 0,8592849 : 0,8593019 : -0,0000170
1390000 : 0,8581113 : 0,8586295 : -0,0005: 0,8593364 : 0,8593913 : -0,0000549
1400000 : 0,8581716 : 0,8586629 : -0,0004: 0,8593876 : 0,8596179 : -0,0002303
1410000 : 0,8582313 : 0,8589156 : -0,0006: 0,8594384 : 0,8594534 : -0,0000150
1420000 : 0,8582907 : 0,8589049 : -0,0006: 0,8594888 : 0,8593494 : 0,0001394
1430000 : 0,8583495 : 0,8588594 : -0,0005: 0,8595390 : 0,8594473 : 0,0000917
1440000 : 0,8584079 : 0,8589806 : -0,0005: 0,8595887 : 0,8595578 : 0,0000309
1450000 : 0,8584658 : 0,8586186 : -0,0001: 0,8596382 : 0,8595539 : 0,0000843
1460000 : 0,8585233 : 0,8586801 : -0,0001: 0,8596873 : 0,8596774 : 0,0000099
1470000 : 0,8585804 : 0,8587707 : -0,0001: 0,8597361 : 0,8597663 : -0,0000302
1480000 : 0,8586370 : 0,8589568 : -0,0003: 0,8597846 : 0,8598082 : -0,0000236
1490000 : 0,8586932 : 0,8588470 : -0,0001: 0,8598327 : 0,8598497 : -0,0000170
1500000 : 0,8587490 : 0,8588853 : -0,0001: 0,8598806 : 0,8599465 : -0,0000659
1510000 : 0,8588043 : 0,8589848 : -0,0001: 0,8599281 : 0,8600468 : -0,0001187
1520000 : 0,8588593 : 0,8589678 : -0,0001: 0,8599753 : 0,8602586 : -0,0002833
1530000 : 0,8589138 : 0,8590627 : -0,0001: 0,8600223 : 0,8603137 : -0,0002914
1540000 : 0,8589680 : 0,8591006 : -0,0001: 0,8600689 : 0,8604125 : -0,0003436
1550000 : 0,8590218 : 0,8591290 : -0,0001: 0,8601152 : 0,8604141 : -0,0002989
1560000 : 0,8590751 : 0,8593231 : -0,0002: 0,8601613 : 0,8604893 : -0,0003280
1570000 : 0,8591281 : 0,8591987 : -0,0000: 0,8602070 : 0,8606944 : -0,0004874
Продолжение табл.11 Продолжение табл.11
----
k : rk : gk : rk - gk k : rk : gk : rk - gk
----
1800000 : 0,8602525 : 0,8607594 : -0,0005: 0,8603872 : 0,8609038 : -0,0005166
1810000 : 0,8602977 : 0,8607845 : -0,0004: 0,8604316 : 0,8609554 : -0,0005238
1820000 : 0,8603426 : 0,8609121 : -0,0005: 0,8604323 : 0,8609762 : -0,0005439
----
Погрешность приближенного представления функции gk составляет:
для 30 £ k £ 300 |rk - gk| £ 0,1526;
для 300 < k £ 7150 |rk - gk| £ 0,0646;
для 7150 < k £ 10500 |rk - gk| £ 0,0279;
для 10500 < k £ 28500 |rk - gk| £ 0,0100;
для 28500 < k £ 139000 |rk - gk| £ 0,0067;
для 139000 < k £ 600000 |rk - gk| £ 0,0035;
для 600000 < k £ 1120000 |rk - gk| £ 0,0017;
для 1120000 < k £ 1840160 |rk - gk| £ 0,0008 (см. табл.11).
Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представ-
ление функции gk в виде
1
gk » 1 - ¾¾¾¾¾¾, k ³ 30, (16)
(ln k) ¤ c + d
где c = 2,3937; d = 1,.
Формула (16) дает возможность установить важное свойство функции gk. При больших k
1 1
величина ¾¾¾¾¾¾ ничтожна по сравнению с 1; lim ¾¾¾¾¾¾ = 0 и мы получаем
(ln k) ¤ c+ d (ln k) ¤ c+ d
асимптотическое равенство
gk ~
Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.
Теорема 5. Отношение числа пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда
[pk + 1, 2pk+1 – 1] к числу пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда [1, pk],
где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответственно, при k® ¥
стремится к пределу, равному 1.
Следствие 2. Число пар простых чисел-близнецов на отрезке натурального ряда
[pk + 1, 2pk+1 – 1], где pk и pk+1 – пары близнецов с порядковыми номерами k и k+1 соответ-
ственно, при k® ¥ стремится к бесконечности.
Литература
1. Бухштаб чисел. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1966. –С. 384
2. Вентцель вероятностей. – М.: Государственное издательство физико-математи-
ческой литературы, 1958. –С. 464
3. Нечаев системы. – М.: Просвещение, 1975. –С. 199
