Задание на дом

Задание на дом (вы должны быть готовы обсуждать ваши решения 30.01.2012)

Темы: Выбор в условиях неопределенности: свойства предпочтений, определенных на пространстве лотерей, аксиома независимости. Теория ожидаемой полезности.

1. Пусть предпочтения, определенные на множестве простых лотерей рациональны и удовлетворяют аксиоме независимости. Известно, что , причем . Пусть . Сравните (по возможности) следующие лотереи: (а) и ; (б) и .

2. Докажите сформулированное на лекции следствие из аксиомы независимости. Пусть предпочтения, определенные на множестве простых лотерей , рациональны и удовлетворяют аксиоме независимости. Для любой пары лотерей таких что , и пары чисел имеем: тогда и только тогда, когда .

3. Покажите, что, если множество исходов конечно и рациональные предпочтения удовлетворяют аксиоме независимости, тогда существует наихудшая лотерея, то есть мы можем найти такую, что для всех L из допустимого множества лотерей. (Аналогичным способом можно удостовериться в существовании наилучшей лотереи).

4. Верно ли утверждение? Если предпочтения , определенные на множестве простых лотерей , представимы функцией ожидаемой полезности, тогда отношение удовлетворяет аксиоме независимости.

5. Предположим, штаб по чрезвычайным ситуациям хочет выработать критерий для принятия решения об эвакуации при опасности наводнения. Вероятность наводнения = 1%. Возможно 4 исхода:

А) эвакуация не требуется и не производится,

B) эвакуация не требуется, но производится,

C) эвакуация требуется и производится,

D) эвакуация не производится, и наводнение приводит к большим потерям.

Известно, что и .

Считайте выполненными все условия теоремы существования функции ожидаемой полезности.

(а) Постройте функцию ожидаемой полезности для штаба по чрезвычайным ситуациям

(б) Рассмотрите два различных критерия.

Критерий 1. Этот критерий приведет к эвакуации в 90% случаев, когда наводнение действительно будет, и в 10% случаев эвакуация будет произведена без надобности (т. е. когда наводнения не было).

Критерий 2. Этот критерий более консервативен. Он приведет к эвакуации в 95% случаев, когда наводнение действительно будет, и в 5% случаев эвакуация будет произведена без надобности (т. е. когда наводнения не было).

Выведите распределение вероятностей между возможными четырьмя исходами при этих двух критериях. Используя функцию полезности, полученную в пункте (а), определите, какой из двух критериев предпочтет штаб по чрезвычайным ситуациям.

6. Преступник приставил дуло револьвера к голове господина N. Он собирается наугад прокрутить барабан и выстрелить. Известно, что в барабан револьвера входит не более шести пуль, а в данный момент в барабане пуль. Преступник предлагает господину N заплатить за то, что он вынет одну пулю из барабана. Обозначим через максимальную сумму, которую этот господин готов заплатить преступнику. Считайте, что господину N безразлично, сколько останется денег в случае его смерти, но, если он выживет, то чем больше у него будет денег, тем лучше. Верно ли следующее утверждение: «Если для данного господина , то его предпочтения не могут быть представимы функцией ожидаемой полезности»?