ВАРИАНТ 24
1. Решить систему с помощью обратной матрицы
Решение.
Левую часть системы можно записать в виде произведения матриц 
, а правую – в виде матрицы 
. Следовательно, имеем матричное уравнение
(*)
Решить матричное уравнение - это значит найти неизвестные матрицы 
, т. е. найти все элементы этой матрицы таким образом, чтобы при подстановке их в уравнение (
они обратились в верное равенство. При решении матричных уравнений поступают так же, как при решении алгебраических, т. е. преобразуют уравнения так, чтобы получить при неизвестном коэффициент, равный 1. Так как нет действия деления матриц, а роль единицы у матриц играет единичная матрица, то вся задача сводится к тому, чтобы получить при неизвестных матрицах единичные, а для этого нужно использовать обратную матрицу. Для получения единичной матрицы при нужно умножить обе части уравнения ( на 
, а так как произведение матриц не подчиняется коммутативному закону, то 
и должны быть рядом, поэтому можно умножить обе части уравнения ( на слева: 
, так как 
, то получим формулу для решения матричного уравнения (:
.
Вычислим определитель матрицы A.
.
Найдем присоединенную матрицу для A. Алгебраические дополнения находятся для строк, а пишутся в столбцы, т. е. сразу производится транспонирование матрицы алгебраических дополнений, используя формулу 
.
Находим алгебраические дополнения матрицы A:
= = 3-8 = -5, = = -(3-4) = 1, = = 2-1 = 1,
= = -(9-2) = -7, = = 3-1 = 2, = = -(2-3) = 1,
= = 12-1 = 11, = = -(4-1) = -3, = = 1-3 = -2,
Присоединенная матрица 
. 
.
Делаем проверку:
∙A = ∙ = =
Найдем X по формуле:
X= A-1 ×B
Чтобы убедиться в правильности решения, нужно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.
.
Ответ: 
2. Найти ранг матрицы
Решение.
Рангом матрицы называется число строк матрицы, в которых присутствует хотя бы один элемент отличный от нуля, при условии, что матрица приведена к ступенчатому виду.
Вычислим ранг матриц, для этого приведем ее к трапециевидной форме:
Пояснения к вычислению ранга:
1. При первом преобразовании (1) первую строку, умноженную на (-1), прибавить ко второй и к третьей, затем первую строку, умноженную на (-3), прибавить к четвертой, потом первую строку, умноженную на (-2), прибавить к пятой. (При этом сама первая строка не меняется.)
2. При втором преобразовании (2) вторую строку разделим на 2.
3. При третьем преобразовании (3) вторую строку прибавить к третьей, а затем вторую строку умножить на число (-2) и прибавить к четвертой.
4. При четвертом преобразование (4) поменяем местами третью и четвертую строки между собой.
5. При пятом преобразование (5) третью строку, умноженную на (-1), прибавить к пятой, четвертая строка остается неизменной.
6. При шестом преобразование (6) поменяем местами четвертую и пятую строки между собой.
Получили, что 
Ответ:
3. Решить систему методом Гаусса.
Решение.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Число неизвестных данной системы 
.
Пояснения:
1. При первом преобразовании (1) первую строку, умноженную на 3, прибавить ко второй, затем первую строку, умноженную на (-2), прибавить к третьей, потом первую строку, умноженную на (-1), прибавить к четвертой. (При этом сама первая строка не меняется.)
2. При втором преобразовании (2) вторую строку прибавить к третьей и четвертой.
3. При третьем преобразование (3) поменяем местами третью и четвертую строки между собой.
4. При четвертом преобразование (4) четвертую строку разделим на 8.
Система совместна и определена, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных (
).
Найдем переменные из получившейся ступенчатой системы:
Ответ: 
4. Найти размерность и базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений:
Решение.
Матрица однородной системы имеет вид:
.
Преобразуем ее к ступенчатому виду:
Пояснения:
1. При первом преобразовании (1) первую строку, умноженную на (-5), прибавить ко второй, затем первую строку, умноженную на (-2), прибавить к третьей, потом первую строку, умноженную на (-3), прибавить к четвертой. (При этом сама первая строка не меняется.)
2. При втором преобразовании (2) вторую строку, умноженную на (-1), прибавить к третьей и четвертой.
Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, то есть, в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы, 
Размерность пространства решений равна 
где 
- число неизвестных системы. Так как 
то система имеет бесчисленное множество решений.
Полагаем 
тогда
Записываем базис пространства решений системы, полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.
- базис, размерность линейного пространства решений равна 2
5. Доказать, что векторы 
, 
, 
образуют базис, и разложить вектор 
по этому базису.
Решение.
Покажем, что равенство 
возможно только при 
,
,
, или
Решив систему, получим 
. Так как то 
- линейно - независимы. Они могут составить базис в 
.
Найдем разложение вектора 
по векторам :
,
,
,
Это векторное уравнение эквивалентно системе трёх уравнений с тремя неизвестными:
Вычисляем определитель системы:
Находим неизвестные
α = = = 3
β = = = -1
γ = = = 1
Ответ: .
6. Вычислить величину момента силы 
, приложенной к точке , относительно точки 
, если 
, 
, 
, 
, 
, 
Решение.
Если вектор изображает силу, а вектор 
направлен из некоторой точки в начало вектора , то вектор векторного произведения этих векторов определит момент этой силы относительно точки :
Величина момента силы 
7. Даны координаты вершин пирамиды 
. Средствами векторной алгебры найти:
а) угол между ребрами 
и 
;
б) площадь грани 
;
в) проекцию вектора 
на вектор ;
г) объем пирамиды 
,
,
,
.
Решение.
а) Угол между ребрами и найдем как угол между направляющими векторами 
и 
:
,
Косинус угла между векторами:
.
б). Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения и 
,
Векторное произведение:
кв. ед.
в) Вычислим проекцию вектора на вектор . Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: 
, где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: 
,
г) Объем пирамиды равен 
объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения:
,
Найдем смешанное произведение:
Вычислим объем по указанной формуле:
куб. ед.
Ответ: 
, 
кв. ед., 
куб. ед.
8. Построить линию 
.
Решение.
,
Получили уравнение гиперболы, с центром (1,-2), действительная ось будет у нее 
, действительная полуось равна 
, мнимая ось - 
, полуось равна 3.
Определим ОДЗ:
Получили, что 
, следовательно, заданная линия это верхняя часть полученной гиперболы:
9. Дан треугольник 
, 
, 
. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины 
на медиану, проведенную из вершины .
Решение.
, 
, 
- точка пересечения медианы и стороны треугольника 
.
,
,
,
, 
, 
,
,
Так как уравнение перпендикуляра проходит через точку , то, следовательно, имеем
Итак, уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины , имеет следующий вид: 
Ответ:.
10. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую 
и точку , если 
, 
.
Решение.
Найдем координаты, каких – нибудь двух точек и , принадлежащих прямой . Для этого приведем прямую к параметрическому виду:
Подставим вместо 
,
и найдем соответствующие координаты точек и :
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
, 
и 
имеет вид:
.
Уравнение искомой плоскости:
, 
,
,
,
.
Ответ: .
11. Найти точку 
, симметричную точке 
относительно плоскости 
.
Решение.
Найдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку 
. Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости:
,
Тогда уравнение искомой прямой:
,
Найдем точку 
пересечения прямой и плоскости.
Запишем параметрические уравнения прямой
Подставляем в уравнение плоскости:
,
,
,
,
Получаем: 
Так как является серединой отрезка 
, то
,
,
.
Получаем 
Ответ:
12. Даны два линейных преобразования:
Найти преобразование, выражающие 
через 
, и преобразование, выражающие через .
Решение.
Первое линейное преобразование
имеет матрицу 
.
Второе линейное преобразование
имеет матрицу 
Тогда произведение (т. е. последовательное выполнение) линейных преобразований имеет матрицу: 
,
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:
То есть: 
Для того, чтобы выразить через , решим полученную систему методом Крамера: Вычисляем определитель системы:
Находим неизвестные :
Найти производные функций
а) 
.
Решение.
Правила дифференцирования
1) производная суммы (разности):
2) производная произведения:
3) производная частного:
4) производная сложной функции равна произведению производных:
, 
, 
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, 
, где 
:
,
Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, где 
, где 
:
б) 
Решение.
Воспользуемся правилом нахождения производной частного:
в) 
Решение.
Воспользуемся правилом нахождения производной произведения и дифференцирования сложной функции:
