11.6.5. Особенности применения метода переменных состояния

к расчету переходных процессов в нелинейных цепях

Если цепь линейная, то коэффициенты, входящие в уравнения состояния, – постоянные величины, выражающиеся через параметры пассивной части цепи. Если нелинейная, то в уравнения входят также аналитические выражения или функциональные зависимости, описывающие характеристики нелинейных элементов.

При наличии в цепи нелинейной индуктивности в качестве одной из переменных состояния следует выбрать ее потокосцепление, так как именно его производная напряжение на катушке – входит в уравнения второго закона Кирхгофа, а ток будет представлен в уравнениях вебер-амперной характеристикой

Соответствовать нелинейному конденсатору в числе переменных состояния должен его заряд, поскольку именно его производная ток конденсатора – входит в уравнения первого закона Кирхгофа, а его напряжение будет фигурировать в виде кулон-вольтной характеристики

Когда в цепи есть нелинейное сопротивление, то переменной состояния будет либо ток линейной индуктивности, если она включена последовательно с сопротивлением, либо напряжение на линейной емкости, если последняя включена параллельно этому сопротивлению. Вольтамперная характеристика введет вторую величину в уравнения как функцию переменной состояния. В иных случаях и комбинация ВАХ с переменными состояния окажется более сложной.

В качестве примера составления уравнений состояния в цепи второго порядка с двумя нелинейными элементами рассмотрим схему, приведенную на рис. 11.52. Заодно наметим и порядок расчета методом переменных состояния.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример 11.14

Известны ток источника , сопротивления  и  индуктивность L, а также ВАХ  и КлВХ  которые показаны на рис. 11.53,а и 11.53,б.

Найти  и 

Решение

1. Расчет докоммутационной цепи в установившемся режиме и определение независимых начальных условий по законам коммутации.

В схеме действует источник постоянного тока, поэтому в установившемся режиме катушка представляет собой закоротку, а конденсатор – разрыв цепи (рис. 11.54,а). Поэтому

Затем по КлВХ найдем

2. Расчет послекоммутационной цепи в установившемся режиме по схеме рис. 11.54,б.

Параллельно включенные по отношению к зажимам нелинейного сопротивления представляют известную схему эквивалентного генератора с током короткого замыкания J и напряжением холостого хода Его внешняя характеристика – прямая на рис. 11.53,б, а ее точка пересечения с ВАХ нелинейного сопротивления позволяет найти

После этого по КлВХ конденсатора найдем

3. Выбор переменных состояния.

Очевидно, это так как их производные и легко выражаются через по законам Кирхгофа.

4. Уравнения состояния. Будем искать их в виде:

(11.24)

Заменим (рис. 11.55,а), в соответствии с теоремой компенсации, катушку источником тока направленного так же, как и в исходной схеме, конденсатор – источником ЭДС c такой же полярностью, как у напряжения в той же схеме. Затем воспользуемся принципом наложения для определения составляющих тока в конденсаторе и напряжения на катушке оставляя в каждой подсхеме по одному источнику:

(11.25)

В подсхеме с источником тока J (второй источник тока отключен, вместо источника ЭДС стоит закоротка – рис. 11.55,б) имеем:

В подсхеме с источником тока (рис. 11.5,в)

Наконец, в подсхеме с источником ЭДС (рис. 11.55,г)

Так что оказывается

(11.26)

Сравнивая систему (11.26) с уравнениями (11.24), найдем неизвестные коэффициенты:

5. Решение уравнений состояния. Выполняется численным методом (например, Рунге-Кутта [9]). Если характеристики рис. 11.53 линеаризовать (подобно тому, как это было сделано в примере 11.13) и оценить реальную длительность переходного процесса, то можно выбрать шаг по времени Dt. При наличии колебательного процесса в линеаризованной цепи должно быть и постоянная времени и период свободных колебаний. Если же в этой цепи протекает апериодический процесс, то следует принять При этом будет обеспечена приемлемая для учебных целей точность расчета. Вычисления начинаются с найденных в п.1 значений и продолжаются до тех пор, пока не будут достигнуты (с заданной точностью) значения из п.2.