Z-преобразование и его свойства

3.2. Z-преобразование и его свойства.

Как уже отмечалось, цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный математический аппарат, построенный на базе преобразования Лапласа. Но применение этого преобразования к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. Z-преобразование является, в некотором смысле, аналогом преобразования Лапласа для последовательностей. Z-преобразование над последовательностью задается следующей формулой: (3.2.1) Поясним некоторые моменты. Что такое ? - это обычная комплексная переменная. Предположим, что у нас имеется последовательность, состоящая всего из четырех членов: (3.2.2) тогда Z-преобразование этой последовательности согласно формуле (3.2.1) будет таким: (3.2.3) Другими словами при помощи Z-преобразования мы получили из дискретной последовательности непрерывную функцию . При этом необходимо заметить, что это не просто функция, а функция комплексного переменного. То есть, определена на комплексной плоскости , и значения - тоже комплексные величины. Данное преобразование называется прямым. Существует и обратное Z-преобразование, когда из функции комплексного переменного может быть получена исходная последовательность , но такое преобразование используется редко, и здесь его рассматривать мы не будем. Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования. Свойство 1: линейность. Это свойство можно описать так: если последовательности соответствует Z-преобразование , а последовательности соответствует Z-преобразование , (3.2.4) то суперпозиции этих последовательностей соответствует суперпозиция их Z-преобразований: (3.2.5) и здесь - обычные коэффициенты. Докажем свойство линейности Z-преобразования. Для этого найдем Z-преобразование последовательности . Согласно формуле (3.2.1) оно может быть получено так: (3.2.6) Что и требовалось доказать. Свойство 2: Z-преобразование задержанной последовательности. Если последовательности соответствует Z-преобразование , (3.2.7) то такой же последовательности, но задержанной на отсчетов соответствует Z-преобразование . (3.2.8) То есть задержка последовательности приводит к домножению ее Z-преобразования на . Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулой (3.2.1) Z-преобразование последовательности : (3.2.9) Сделаем замену: , . Следовательно, если , то , и если , то . Получаем: . (3.2.10) Что и требовалось доказать.

Свойство 3: Z-преобразование свертки последовательностей. Если последовательности соответствует Z-преобразование , а последовательности соответствует Z-преобразование , (3.2.11) то дискретной свертке последовательностей и соответствует произведение их Z-преобразований: . (3.2.12) Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулами (3.2.1) и (2.3.1) Z-преобразование свертки последовательностей и : (3.2.13) Меняем порядок суммирования и получаем: (3.2.14) Но это есть Z-преобразование от задержанной последовательности и согласно свойству 2 равно . Следовательно: (3.2.15) Что и следовало доказать. 3.4. Взаимосвязь Z-преобразования и частотной характеристики Существует очень простая взаимосвязь между Z-преобразованием какой-либо последовательности и ее частотной характеристикой. Для того, чтобы понять это, нужно лишь сравнить формулу для вычисления частотной характеристики последовательности и формулу Z-преобразования этой же последовательности. Сравниваем: пусть имеется последовательность , тогда частотная характеристика этой последовательности согласно (2.3.14) имеет вид: (3.4.1) А Z-преобразование этой последовательности согласно (3.2.1) имеет вид: (3.4.2) Формулу (3.4.1) можно легко получить из (3.4.2) если допустить, что (3.4.3) Иными словами частотная характеристика это частный случай Z-преобразования. «Полное» или «настоящее» Z-преобразование определено для любого комплексного . Иногда говорят, что Z-преобразование определено на всей Z-плоскости. А частотная характеристика это тоже Z-преобразование, но только для множества точек , удовлетворяющих условию (3.4.3), то есть точек, лежащих на единичной окружности Z-плоскости (см. рис 3.4.1). Рис. 3.4.1. Взаимосвязь Z-преобразования и частотной характеристики Таким образом, можно легко перейти от Z-преобразования к частотной характеристики, заменив в формуле все на . Точно также, как из преобразования Лапласа: , (3.4.4) заданного на комплексной плоскости , можно получить преобразование Фурье: (3.4.5) простой заменой на (частота является строго вещественной величиной).