§2 Идеальный больцмановский одноатомный газ из N частиц

Простейшая система из N частиц, не взаимодействующих между собой и описывающаяся гамильтонианом

,

представляющем сумму по всем частицам одночастичных гамильтонианов, называется обычно идеальным газом. Если частица в объёме V, обладает только кинетической энергией, то одночастичный гамильтониан, учитывающий наличие границ, можно представить в виде:

Потенциальные ящики с бесконечными стенками, моделирующие границы объёма, позволяет строго и однозначно задать квантовое состояние частицы с помощью тройки чисел . Волновая функция этого одночастичного состояния:

Состояние всех N частиц системы можно указать, если задать совокупность тройки чисел для всех частиц:

В соответствии с гамильтонианом энергия этого состояния складывается из энергий отдельных частиц системы, поэтому с этой точки зрения каждая из них может рассматриваться как квазинезависимая подсистема, а статистическая сумма системы превращается в произведение одночастичных стат. сумм.[1]

В свою очередь, одночастичная сумма распадается на произведение статистических сумм по трём независимым степеням свободы (трём координатным осям) .

Величина статистической суммы по одной координате зависит от соотношения между температурой T и энергией основного состояние в соответствующем одномерном потенциальном ящике .

Зависимость от температуры,

обезразмеренной на энергию основного

состояния, при соотношении видна из

рисунка.

Случай может реализоваться только в тонких плёнках L~1000A, поскольку даже для частиц с массой электрона . В гетеро структурах, расстояние между уровнями энергии для электронов при характерных размерах L~100Ả по одной из координат (например, по x) может оказаться больше температуры: . При этом : заселены только состояния с .\, - это соответствует тому, что система станет двумерной, когда движение возможно только в плоскости y-z. Одночастичная статистическая сумма в этом случае .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В случае макроскопических размеров системы по всем координатам для всех разумных температур и реализуется трехмерный случай:

. Свободная энергия и, в соответствии с соотношением, имеем:

Такая формула для свободной не может быть правильной, поскольку она не аддитивна. Это «расплата» за не учёт квантового принципа тождественности частиц, который был проигнорирован, когда задавалось квантовое состояние для N частиц. Согласно для каждой (i-ой) пронумерованной частицы указывалась тройка чисел: , которая задавала её состояние, но частицы неразличимы, поэтом, задавая таким способом квантовое состояние всей системы из N частиц, одно и тоже с точки зрения квантовой механики состояние будет учтено раз. «Грубый» учёт принципа тождественности, таким образом, можно обеспечить поделив выражение в на (красный текст в формулах и ). Это приводит к правильной формуле для свободной энергии для больцмановского идеального газа:

,

В ней одночастичная статистическая сумма включает возможный вклад и внутренних степеней свободы отдельной частицы: , - например, спин . В отсутствии внешних магнитных полей, когда энергия частицы не зависит от её проекции спина - кратности вырождения по проекции спина. Наличие такого множителя никак не сказывается на теплоёмкости, которая в данном случае 3/2 на частицу[2], а для двумерной системы 1.

В заключение этого параграфа ещё раз подчеркнём, что деление на только «грубо» учитывает принцип тождественности и допустимо только для случая, когда волновые функции частиц газа слабо перекрываются. В противном случае нужно газ станет вырожденным и станет подчиняться в зависимости от спина частиц либо статистике Бозе, либо Ферми. Наглядной ллюстрацией этого замечания служит рис.1.1, на котором изображена система из двух частиц () для случая, когда одна из частиц находится в одном из состояний малого фазового объёма , такого, что , а другая в аналогичном объёме .С точки зрения квантового принципа тождественности частиц это состояние ничем ни отличается от состояния, в котором частица заменена на , поэтому при суммировании по всем состояниям

квантовой системы из двух частиц мы их не имеем права учитывать дважды. По этой причине, когда частицы находятся в разных объёмах и, соответственно, в разных состояниях деление на 2! необходимо (левая часть рисунка). Но, если обе частицы часто оказываются в одном и том же фазовом объёме , то для ферми-частиц такая ситуация вообще невозможна (предполагается, что спиновые состояния у частиц одинаковы), поскольку фермионы не «хотят» находиться в одном состоянии (правая часть рисунка), и такие состояния должны быть исключены при суммировании. Для фермионов при этих ситуациях деление на не достаточно. Бозоны, наоборот, «любят» находится а одинаковых состояниях и при больших плотностях, как мы увидим, происходит бозе - конденсация частиц идеального газа в одном основном состоянии. Поэтому, когда средне количество частиц в каком либо квантовом состоянии порядка 1(), существенны квантовые эффекты, частицы теряют свою индивидуальность, а волновые функции частиц сильно перекрываются. Соотношение между температурой и плотностью частиц идеального газа, когда начинают быть существенны квантовые эффекты, легко устанавливается из условия перекрытия волновых функций отдельных частиц. Для классического газа средняя энергия и импульс диктуются температурой T. Тепловой импульс определяет порядок тепловой длины волны частицы . Частица не может быть локализована меньше, чем её длина волны, поэтому волновые функции начинают перекрываться, если . Откуда сразу следует, что квантовые эффекты станут существенными, или, иными словами, газ становиться вырожденным, когда

При этом условии будет справедлива формула для свободной энергии больцмановского идеального газа, в которой под знаком логарифма стоит большое число

порядка , отражающее слабое перекрытие волновых функций.

[1] На выражения, выделенные красным цветом, пока не следует

обращать внимание.

[2] Если одночастичная , то теплоёмкость на одну частицу . Действительно: