I. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью достаточных признаков сходимости.

Решение.

Воспользуемся следующим достаточным признаком сходимости числового ряда.

Если заданы ряды и существует , то ряды сходятся либо расходятся одновременно.

Сравним данный ряд с заведомо расходящимся гармоническим рядом . Найдем предел отношения

Предел отношения удовлетворяет условию , следовательно из расходимости гармонического ряда следует расходимость исследуемого ряда.

Ответ: рад расходится.

II. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение. Радиус сходимости степенного ряда

определим по формуле: . Здесь

Поскольку, интервал сходимости выглядит так: , то имеем .

Исследуем ряд на концах интервала.

. Ряд с таким общим членом расходится.

. Ряд с данным общим членом расходится.

Ответ: Область сходимость ряда

III. Среди 30 курсантов взвода 8 отличников. Для внеочередного дежурства назначено 5 курсантов. Найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет не более четырех.

Решение.

Событие А состоит из суммы 5-и независимых событий: A=B1+B2+B3+B4+B5

Событие В1- среди дежурных было 0 отличников и 5 неотличников;

Событие В2- среди дежурных был 1 отличник и 4 неотличника;

Событие В3- среди дежурных было 2 отличника и 3 неотличника;

Событие В4- среди дежурных было 3 отличника и 2 неотличника;

Событие В5- среди дежурных было 4 отличника и 1 неотличник;

До полной группы событий не хватает одного события: В6 - среди дежурных все пятеро были отличниками.

Вероятность полной группы событий равна единице, т. е

Отсюда на основании теоремы о сумме вероятностей независимых событий имеем

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Здесь - число сочетаний из элементов по .

Ответ: вероятность того, что среди 5-и дежурных отличников будет не более четырех равна 0,9996.

IV. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 2/3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах будет не более 3-х попаданий:

Решение.

Вероятность того, что из 6-и выстрелах будет не более 3- х попаданий (событие А) равна

Вероятность того, что при выстрелах будет попаданий, рассчитывается по формуле Бернулли.

Ответ: вероятность того, что из 6-и выстрелах будет не более 3-х попаданий равна 0,3196.

V. Для некоторого города в течении месяца (30 суток) в среднем поступает 120 сигналов о возгорании. Найти вероятность того, что в течение суток число сигналов о возгорании окажется не менее 5.

Решение. Интенсивность поступления сигналов о возгорании равна ед./сутк.

вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

Вероятность того, что в течение суток (t=1) число сигналов о возгорании окажется не менее 5 равно.

;

Ответ:

VI. Случайные величины X и Y независимо друг от друга могут с равной вероятностью принимать лишь одно из трех значений 1,2,3. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины Z и вероятность того, что случайная величина Z отклонится по абсолютной величине от своего математического ожидания не более, чем на среднеквадратическое отклонение, где

Решение. 1. Составим таблицу сумм случайных величин и .

X Y

1

2

3

1

2

3

4

2

3

4

5

3

4

5

6

Из таблице видно, что Z может принимать следующие возможные значения :

2. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z=2, достаточно, чтобы величина X приняла значение и величина Y - значение . Вероятности этих возможных значений равны по . Так как случайные величины X и Y независимы, то события Х = 1 и Y=1 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z=2) по теореме умножения равна

Аналогично находим

3. Запишем ряд (закон) распределения.

Z

2

3

4

5

6

P

Проверка:

Многоугольник распределения будет иметь вид

4. Найдем математическое ожидание случайной величины Z.

.

5. Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Z.

6. Вероятность того, что отклонение случайной величины Z от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , согласно неравенству Чебышева не меньше чем , т. е.

Поскольку , то согласно неравенству Чебышева

Если бы случайная величина Z была б распределена по нормальному закону, а судя по многоугольнику распределения, она близка к нему, то

Здесь - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице.