Вероятность случайного события

Вероятность случайного события.

Понятие вероятности начало формироваться в веках. Итальянский математик, монах Лука Пачоли был одним из первых, кто начал изучать математические закономерности, при бросании игральной кости. Анализируя азартные игры, Блез Паскаль и Пьер Ферма внесли свой вклад в теорию вероятностей. Дальнейшее развитие теории связано с именами Лапласа, Гаусса, Чебышева и многих других. Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то, или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?

Прежде чем говорить о вероятности случайного события, имеет смысл разобраться: что такое событие, какие бывают события, разобрать понятие случайного события, и только после этого говорить о вероятности случайного события.

События

(теоретическая часть).

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений, измерений и экспериментов. Обозначаются события буквами латинского или греческого алфавита Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может (вода в реке замерзла при температуре +25°С; при бросании игральной кости выпало 7 очков ). Обозначение невозможного события: V.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдет (после вторника наступит среда; при бросании игральной кости не выпадет дробное число). Обозначение достоверного события: Е.

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти (при телефонном звонке абонент оказался занят; при бросании игральной кости выпало 2 очка). Обозначение случайного события: А, В, С, …, χ, Ω…

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Теория вероятностей рассматривает только те случайные события, которые при неизменных условиях опыта могут быть повторены любое конечное и бесконечное число раз.

Событие

 

Невозможное Случайное

Достоверное

Рассматривая несколько событий, различают совместные и несовместные события.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными («наступило утро» и «выпал снег»). События называются несовместными, если наступление одного из событий исключает наступление другого («наступили утро» и «наступила ночь»).

Иногда нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое - то преимущество. Такие события называют равновозможными («появление орла» и «появление решки» при одном бросаниимонеты).

В остальных случаях события называют неравновозможными (падение бутерброда маслом вверх). Часто равновозможность событий удается установить из соображений симметрии.

События

Совместные Равновозможные

Несовместные Неравновозможные

Рассмотрим еще несколько понятий.

_

Событие А называется событием, противоположным событию А, и оно состоит в том, что событие А не наступило. _

Пример: А - выпало 2 очка; А- выпало не 2 очка, а 1,3…

События называются единственно-возможными (образуют полную группу), если в результате опыта одно из этих событий обязательно произойдет.

События называются элементарными, если они удовлетворяют следующим условиям: 1.Эти события попарно несовместны.

2. Эти события образуют полную группу.

3. Все события равновозможны.

Элементарные события, при наступлении которых наступает и событие А, называются благоприятствующими.

Практическая часть.

Для проверки усвоения материала можно провести устный опрос (фронтально) или математический диктант. Рассмотрим несколько вариантов.

Диктант № 1(невозможные, достоверные или случайные события).

Для каждого из событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

1.  Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 января.

2.  Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается с буквы Ь.

3.  Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

4.  Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля.

5.  Случайным образом открывается учебник литературы и находится первое слово на правой странице. Это слово начинается с буквы М.

И таких заданий можно найти или придумать множество. Например:

1. Из списка журнала 9 класса случайным образом выбран один ученик:

1.) Это мальчик.

2.) Выбранному ученику 14 лет.

3.) Выбранному ученику 14 месяцев.

4.) Этому ученику больше 2 лет.

2. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом:

1.) Вода в кастрюле закипела при 80°С.

2.) Когда температура упала до -5°С, вода в луже замерзла.

3. Бросают две игральные кости:

1.) На первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков.

2.) Сумма выпавших на двух костях очков равна 1.

3.) Сумма выпавших на двух костях очков равна 13.

4.) На обеих костях выпало по 3 очка.

5.) Сумма выпавших на двух костях очков меньше 15.

Диктант № 2 (совместные и несовместные события).

1.  В шахматной партии Катя проиграла, Коля выиграл.

2.  В шахматной партии Катя выиграла, Коля выиграл.

3.  На верхней грани брошенной игральной кости оказалось 5 и 6 очков.

4.  На верхней грани брошенной игральной кости оказалось 6 очков, четное число очков.

5.  Из полной колоды карт «вынута одна карта красной масти» и «вынут валет».

6.  Из полной колоды карт «вынут король» и «вынут туз».

Можно предложить учащимся самим попробовать из предложенных событий составить пары совместных и несовместных событий. Например:

1.  Идет дождь.

2.  На небе нет ни облачка.

3.  Наступило лето.

4.  Сегодня по расписанию 6 уроков.

5.  Сегодня первое января.

6.  Температура воздуха +20°С.

Можно при решении задач использовать иллюстрации.

Задача 1.

Из набора домино вынута одна костяшка, на ней:

1.  Одно число очков больше 3, другое число 5.

2.  Одно число не меньше 6, другое число не больше 6.

3.  Одно число 2, сумма обоих чисел равна 9.

4.  Оба числа больше 3, сумма чисел равна 7.

Задача 2.

Из полной колоды карт в 36 карт наугад вынимается одна карта. Являются ли равновозможными события:

1.  «Вынута карта красной масти» и « вынута карта черной масти».

2.  «Вынут король» и «вынута дама красной масти ».

3.  «Вынута карта бубновой масти» и «вынута карта червовой масти».

4.  «Вынута карта пиковой масти» и «вынута карта красной масти».

5.  «Вынута шестерка треф» и «вынута дама пик».

Вероятность случайного события (теоретическая часть).

Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даем оценку степени их достоверности ( например: шансы равны, один к одному, шансы 50 на 50). Как говорилось ранее, вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого - либо события задавался еще в 17 веке. Наблюдая за игрой в кости, Блез Паскаль высказал идею измерения степени уверенности в выигрыше (шансы выигрыша) некоторым числом. Когда игрок бросает игральную кость, он не знает, какое число очков выпадет, но он знает, что каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 имеет одинаковую долю успеха (равные шансы) в своем появлении.

Статистическое определение вероятности.

Пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас событие А. Обозначим буквой n общее число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А.

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний, т. е. m/n.

Результаты наблюдений и опытов показывают, что при большом числе некоторых испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, относительная частота принимает достаточно устойчивое значение. Это значение, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты, принимается за вероятность случайного события. Такое определение называют статистическим определением вероятности.

Недостаток: необходимость проведения испытаний.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Это классическое определение вероятности, которым мы и будем пользоваться.

Достоинство: нет необходимости в проведении испытаний.

Обозначим число благоприятных событий m, общее число исходов - n.

Вероятность события А обозначим Р(А) (читается: « Пэ от А » ) и тогда

Р(А)=m/n.

Свойства.

1.) При 0≤ m ≤n 0 ≤ Р(А)≤1.

Доказательство.

Разделим 0≤ m ≤n на n,

0≤ m/n ≤1.

2.) Если событие достоверное, то Р(Е)=1.

Доказательство.

При m=n Р(Е)= n/n=1.

3.) Если событие невозможное, то Р(V)=0.

Доказательство.

При m=0 Р(V)=0/n =0.

Практическая часть.

В задачах с практическим содержанием сложности появляются уже при составлении математической модели. Этим этапом решения задачи обусловлен ход последующих рассуждений. Рассмотрим задачи.

Задачи, встречающиеся в теоретическом материале.

1. Определите вероятность выпадения орла.

(1/2)

2. Найдите вероятность выпадения очков 1, 2, 3, 4, 5 или 6 при бросании кубика.

(1/6)

3. Какова вероятность выпадения на игральном кубике числа очков, кратного 3. (1/3)

4. Задача Даламбера (1717–1783): “Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки”.

(1/4)

5. Какова вероятность наступления события, состоящего в том, что при бросании игрального кубика выпадает менее 7 очков. (1)

6. Какова вероятность события, означающего, что при бросании игрального кубика выпадает 7 очков. (0)

7. Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? (6/25)

8. Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадает 7 очков, то выигрывает Игорь. Является ли такая игра справедливой? (Р(А)=5/36,Р(И)=6/36)

1; 1)

(2; 1)

(3; 1)

(4; 1)

(5; 1)

(6; 1)

(1; 2)

(2; 2)

(3; 2)

(4; 2)

(5; 2)

(6; 2)

(1; 3)

(2; 3)

(3; 3)

(4; 3)

(5; 3)

(6; 3)

(1; 4)

(2; 4)

(3; 4)

(4; 4)

(5; 4)

(6; 4)

(1; 5)

(2; 5)

(3; 5)

(4; 5)

(5; 5)

(6; 5)

(1; 6)

(2; 6)

(3; 6)

(4; 6)

(5; 6)

(6; 6)

9. Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?

(Р(А)=Сиз12по2/Сиз16по2=11/20)

10. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юношей и 2 девушки? (Р(А)=Сиз7по2*Сиз4по2/Сиз11по4=21/55)

Задачи практической части.

1. В партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 12 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей? (0,012)

2. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из шести букв. Найдите относительную частоту появления слов, которые составлены из шести букв.

3. Выберите 7 строк произвольного текста. Проведя подсчет букв, найдите относительную частоту появления букв:

а) о; б) е; в) а; г) ю.

4. Проделайте дома такой опыт: подбросьте 50 раз монету в 1 р. И подсчитайте, сколько раз выпадет орел. Запишите результаты в тетради. В классе подсчитайте, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла. Вычислите относительную частоту выпадения орла при бросании монеты.

5. На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого стрелка оказалась равной 0,8. сколько попаданий в цель можно ожидать от этого стрелка на соревнованиях, если каждый участник произведет по 20 выстрелов?

6. Многократная проверка показала, что всхожесть семян огурцов определенного сорта равна 0,9. посадили 85 семян этого сорта. Найдите ожидаемое число проросших семян.

7. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

8. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет:

а) 1 очко; б) более 3 очков?

9. Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

10. В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на последнем этаже?

11. Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков, кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число очков, кратное 6, то выигрывает Олег. Справедлива ли эта игра, и если нет, то у кого из мальчиков больше шансов выиграть?

12. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал верный номер?

13. Чтобы открыть сейф, надо набрать в определенной последовательности пять цифр (без их повторения): 1, 2, 3, 4 и 5. какова вероятность того, что если набирать цифры в произвольном порядке, то сейф откроется?

14. На четырех карточках написаны буквы о, т, к, р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой и положили их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «крот»?

15. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

16. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

17. Четыре билета на елку распредели по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

18. В коробке лежит 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 5 карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся красными, а 2- синими?

19. На полке стоит 12 книг, из которых 4- это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

Дополнительные задачи.

1. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

2. 10 человек случайным способом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что 2 лица оказались рядом.

3. В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что из 5 шаров, вынутых из урны, будет 3 белых и 2 черных?

4. Из 80 учащихся 10 отличников. Учащихся разбили на два класса по признаку, несвязанному с успеваемостью. Какова вероятность того, что отличников поровну в каждом классе?

5 Бросаются 3 игральные кости. Какова вероятность выпадения одной и той же цифры?

6. В лотерее 100 билетов. Из них 40 выигрышные. Какова вероятность того, что один из трех билетов окажется выигрышным?

7. Найти вероятность того, что среди 12 карт, вынутых из колоды в 36 карт, будет по три карты каждой масти.

8. 10 человек случайным образом садятся на десятиместную скамейку. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.