МБОУ Ордынского района Новосибирской области –
Верх-Ирменская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Демакова
Свойства параллелограмма:
известные и не очень…
учебный предмет - геометрия
Работу выполнила:
ученица 8 «а» класса
Данн Марина
Работу проверила:
учитель математики
Верх – Ирмень
2009
Оглавление:
1. Введение…………………………………3
2. Начнем с «Начал»……………………3-4
3.Частные виды параллелограмма…4-5
Свойства, известные и не очень…5-12 Вывод……………………………………12 Источники информации……………13
1) Введение
Как-то на уроке геометрии учитель предложил нам доказать свойство параллелограмма, которого в учебнике не было. Оно звучало так: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Мы рассмотрели несколько задач, которые с помощью этого свойства решились очень просто.
Учитель сказала, что таких свойств много и можно даже попробовать вывести их самим. И тогда я подумала, что это может быть интересно, ведь с помощью этих дополнительных свойств можно будет еще быстрее и легче решать задачи, которые иногда кажутся трудными.
И я занялась исследованием свойств параллелограмма.
Цель:
Узнать и вывести самой как можно больше дополнительных свойствах параллелограмма, которые не изучаются в школе.
Задачи:
Ø Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств
Ø Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу
Ø Спросить у знающих людей, знакомых, старшеклассников
Ø Попробовать вывести свойства самой
2) Начнем с «Начал»
Для начала я решила узнать, откуда появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.
Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».
3) Частные виды параллелограмма
Известны некоторые виды параллелограмма:
ü Прямоугольник;
ü Квадрат;
ü Ромб.
Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.
Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.
Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.
Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.
Схематически пересечение и объединение свойств этих фигур можно изобразить так:
4) Свойства, известные и не очень…
В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
· Противоположные углы и стороны равны
· Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Я предлагаю 10 дополнительных свойств:
Свойства:
· Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
• Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
• Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
• Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
• Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
• Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
• Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
· Противоположные стороны и углы параллелограмма равны.
· Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
· Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
· Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
· Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
· Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
· Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
· Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
|
· Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
· Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
5) Вывод:
Исследуя свойства параллелограмма, я увидела, что на уроках мы изучаем только очень малую часть айсберга под названием «геометрия», многое мы просто не успеваем рассмотреть. Однако то, что остается за рамками учебника очень полезно и интересно. В частности, исследуемые мною свойства. А применение этих свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее прийти к нужному результату. А на сколько важно уметь решать геометрические задачи, мы убеждаемся на каждом уроке, когда видим практическое приложение изучаемого материала. О важности математических, в частности геометрических знаний говорит тот факт, что была, в больших размерах, учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. До сих пор эту премию не получил ни один человек.
6) Источники информации:
• «Геометрия 7-9 кл»
«Просвещение» 2005г
• «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия»
Электронная энциклопедия 2007г
• «Новейший справочник школьника»
«ДОМ XXI век» 2008г
· « Ru. Wikpedia. org»
