Старинные задачи на прогрессии

Старинные задачи на прогрессии.

1. У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

РЕШЕНИЕ:

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего

74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19608.

С точки зрения геометрической прогрессии имеем:

b1 =7

q =7

n=5

S=

2. Эта задача из старинного учебника арифметики Магницкого.

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т. д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.

На сколько покупатель проторговался?

РЕШЕНИЕ:

в1=1∕4,

в2=1∕2,

в3=1.

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит, нужно найти S24.

q=в2∕в1=2, S=0,25 (224-1)=0,25 (1=475=42тыс рублей.

3. Эта задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

РЕШЕНИЕ:

в1=1, в2=2, в3=4

Sn=655, 35

q=2, Sn=2п-1=65535

2п=65536

n=16

4. Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: « Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».

«Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить –смешно вымолвить – всего одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего.

Находим выгодность сделки.

РЕШЕНИЕ:

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S30=230-1==руб23коп=11миллионов рублей.

Незнакомец заплатил богачу:

30∙100тыс =3000 тыс =3000000 рублей.

Убыток: 8000000 рублей.

5. 10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

РЕШЕНИЕ:

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6, 5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d. 2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

6. ( Из сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина. )

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

7. В некотором старинном селе информация распространяется следующим образом:.каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человек. Первоначально информацией владеют 2 человека. Всего на территории села проживает 2 730 чел. Через какое время каждый житель села будет информирован.

8. Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.

9. Легенда о шахматной доске.

Шахматы - одна из самых древних игр. Она была придумана в Индии. Изобретателя звали Сетой. Индусский царь Шерам познакомился с игрой и был восхищен ею. Узнав, что изобретатель – один из его поданных, хотел наградить за удачную выдумку.

И Сета попросил в награду следующее: за 1-ую клетку-1 пшеничное зерно, за 2-ую клетку - 2 пшеничных зерна и так за каждую клетку удваивая.

А царь на это ответил с раздражением: « Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию, но просьба не достойна моей щедрости».

А как вы думаете, помещается в мешок все зерно, который попросил Сета?

РЕШЕНИЕ:

в1=1,в2=2,в3=4, значит, q=2

S64=264-1=,т. к 264=

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»

РЕШЕНИЕ:

Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

10. По сообщению «Газеты чиновника» от 01.01.01 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ:

2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574