Законы сохранения

. Законы сохранения

При построении математической модели изучаемого объекта из всех характеризующих его связей выделяются наиболее существенные. Эти связи, как правило, записываются в виде уравнений, которые выражают фундаментальные законы естествознания. Сами объекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению - физические или биологические явления, технологические процессы, механизмы или конструкции. Остановимся на методологии построения математических моделей явлений и процессов, основанной на законах сохранения.

Пусть величина является количественной характеристикой некоторого свойства элемента исследуемой системы (массы, импульса, энергии и т. п.). Вообще говоря, - вектор с компонентами . Через вектор x с компонентами обозначим индивидуальные признаки элемента системы (например, координаты, фазовые переменные), а через t- независимую переменную, характеризующую время. Основные характеристики являются функциями времени и индивидуальных признаков, т. е. .

В точных науках (в физике, механике и астрономии) всегда существовала тенденция формулировки своих законов в форме

(1.1.1)

описывающей зависимость между свойствами элементов системы. При этом константа справа сохраняется вдоль траектории движения элемента в пространстве . Зависимости (1.1.1) называют законами сохранения.

Зависимости (1.1.1) справедливы при вполне определенных условиях. Например, закон Бойля - Мариотта:

( p – давление; V – объем данной массы газа) справедлив при постоянной температуре T; уравнение состояния Клапейрона:

( и R — соответственно плотность газа и газовая постоянная) справедливо для идеального разреженного газа; уравнение состояния Ван - дер - Ваальса:

(в котором — параметр Ван - дер - Вальса, учитывающий долю газового объема, приходящегося на собственный объем молекул; множитель а вычисляется по параметрам потенциала межмолекулярного взаимодействия или по параметрам критического состояния газа) оправдано, строго говоря, в области сравнительно высоких температур и умеренных давлений; постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий выполняется для консервативных (гамильтоновых) систем.

Стремление исследователей расширить область применения законов сохранения приводит к необходимости выяснения причин изменения соответствующих констант. Если такие причины, часто именуемые воздействиями, выявлены с нужной степенью точности, то это удается сделать.

Пусть для определенности рассматривается дискретная система, а - это количественные характеристики различных свойств элементов системы. Тогда для системы можно ввести признак

(1.1.2)

(вообще говоря, векторное свойство). В этом случае свойства и индивидуальные признаки связаны с элементами системы.

Если имеем дело со сплошной средой (континуумом), то вместо вводится плотность признака . Это позволяет вместо (1.1.2) воспользоваться интегральной характеристикой

(1.1.3)

здесь область задания вектора х индивидуальных признаков. В случае континуума его свойства и индивидуальные признаки связаны с физически бесконечно малым объемом среды (с жидкой частицей).

Если F – известное воздействие (векторное, вообще говоря), то в любом из указанных случаев (для дискретной системы и континуума) удается записать выражение

(1.1.4)

В случае континуума (1.1.4) или интеграл от него по времени часто
называют интегральной формой закона сохранение. Воздействие F всегда можно представить в форме

, (1.1.5)

где характеризует количественный рост признака Ф, а - его убыль. При этом данное воздействие может быть функцией параметров (для дискретной системы) или плотности (для континуума), дифференциальным оператором, функционалом. От этого зависит характер уравнения (1.1.4) (обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, уравнение и т. д.), а также степень его сложности.

Дальнейшее обобщение понятия закон сохранения заключается в том, что под ним подразумевается схема рассуждения, позволяющая установить связь между самими признаками или признаками и воздействиями, а не конкретный математический аппарат описания явления или процесса. Если же последовательность рассуждений удается записать в виде (1.1.4), то будем считать, что сформулирован закон сохранения (дана его математическая формулировка).