Комплексные числа

Комплексные числа

Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в – действительные числа, i2 = -1 (i называют мнимой единицей).

Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если z = а + вi и z1 = а1 + в1i два комплексных числа, то

z + z1 = (а + а1) + (в + в1)×i, z×z1 = (аа1 - вв1) + (ав1 + а1в)×i.

Эти операции обладают следующими свойствами.

1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.

2. z + z1 = z1 + z, z × z1 = z1× z для любых z и z1 (коммутативный закон сложения и умножения).

3. z + (z1 + z2) = (z + z1) + z2, z ×(z1 × z2) = (z × z1) × z2 для любых z, z1 и z2 (ассоциативный закон сложения и умножения).

4. z × (z1 + z2) = z ×z1 + z× z2 для любых z, z1 и z2 (дистрибутивный закон).

5. Если 0 = 0 + 0×i, то z + 0 = z для любого z.

6. Если -z = -а + (-в)i, то z + (-z) = 0, т. е. для любого комплексного числа существует противоположное число.

Число = а - вi называется сопряжённым для числа z, z + = 2а, z×= а2 + в2. Следовательно, если z ¹ 0, то z× ¹ 0.

7. Если 1 = 1 + 0×i, то 1×z = z.

8. Если z ¹ 0 и , то . Следовательно, для каждого отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.

Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются полями. Их общее обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – поле действительных чисел, С – поле комплексных чисел.

Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть

z = а + bi. Будем говорить, что точка с координатами (а, b) и вектор с этими же координатами изображают данное комплексное число. Длину вектора назовём модулем числа z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как а = пр(ОХ) и b = пр(ОУ), то а = r×cosj,

b = r×sinj, r2 = а2 + b2, tgj = . Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z, получим z = r (cosj + i×sinj). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко проверить, что z × z1 = r×r1(cos(j + j1) + sin(j + j1)); , если z1 ¹ 0. Отсюда zn = rn (cosnj + i×sinnj). Можно показать, что

, где к = 1, 2, … , n и - арифметическое значение корня из действительного числа r. Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Определители второго и третьего порядков

Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.

Пусть дана система (1)

Если обе части первого уравнения умножить на , а второго – на и уравнения почленно вычесть, то получим Аналогично, если первое уравнение умножить на и вычесть из него второе уравнение, умноженное на , то получим Если ¹ 0, то х = у = . Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных формул, имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа. Если числа, используемые для знаменателя, записать в виде матрицы , то знаменатели получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие определителя.

Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы , называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.

Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы ) называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы обозначается .

Обозначим D = , D1 = , D2 = . Используя определение 2, получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам х = , у = (2). Эти формулы называются формулами Крамера.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Умножим первое уравнение на , второе уравнение – на , третье уравнение – на и почленно сложим. Получим х× =

= . Легко заметить, что коэффициент при х и правая часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.

Пусть дана матрица А = .

Определение 3. Определителем матрицы А (определителем третьего порядка) называется число, равное D = (4).

Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то получим, что (5).

Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:

1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и столбцы равноправны..

2. D = .

Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед множителем равен . Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их самостоятельно).

3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.

4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам: х = , у = , (6),

где D1, D2, D3 получаются из определителя D заменой первого, второго, третьего столбца соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами Крамера.

Перестановки и подстановки

Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по столбцу). При этом легко проверяется, что все столбцы равноправны. Аналогично рекуррентным образом можно определить определитель n-го порядка (определитель квадратной матрицы n-го порядка), т. е.

=

= (7)

Но в этом случае уже не так просто, как для определителя третьего порядка, проверить, что разложения по остальным столбцам или строкам дают тот же самый результат. Поэтому чаще всего используют в качестве исходного другой подход к определению определителя n-го порядка. Но при этом используются в качестве вспомогательного материала перестановки и подстановки.

Пусть дан упорядоченный набор из n элементов. Элементы этого набора занумеруем числами 1, 2, 3, … , n. Очевидно, вместо того, чтобы говорить об элементах, можно говорить об их номерах.

Определение 5. Перестановкой из n чисел (или n символов) называется расположение этих чисел (или символов) в любом определённом порядке (без повторений).

Теорема 1. Число перестановок из n символов равно n!

Доказательство. Составляя перестановку, в качестве первого её элемента можно выбрать точно n символов. Если первый элемент выбран, то в качестве второго элемента можно выбрать любой из оставшихся (n – 1) символов. Следовательно, первые два места можно заполнить n×(n – 1 ) способами. Если два места в перестановке уже заполнены, то на третье место можно поставить любой из оставшихся (n – 2) символов. Следовательно, первые три места можно заполнить n×(n – 1)×(n – 2 ) способами. Продолжая этот процесс, получим, что все n мест в перестановке можно заполнить n×(n – 1)×(n – 2)×…×3×2×1 = n! способами.

Говорят, что числа к и р образуют в перестановке (…к…р…) инверсию, если к > р, но в перестановке к стоит раньше р. Перестановка называется чётной, если она содержит чётное число инверсий. Перестановка называется нечётной, если она содержит нечётное число инверсий.

Пример. 1) Перестановка (9, 7, 1, 3, 4, 8, 5, 2, 6) чётная. В ней число 9 образует инверсии со всеми стоящими за ней числами, их 8. Число 7 образует новые инверсии со всеми стоящими за ней числами, кроме числа 8, их 6. Число 1 не образует ни одной новой инверсии. Числа 3 и 4 образуют по одной новой инверсии с числом 2. Число 8 образует ещё инверсии с 5, 2 и 6, их 3. Число 5 образует инверсию с числом 2. Итак, получается 8 + 6 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20 инверсий.

2) Перестановка ( 2, 1, 3, 5, 4, 6, 9, 8, 7) нечётная. В ней инверсии образуют пары чисел 2 и 1, 5 и 4, 9 и 8, 9 и 7, 8 и 7. Получилось 5 инверсий.

Если в перестановке два символа поменять местами, а все остальные символы оставить на старых местах, то получим новую перестановку. Это преобразование перестановки называется транспозицией.

Теорема 2. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

Доказательство. Пусть в перестановке символы к и р меняются местами. При этом возможны два случая.

1) Символы к и р в данной перестановке стоят рядом, т. е. (…к, р …). После транспозиции получится перестановка (….р, к …). Если к и р составляли инверсию в данной перестановке, то после инверсии они уже не будут составлять инверсию и наоборот. Число инверсий, которые к и р составляли в данной перестановке с остальными символами, не изменится. Следовательно, число инверсий изменится на 1, т. е. чётность перестановки изменится.

2) Символы к и р в данной перестановке стоят не рядом, т. е. (….к,…,р…). После транспозиции получится перестановка (…р,…,к…). Число инверсий, которые к и р составляли в данной перестановке с символами, стоящими перед к и после р, не изменится. Если между к и р стоят m символов, то переставить к и р можно следующим образом: переставить к последовательно с каждым из этих m символов, затем переставить к и р, затем в обратном порядке переставить р с каждым из этих m символов. Получим 2m + 1 транспозиций соседних символов. По доказанному каждая из них меняет чётность перестановки. Итак, чётность перестановки изменилась.

Следствие. При n > 1 число чётных перестановок равно числе нечётных перестановок и равно 0,5×n!.

Определение 6. Подстановкой из n символов ( или подстановкой n-ой степени) называется любое взаимнооднозначное отображение множества этих символов на себя.

Элементы данного множества будем обозначать 1, 2, …, n. Подстановка А может быть записана так: если число к переходит в число aк, то А = . Если в записи подстановки А некоторые столбцы поменять местами, то получится то же самое отображение данного множества, т. е. та же подстановка. Например,

А = = .

Запись подстановки А = будем называть стандартной. Всякую подстановку можно записать в стандартном виде. Верхнюю и нижнюю строки подстановки можно рассматривать как перестановки. Подстановка А называется чётной, если её верхняя и нижняя строки есть перестановки одинаковой чётности, т. е. общее число инверсий в них – чётное. В противном случае А называется нечётной. Так как перестановка столбцов равносильна транспозиции как в верхней так и в нижней строке, то при перестановке столбцов чётность подстановки не изменится, поэтому чётность подстановки можно вычислять по её стандартному виду и в этом случае она совпадает с чётностью нижней строки.

Подстановка Е = называется тождественной или единичной.

Произведением двух подстановок одного и того же порядка называется результат последовательного выполнения тех отображений, которые задают эти подстановки. Например, если А = , В = , то

А×В = . Действительно, первая подстановка переводит 1 в 5, вторая переводит 5 в 4, следовательно, окончательно 1 перейдёт в 4. Аналогично, , , следовательно, ; , , следовательно, ; , , следовательно, ; , , следовательно, ; , , следовательно, .

Аналогично получаем, что В×А = . Отсюда следует, что умножение подстановок не подчиняется коммутативному закону. Но можно проверить, что (А×В)×С = А×(В×С) для любых подстановок А, В, С одного и того же порядка. Очевидно, А×Е = Е×А для любой подстановки А, если А и Е одного порядка. Для подстановок А = и В = очевидно А×В = В×А = Е. Следовательно, А-1 = В, т. е. каждая подстановка имеет обратную.