Тела вращения

Тела вращения.

Введение.

Конус вписан в сферу, если его вершина и окружность основания лежат на сфере. Доказать, что около конуса можно описать сферу. Доказать, что конус можно описать около сферы. Боковая поверхность конуса с образующей развернута в сектор с углом Найти объем конуса. Высота конуса равна плоские углы при вершине правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус равны Найти объем конуса. Пусть – радиусы оснований усеченного конуса с образующей Как найти высоту конуса? В конусе радиусом и высотой провели два сечения с площадями и Как найти расстояние между сечениями? В шар радиуса вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол Найти объем конуса. Найти объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которого равна а двугранный угол при основании равен Около конуса описана сфера: - радиус основания, - диаметр сферы, - высота конуса, - длина образующей. Найти зависимость между этими величинами. В конусе радиусом и высотой проведено сечение, параллельное основанию на расстоянии от основания. Как площадь сечения?

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение полной поверхности конуса и шара.

В конус вписан шар, площадь которого равна площади основания конуса. Найдите угол при вершине в осевом сечении конуса. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу основания. Найдите отношение подученных частей конуса. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите отношение площади основания к площади боковой поверхности. Площадь боковой повер3хности прямого кругового конуса равна а расстояние от центра основания до образующей равна найдите объем конуса. Радиус основания конуса равен а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен Найдите объем конуса. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен Через вершину конуса под углом к его оси проведена плоскость. найдите угол между образующими конуса, по которым эта плоскость пересекает конус. В тетраэдре ребро равно высота служит диаметром шара. Найти длину линии пересечения шара и тетраэдра. Шар касается основания правильной треугольной пирамиды в центре основания. Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и середины двух сторон основания касается данного шара. Найти радиус шара, если высота пирамиды равна а сторона основания - Шар касается плоскости. Эта фигура проектируется на плоскость, проходящую через радиус шара, проведенный в точку касаения. Как выглядит эта проекция? На плоскости лежат два шара радиусов имеющие общуу точку. На каком расстоянии от плоскости находится эта точка? Найти расстояние между точками касания. Найти минимальный радиус шара, касающийся данной плоскости и шаров. Муравей ползет по сфере. Сначала он полз по меридиану, затем по параллели направо, затем по меридиану вверх. Длина каждого участка пути одинакова. Может ли он оказаться там, где был с самого начала? В цилиндре высота равна диаметру. Под углом к плоскости основания проведена прямая, соединяющая точку окружности нижнего основания с точкой окружности верхнего основания. Найти расстояние между этой прямой и осью цилиндра, если радиус основания равен Высота цилиндра равна высоте конуса. Площадь боковой поверхности цилиндра относится к плоскости боковой поверхности конуса как 3: 2. Угол между образующей конуса и основанием равен Найти отношение объема цилиндра к объему конуса. Через точку лежащую на окружности основания цилиндра проведены образующая и наклонная, пересекающая окружность второго основания в точке Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости, проходящей через наклонную и образующую если, радиус цилиндра равен а высота равна Высота конуса в раза больше радиуса шара, вписанного в этот конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая конуса равна Площадь боковой поверхности конуса равна а объем равен Найдите площадь основания цилиндра. В цилиндре высотой и радиусом проведено сечение, параллельное оси и отсекающее от окружности основания дугу в Определите площадь сечения. Высота цилиндра равна а радиус основания - Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на расстояние Радиус основания конуса с вершиной в точке и центром основания равен а высота конуса равна Через точку лежащую на высоте проведено сечение конуса плоскостью, перпендикулярной высоте. Найдите площадь сечения и длину отрезка В конусе длина образующей в раза больше его высоты и равна найдите площадь осевого сечения конуса. Три образующие конуса попарно перпендикулярны и равны Найдите объем конуса и угол в развертке конуса. Разверстка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна и составляет угол с основанием. Найдите объем цилиндра. В цилиндре точки и лежащие на окружностях нижнего и верхнего оснований, соединены отрезком, проходящим через середину оси цилиндра Найдите объем цилиндра, если длина отрезка равна и он наклонен к плоскости основания под углом В двугранный угол вписан шар радиуса Найдите радиус шара, вписанного в тот же угол и касающегося данного шара, если известно, что прямая, проходящая через центры шаров образует угол с ребром двугранного угла. Два шара касаются плоскости в точках и и расположены по разные стороны от плоскости. Расстояние между центрами шаров равно Третий шар касается этих шаров, его центр лежит на плоскости. Найдите радиус третьего шара, если известно, что Основание правильной призмы – квадрат со стороной высота равна Найдите радиус описанного шара. Около шара описана правильная треугольная призма, а около нее шар. Найдите отношение площадей поверхностей этих шаров. Около шара радиуса описана правильная шестиугольная призма. Найдите площадь ее поверхности. В куб с ребром вписан шар. Определите радиус шара, касающегося трех граней куба и первого шара. В полусферу вписан куб так. что четыре его вершины лежат на основании полусферы, а 4 на ее поверхности. Найдите объем куба. Дан куб с ребром В угол вписан шар радиуса Найдите радиус шара, вписанного в угол и касающегося данного шара. Дан куб с ребром середины и Найдите радиус шара, проходящего через точки В сферу радиуса вписан цилиндр, имеющий наибольшее значение площади боковой поверхности из всех вписанных цилиндров. Найдите площадь этой боковой поверхности и отношение радиуса цилиндра к высоте Около сферы радиуса описан прямой круговой конус, имеющий наименьший объем из всех описанных конусов. Найдите этот наименьший объем и отношение высоты к радиусу в таком конусе. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной высота проходит через середину одной из сторон основания и равна найдите радиус описанного шара. В шар радиуса вписан правильный тетраэдр. Найдите объем тетраэдра. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной одно из боковых ребе6р перпендикулярно основанию и равно Найдите радиус описанного шара. Ребро правильного тетраэдра равно найдите радиус шара, касающегося боковых ребер в вершинах основания. Ребро правильного тетраэдра равно Найдите радиус шара, касающегося боковых граней в точках, лежащих на сторонах основания. Ребро правильного тетраэдра равно Найдите радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра. Ребро правильного тетраэдра равно Найдите радиус шара, который вписан в трехгранный угол с вершиной и касается плоскости, проходящей через середины Внутри правильного тетраэдра с ребром расположены 4 одинаковых шара так, что каждый касается трех других и трех граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров. В треугольной пирамиде грань перпендикулярна грани а угол при вершине треугольника прямой. Шар касается плоскости основания в точке а грани в точке Найдите радиус шара. Найдите радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом В основании пирамиды лежит квадрат со стороной Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и равна Найдите радиус описанного шара. Основание пирамиды квадрат со стороной боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и вдвое больше ребра основания. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды. Основание пирамиды – треугольник Боковая грань перпендикулярна плоскости основания, Найдите радиус шара, описанного около пирамиды. Около шара объема описана правильная треугольная пирамиды. определите возможный наименьший объем такой пирамиды.

Вернер-Рыжик

2.14 В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Найти косинус двугранного угла при основании.

2.113 Доказать, что можно описать сферу около правильной призмы, прямоугольного параллелепипеда.

2.114 Доказать, что в прямую призму можно вписать сферу, если ее высота равна диаметру окружности, вписанной в ее основание.

2.150 Доказать, что около конуса можно описать сферу.

2.157 Пусть – радиусы оснований усеченного конуса, – его образующая. Найти высоту конуса.

2.178 В конусе высота равна диаметру основания. Через некоторую образующую конуса проведена плоскость, касательная к боковой поверхности конуса, и в этой плоскости через вершину конуса проведена прямая под углом к образующей. Найти угол между этой прямой и плоскостью основания.

2.230 В тетраэдре, ребро которого равно высота служит диаметром шара. Найти длину пересечения поверхности тетраэдра и шара.

2.232 В тетраэдре двугранные углы при ребрах прямые, а Вершина конуса совпадает с одной из вершин тетраэдра, окружность основания конуса вписана в одну из граней. Найти угол в осевом сечении конуса.

2.246 Центр сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, находится на расстоянии от боковой грани и на расстоянии от бокового ребра. Найти радиус сферы.

2.248 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а высота пирамиды равна Сфера, вписанная в пирамиду, касается боковой грани в точке Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и ребро

4.78 В прямой круговой конус вписан шар. Радиус круга касания поверхности шара и боковой поверхности конуса равен Прямая, соединяющая центр шара с произвольной точкой окружности основания конуса составляет с высотой конуса острый угол Найти объем конуса.

4.79 Найти объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которого равна а двугранный угол при основании равен

4.80 Высота конуса равна Плоские углы при вершине правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус, равны Определить объем конуса.

-

4.81 Внутри правильного тетраэдра расположен конус так, что его вершина является серединой ребра а основание вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра параллельно ребрам Вычислите длину ребра тетраэдра, если объем конуса равен