Лабораторная работа N4
ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
1 Цель работы
Практическая проверка первого и второго правил Кирхгофа.
2 Теория вопроса
Упорядоченный перенос электрических зарядов называется электрическим током. Величина электрического тока, проходящего через данную поверхность S, называется силой тока i или просто током и определяется как количество электричества, переносимое через площадь S в единицу времени, т. е.
i = dq/dt (А
За направление электрического тока условно принимается направление перемещения положительных зарядов.
За единицу силы тока в системе СИ принят 1 ампер (А):
1А = 1Кл/1с.
Электрический ток можно также характеризовать плотностью тока. Плотность тока — векторная физическая величина, измеряемая количеством электричества, протекающим за единицу времени через единицу площади, ориентированной перпендикулярно току:
j = di/ds (A/м2
Направление вектора плотности тока совпадает с направлением движения положительных зарядов. Различают электрический ток проводимости, связанный с движением электрических зарядов относительно тела, и конвекционный ток — движение макроскопического заряженного тела как целого. Электрический ток проводимости, в свою очередь, в зависимости от физической природы электрических зарядов делят на три типа:
1) электронный,
2) ионный,
3) смешанный (когда принимают участие в токе как электроны, так и ионы).
В настоящей работе будет исследоваться только электронный ток проводимости — электрический ток в металлических проводниках. При возникновении электрического тока в металлических проводниках основную роль играет их электропроводность. Электропроводность проводника характеризует упорядоченный перенос свободных электронов металла под действием внешнего электрического поля. В изотропном проводнике, когда приложеная к нему разность потенциалов U создает однородное электрическое поле,
Е = U/L
(L - расстояние между точками приложения U), электрический ток i и плотность тока j совпадают по направлению с электрическим полем Е.
Зависимость j = f(E), различная для разных веществ и характерная для каждого данного вещества, называется вольт-амперной характеристикой данного вещества (рис.4.1).
Величина s = tgb = dj / dE (Ом-1× м
называется удельной дифференциальной электропроводностью (или просто электропроводностью) проводника. Обратная ей физическая величина r = 1/s (Ом× м) (4.4)
называется удельным дифференциальным электрическим сопротивлением или просто удельным сопротивлением.
Вообще говоря, электропроводность проводников зависит от электрического поля Е и в большинстве случаев dj / dE > 0 (см. рис. 4.1). Но в случае металлического проводника и относительно малых плотностей тока, его вольтамперная характеристика изображается прямой линией (см. рис. 4.1, прямая 2), т. е. в этом случае электропроводность не зависит от электрического поля Е.
Рис.4.1
Металлические проводники, обладающие такой вольт-амперной характеристикой, подчиняются закону Ома (дифференциальная форма):
j = s E . (4.5)
Для проводников, подчиняющихся закону Ома, электропроводность может быть определена как:
s = tg b = j / E (4.6)
т. е. формулы (4.3) и (4.6) можно рассматривать как совпадающие. Плотность тока j связана с зарядом e носителей тока и полем Е соотношением:
j = n e B E , (4.7)
где n — концентрация носителей тока (в металлах свободных электронов); b — подвижность, численно равная средней скорости дрейфа (упорядоченного движения) заряженных частиц, параллельная (q>0) и антипараллельная (q<0) направлению электрического поля, при Е=1В/м.
Сравнивая формулы (4.7) и (4.5), получим соотношение, где электропроводность связана с концентрацией и подвижностью носителей тока, т. е.
s = n e b (Ом× м). (4.8)
В электростатике доказывается теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля, которая может быть записана в форме:
Физический смысл этой теоремы состоит в том, что при перемещении электрического заряда по любому замкнутому контуру в электростатическом поле работа сил этого поля равна нулю.
Из этой теоремы вытекает следствие, что в замкнутой электрической цепи одни электростатические силы не могут поддерживать электрический ток, так как прохождение тока связано с выделением в проводниках джоулевой теплоты.
Для длительного поддержания тока необходим внешний по отношению к электрической цепи источник, забирающий энергию извне и превращающий ее в энергию упорядоченного движения зарядов. Этот источник должен порождать добавочное электрическое поле Е неэлектростатической природы, работа сил которого по замкнутому контуру не равна нулю, т. е.
Величина e называется электродвижущей силой (эдс) и, как следует из (4.10), равна работе электростатических сил, производимой над одним единичным зарядом при перемещении его по замкнутой электрической цепи. Электродвижущая сила, как и разность потенциалов, измеряется в вольтах (В). Источниками электрической энергии неэлектростатической природы, которые кратко называются источниками эдс или источниками тока, могут быть гальванические элементы, аккумуляторы, динамомашины, фотоэлементы, термобатареи и др.
На рис. 4.2 изображена электрическая цепь, содержащая источник тока с эдс= e (гальванический элемент) с внутренним сопротивлением R0, омическое сопротивление R, ключ К, вольтметр V, включенный параллельно источнику тока и амперметру А. Известно, что вольтметр измеряет только разность потенциалов (j2 — j1); а амперметр — ток I. В том случае, когда ключ К замкнут и в цепи течет ток I, измеренная вольтметром разность потенциалов называется падением напряжения U в цепи, которое, как показывает опыт, выражается:
U = I R = e - I R0 . (4.11)
Таким образом, величина падения напряжения в цепи тока равна величине тока, умноженной на величину сопротивления цепи, или оно равно действующей в цепи эдс без падения напряжения в источнике тока.
Если ключ К разомкнуть, т. е. ток в цепи будет отсутствовать, то измеренная вольтметром разность потенциалов (j2`— j1`) будет равна эдс, т. е.
e = (j2`- j1`) . (4.12)
Сделав в (4.11) простые преобразования, получим:
1)закон Ома в интегральной форме для участка цепи:
I = U / R ; (4.13)
2)закон Ома для замкнутой полной цепи в интегральной форме:
I = e /(R + R) . (4.14)
Рис.4.2
Закон Ома для полной цепи позволяет рассчитывать любую простую цепь, однако непосредственный расчет разветвленной цепи (см., например, рис.4.3) представляется сложным.
Рассмотрим элементы разветвленной цепи (см. рис.4.3). Узлом в разветвленной цепи называется точка, где сходится более двух проводов (точки 1,2,3,4).
Контуром в разветвленной цепи называется замкнутый участок такой цепи (например, контуры 1-2-3-1 , 1-В-4-3-1 и т. д.). Ветвью называется участок цепи между соседними узлами (например, 3 4, две ветви 1 2 и т. д.).
При расчете разветвленных цепей удобно пользоваться правилами, установленными Кирхгофом.
Первое правило Кирхгофа
Алгебраическая сумма величины токов, сходящихся в узле, равна нулю, если считать подходящие к узлу токи положительными и отходящие — отрицательными:
Это правило является выражением условия стационарности тока в цепи и вытекает из того, что в случае установившегося постоянного тока ни на одном участке не должны накапливаться электрические заряды.
Второе правило Кирхгофа
В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений токов Iк на сопротивления Rк соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, действующих в этом контуре:
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи, но применяется к простому контуру,
выделенному из всей цепи.
Рис.4.3
Так как произведение тока на сопротивление участка Iк Rк равно напряжению Uк, приложенному на этом участке, то второе правило Кирхгофа можно выразить еще и так:
в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках контура равна алгебраической сумме эдс, включенных в этот контур:
Для правильного применения этих правил необходимо иметь в виду следующее: если замкнутый контур обходят по часовой стрелке, то все токи, совпадающие с направлением обхода, берут со знаком плюс, а не совпадающие — со знаком минус.
ЭДС источников, находящихся в рассматриваемом контуре, берутся со знаком плюс, если при выбранном обходе контура осуществляется переход внутри источника от отрицательного полюcа к положительному. В противном случае ЭДС берется со знаком минус.
Если известны сопротивления и ЭДС, включенные в разветвленную цепь, то правила Кирхгофа позволяют составить систему алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных токов в ветвях и найти все эти токи, решая систему. При составлении уравнений следует избегать записывать уравнения для контуров, все элементы которых были учтены. Например, если составлены уравнения для контуров 3 и 4, то уже не следует составлять уравнение для контура 1ВС231 (см. рис.4.3).
Общие соображения, которыми следует руководствоваться при составлении уравнений, таковы. Если сложная цепь состоит из n ветвей (в нашем случае n = 7), которые образуют m узлов (в нашем случае m = 4), то нужно составить (m - 1) уравнений, использующих первое правило Кирхгофа [в нашем случае (m - 1)=3] и (n - m + 1) уравнений, использующих второе правило Кирхгофа [в нашем случае n-(m+1)=4]. Для независимости последних уравнений необходимо, чтобы в них входила по крайней мере один раз каждая ветвь.
Поскольку направления токов в процессе составления неизвестны, то следует произвольно расставить стрелки, указывающие направления этих токов. Однако надо проследить за тем, чтобы для каждого узла обязательно имелись как подходящие к нему, так и отходящие от него токи. Если после решения уравнений значение какого - либо из токов получается отрицательным, это значит, что предположительное направление тока указано неверно. На самом деле ток здесь течет в противоположном направлении.
Целью работы является проверка справедливости обоих правил Кирхгофа на конкретной электрической цепи.
3. Описание аппаратуры и метода измерений.
Для проверки правил Кирхгофа составляется сложная электрическая цепь, изображенная на рис. 4.3, где введены следующие обозначения:
e1 и e2 — источники питания,
R1, RR7, — сопротивления участков цепи,
R01, R02 — внутренние сопротивления источников питания,
1,2,3,4 — номера узлов разветвлений,
I, II, III, IV — номера контуров.
Величины сопротивления даны на панели. Падение напряжения на участках цепи измеряется вольтметром. Вольтметр должен иметь большое сопротивление с тем, чтобы это подключение к участкам цепи практически не изменяло распределение токов в цепях.
До начала измерений необходимо подготовить вольтметр к работе. Для этого необходимо:
1)подсоединить к гнездам два щупа;
2)включить в сеть 220 В;
3)дать прибору прогреться 2—3 минуты.
4. Порядок выполнения работы.
1.Присоединить источник питания к схеме (согласно рис.4.3), смонтированной на панели.
2.Измерить вольтметром напряжения, действующие на всех сопротивлениях, определяя при этом направления тока в них. Результаты измерений занести в таблицы измерений, а направление токов указать на схеме, начерченной в отчете (направление определяется с "+" на "-").
3.Измерить ЭДС аккумуляторов (перед этим отключить тумблер на схеме и сделать замеры на клеммах).
5. Обработка результатов измерений.
1. Из значений напряжений, действующих на сопротивлениях, и величин самих сопротивлений по закону Ома для участка цепи определяют величины токов (I1,I2 ,....I7) в каждом участке цепи и результаты занести в табл. 1 и 2.
2. Зная направление токов и их величины, проверяют справедливость (4.15) для различных узлов. Например, для узла 1 нашей цепи, при условно поставленных направлениях токов в контуре, должно быть:
I1 — I2 — I3 — I5 = 0 (табл.3)
3.Далее проверяют справедливость формулы (4.7), для контура ДА12Д должно быть получено:
I1R1 + I2R2 + I1R01 = e1 (табл.4)
4.Из расчетов этого контура и контура 1В431 получить значения R01 и R02. Проверку провести для контуров 1321; 234С2; ABCDA и 234С2.
5.Таблицы измерений.
Таблица 4.1.
Результаты измерений напряжения Ui, определения сил токов Ii на участках цепи и расчет ошибок их определения.
Обозначения участков | Сопротивление участка | Верхний предел используемой шкалы Uн, В | Ui,В | Ii , мА | Максимальные абсолютные ошибки | |
DUi,B | DIi,мА | |||||
R1 ... R7 |
Таблица 4.2.
Параметры источников тока, результаты однократных измерений
и расчетов
Номер источника тока | ЭДС eк , В | Падение напряжения на внутренних сопротивлениях IiRок , В | Максимальные абсолютные ошибки | |
Deк, В | DIiRок ,В | |||
Таблица 4.3.
Проверка выполнения первого правила Кирхгофа
Обозначение узла | Уравнение первого правила Кирхгофа | Экспериментальное значение алгебраической суммы сил токов в узле
| Максимальная ошибка определения силы тока в узле
|
Таблица 4.4.
Проверка выполнения второго правила Кирхгофа
Обозначение контура | Уравнение второго правила Кирхгофа | Отклонение алгебраической суммы
от значений eк ,В | Максимальная ошибка определения напряжения и ЭДС в контуре
|
6. Вычислить абсолютную погрешность в измерении:
а) для напряжения DU=gUн / 100 ,
где g — класс точности прибора, Uн — номинальное значение шкалы прибора;
б) для тока e=
; DI=Ie; DR=1Ом.
7. Сравнить результаты, полученные в пп.5 и 6 с расчетными абсолютными погрешностями и написать вывод.
9. При работе с мультиметром ВР-11А основная погрешность измерения определяется DU=(0,5Ux +4)×10-2 В, где Ux — показания прибора.
6. Контрольные вопросы
1.Что называется электрическим током?
2.Какими единицами измеряется сила тока и плотность тока?
3.Чем отличается ток проводимости от тока конвекционного?
4.На какие виды можно разделить ток проводимости?
5.Что такое электропроводность проводника?
6.Что такое удельная дифференциальная электропроводность проводника и как она связана с его вольт-амперной характеристикой?
7.Что такое удельное сопротивление проводника и каковы единицы измерения его?
8.Для каких проводников и при каких условиях применим закон Ома (дифференциальная форма)?
9.Какое соотношение связывает величину плотности тока с величиной заряда носителей тока и величиной электрического поля?
10.Что такое подвижность носителей тока?
11.Какое соотношение связывает величину удельной электропроводности с величиной заряда носителей тока и их подвижностью?
12. Какой физический смысл содержится в теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля?
13. Почему в замкнутой цепи электрические силы не могут длительно поддерживать электрический ток?
14. Что такое ЭДС и как количественно она определяется?
15. Какими единицами измеряется ЭДС?
16. Что называется источником ЭДС или источником тока?
17. В каком случае вольтметр измеряет ЭДС, а в каком — падение напряжения во внешней цепи?
18. Напишите формулу, связывающую ЭДС с падением напряжения в цепи.
19. Напишите закон Ома для участка цепи в интегральной форме.
20. Напишите закон Ома для замкнутой цепи в интегральной форме.
21. Что называется узлом в разветвленной цепи?
22. Что называется контуром в разветвленной цепи?
23. Что называется цепью в разветвленной цепи?
24. Сформулируйте и запишите в виде формулы первое правило Кирхгофа.
25. Сформулируйте и запишите в виде формулы второе правило Кирхгофа.
26. Сколько уравнений нужно составить для правильного применения правил Кирхгофа к разветвленным цепям, если ветвей в цепи n, а узлов m?
27. Почему для измерения падения напряжения следует использовать вольтметр очень большого сопротивления?
Литература: [1], [2], [3].
