Индивидуальный выбор

Индивидуальный выбор

Экономисты моделируют поведение человека как выбор некоторой альтернативы из множества доступных ему альтернатив (назовём это множество ). Примеры того, как может выглядеть множество :

1) 

2) 

3)  множество пар , таких что . Интерпретация: человек может купить литров сока и литров компота, при том что литр сока стоит 2 рубля, литр компота — 4 рубля, а всего он может потратить не больше 12 рублей.

Человек в экономической модели из множества доступных ему альтернатив выбирает лучшую с его точки зрения. Если мы как-нибудь кратко запишем, в чём заключаются его предпочтения (что для него лучше, а что хуже), то сможем самостоятельно предсказывать, как он поведёт себя в той или иной ситуации. Пример: если человек совсем не любит компот, а сока — чем он больше выпьет, тем ему лучше, то в примере 3 выше он выберет (убедитесь в этом самостоятельными вычислениями). В большинстве случаев предпочтения человека на множестве альтернатив задают с помощью функции: такой, что чем больше её значение, тем лучше этому человеку (она называется функцией полезности, или целевой функцией — смысл названия в том, что целью данного человека является максимизация этой функции). Пример функции полезности: .

Если мы захотим предсказать, как будет вести себя человек, если что-то вокруг него изменится, то мы поймём, как будет выглядеть новое множество доступных альтернатив (с учётом произошедших изменений) и найдём оптимальную уже среди точек нового множества.

1.  Сок стоит 2 рубля за литр, компот стоит 4 рубля за литр, у потребителя есть 12 рублей; других товаров не продаётся.

1)  Опишите множество доступных потребителю альтернатив, то есть пар , где — количество потреблённого сока (в литрах), — количество потреблённого компота (в литрах); изобразите это множество на графике в координатах .

2)  Предположим, что предпочтения потребителя таковы, что он совсем равнодушен к компоту, а сока — чем он больше выпьет, тем ему лучше. Какие из следующих функций полезности задают именно такие предпочтения:

a. 

b. 

c. 

d. 

e. 

f. 

g. 

3)  Пусть . Сколько сока и компота купит потребитель?

4)  Запишите и покажите на рисунке, какой вид примет множество доступных альтернатив в каждом из следующих случаев:

a.  Цена сока вырастет до 4 руб. за литр.

b.  Количество имеющихся у потребителя денег («доход») вырастет в раз.

c.  В раз вырастут доход и цены на каждый из товаров.

d.  Введено ограничение: нельзя потреблять больше 2 литров сока.

e.  Введена оптовая скидка: если Вы уже купили 4 литра сока, то дальнейшие закупки сока Вы сможете осуществлять по цене 1 руб. за литр.

2.  Малыш и Карлсон покупают только чай и варенье. Дневной доход каждого из них составляет 4 рубля. Вчера чай стоил 1 руб./литр, а варенье — 1 руб./кг; каждый выбрал лучшую для себя комбинацию чая и варенья: Малыш купил 3 литра чая и 1 кг варенья; Карлсон купил 1 литр чая и 3 кг варенья. Сегодня чай стал в два раза дешевле, а варенье — в два раза дороже. Может ли Малышу стать лучше в результате этих изменений? А хуже? Может ли Карлсону стать лучше в результате этих изменений? А хуже?

3.  Предприниматель может выпускать два продукта — иксы и игреки. В его распоряжении имеются 10 часов, которые он может распределить между производством иксов и игреков в любых пропорциях; его цель — заработать за эти 10 часов как можно больше денег. Иксы он может продавать по цене 1 руб. за единицу, а игреки — по цене 2 руб. за единицу. Если он потратит часов на производство иксов, то произвёдёт их в количестве . Если он потратит часов на производство игреков, то произведёт их в количестве .

1)  Опишите и изобразите графически множество доступных ему пар , где — количество произведённых иксов, — количество произведённых игреков.

2)  Изобразите множество всех пар , которые приносят ему такую же выручку, как и пара .

3)  Сколько иксов и сколько игреков будет производить предприниматель, чтобы максимизировать выручку? Решите графически.

4)  Покажите графически, как будет изменяться оптимальный выбор предпринимателя, если цена иксов будет плавно изменяться (расти либо снижаться).

5)  Ответьте на аналогичные вопросы 1), 3), 4) для случая, когда производственные функции (т. е. зависимости между затратами труда и объёмами выпуска) для иксов и игреков имеют вид: , .

6)  Ответьте на аналогичные вопросы 1), 3), 4) для случая, когда производственные функции имеют вид: , .

4.  Спрос на продукцию монополиста задаётся некоторой нестрого убывающей функцией ; издержки производства задаются некоторой нестрого возрастающей функцией . Когда требуется определить, какие и выберет монополист, максимизирующий прибыль, обычно рассматриваются только точки на кривой спроса и самая лучшая среди них (в смысле прибыли) объявляется решением задачи монополиста. Однако ведь монополисту доступны и точки слева от кривой спроса: никто не мешает ему установить цену , но продать меньше, чем (соответственно, и производить тогда пришлось бы меньше, что снизит величину общих издержек). Может ли получиться так, что одна из этих точек даст прибыль большую, чем лучшая среди точек на кривой спроса?

--

5.  Лесник собирает ягоды со скоростью 2 литра в час, а грибы — со скоростью 4 литра в час. Всего в его распоряжении 5 часов. Он может съесть только те ягоды и грибы, которые собрал. Изобразите на рисунке множество доступных ему пар , где — количество съеденных ягод (в литрах), — количество съеденных грибов (в литрах).

Если по осям отложены переменные, такие что при прочих равных условиях чем больше значение этой переменной, тем лучше (например, для лесника такими переменными могут быть количество грибов и ягод), то из всего множества доступных альтернатив (другие названия: «множество производственных возможностей», «область производственных возможностей») мы можем ограничиться рассмотрением только его «северо-восточной границы», то есть таких его точек, из которых не получится сдвинуться право или вверх, всё ещё оставаясь в пределах этого множества. Ведь любая другая точка точно не будет оптимальной для лесника: например, точка, из которой можно сдвинуться, увеличив количество грибов и не уменьшив количество ягод, не будет оптимальной. Такое перемещение из одной точки допустимого множества в другую, при котором количество всех благ не уменьшается, а хотя бы одного увеличивается, называется Парето-улучшением. Точки, для которых не существует Парето-улучшения, называются Парето-эффективными. Множество Парето-эффективных точек области производственных возможностей — это и есть та «северо-восточная граница»; другое название — кривая производственных возможностей, КПВ.

6.  У фермера есть два поля, на которых он может выращивать иксы и игреки. КПВ первого поля задаётся формулой , КПВ второго поля — формулой . Найдите область производственных возможностей фермера и изобразите её в координатах , где — количество иксов, произведённое в сумме на первом и втором полях; — количество игреков, произведённое в сумме на первом и втором полях.

7.  Коньяк и клюквенный морс (http://*****/zadachi/z36)

В питейном заведении Хромого Хью по секретной технологии изготавливаются два вида популярных коктейлей: «Кровавый Джон» и «Кровавый Джон Light». Для приготовления одной порции «Кровавого Джона» необходимы две унции коньяка и одна унция клюквенного морса, порция «Кровавого Джона Light» готовится из одной унции коньяка и двух унций клюквенного морса. Для закупки ингредиентов Хромой Хью располагает бюджетом в 180 талеров. Цена одной унции коньяка составляет 4 талера, морс стоит 1 талер за унцию.

Выведите уравнение КПВ фирмы в координатах «Кровавый Джон Light» — «Кровавый Джон». Пусть спрос на «Кровавого Джона» задается уравнением , а спрос на «Кровавого Джона Light» — уравнением . Какие цены на коктейли следует установить Хью, если все издержки — это оплата ингредиентов?

8.  Робинзон Крузо умеет добывать кокосы и крокодилов. Его КПВ описывается формулой , где — количество кокосов (в килограммах), — количество крокодилов (в килограммах). Робинзон питается исключительно крококосовой кашей. Чтобы изготовить килограмм каши, требуется израсходовать килограмм кокосов и килограмм крокодилов. Чем больше каши съест Робинзон, тем ему лучше. На мировом рынке кокосы можно продавать и покупать по 0,4 руб./кг, а крокодилов — по 1 руб./кг.

1)  Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон, если бы у него не было доступа к мировому рынку? Сколько килограммов каши он бы при этом съедал?

2)  Сколько кокосов и крокодилов добывает Робинзон, если у него есть доступ к мировому рынку? Сколько килограммов каши он при этом съедает?

3)  Покажите графически (в координатах ), как будет изменяться производство и потребление Робинзона, если цена кокосов будет плавно изменяться (расти либо снижаться). Верно ли, что чем выше цена кокосов (при неизменной цене крокодилов), тем лучше Робинзону?

4)  Придумайте функцию полезности вида , которая бы отражала описанные выше предпочтения Робинзона.

5)  Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон при наличии доступа к мировому рынку с ценами 0,4 руб./кг и 1 руб./кг, если бы его предпочтения описывались функцией ? А если ?