Лекция 6

ЛЕКЦИЯ 6

Универсальность математических моделей

Одни и те же математические модели могут описывать самые различные процессы. Рассмотрим это вначале на примере уравнения колебаний.

1-й пример –шарик на пружине был рассмотрен выше.

2-й пример – колебательный контур

Это устройство представляет собой конденсатор, соединенный проводами с катушкой индуктивности. В момент цепь замыкается, и заряд с обкладок конденсатора начинает распространяться по цепи.

Сопротивление проводов будем считать равным 0, емкость конденсатора равна С, индуктивность катушки - L. Необходимо получить уравнение для изменяющейся величины ( q(t) - заряд на обкладках конденсатора). Очевидно, что ток в цепи i(t) и напряжение v(t) тоже являются функциями времени.

Так как электрическое сопротивление в цепи отсутствует, падение напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на катушке индуктивности. При переменном токе в катушке возникает ЭДС ( )

Закон Ома для цепи выглядит следующим образом:

или

Так как

то

Решением этого уравнения также будет функция

где константы А и В выбираются из начальных условий.

3-й пример – взаимодействие двух биологических популяций.

Пусть на одной и той же территории проживают две биологические популяции с численностями N(t) и M(t), причем первая растительноядная. А вторая употребляет в пищу представителей первой популяции.

Изменение численности первой популяции за время , можно записать следующим образом:

Здесь коэффициент учитывает рождаемость первой популяции, а член и описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяций пренебрегаем). Тогда

Для второй популяции численность растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скоростью, пропорциональной численности (рождаемость и эффект насыщения не учитываются), ,

Очевидно, что система находится в равновесии, когда

Рассмотрим малые отклонения системы от положения равновесия:

Подставляя и в уравнения (1) и (2) и отбрасывая члены более высокого порядка малости, получим:

Дифференцируя (3) по t и подставляя в полученное уравнение функцию (4) имеем:

Это уравнение представляет собой уравнение колебаний с частотой

Заметим, что величина m(t) подчиняется такому же закону, причем если n(t) равно 0 в начальный момент времени, то m(t) имеет максимальную амплитуду, и наоборот.

Эта ситуация, когда численности n(t) и m(t) находятся в противофазе, отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой.

4-й пример – простейшая модель изменения зарплаты и занятости.

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие, характеризуется зарплатой p(t) и числом занятых N(t). Пусть на нем существует равновесие, т. е. ситуация, когда за плату согласны работать человек. Если по каким-либо причинам это равновесие нарушается (уход части работников на пенсию, финансовые трудности у предпринимателей,…), то функции p(t) и N(t) отклоняются от значений , .

Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения , т. е.

Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N, приходим к стандартной модели колебаний:

заработной платы относительно положения равновесия (аналогично и для величины числа занятых).

Из первого интеграла этого уравнения

видно, что в некоторые моменты времени, когда (зарплата становится равной равновесному значению) , т. е. число занятых больше равновесного. А при получаем , т. е. зарплата превышает равновесную. В среднем за период колебаний .

Модель динамики скопления амеб.

Рассмотрим аналогии между некоторыми механическими и биологическими объектами (на примере динамики скопления амеб). Амеба – одноклеточный организм размером около десяти микрон, обитающий в почве.

Составим уравнение баланса амеб в элементе среды dx за время dt используя закон сохранения их числа. В этом случае общее число амеб в объеме dx (площадь поперечного сечения единична) изменяется из-за разности потока амеб W(x, t) (W(x, t) - число амеб, пересекающих единичную поверхности за единичное время) на левой и правой границах элемента. Искомое уравнение выглядит так:

Величина складывается из двух составляющих. Одна составляющая общего потока формируется за счет хаотического движения, и ее можно записать как:

где - коэффициент, характеризующий рассматриваемую среду. Вторая составляющая, описывающая направленный поток амеб, тем больше, чем больше градиент плотности притягивающего вещества

Будем учитывать также распад вещества, скорость которого пропорциональна его концентрации (аналогично процессу радиоактивного распада). Таким образом. В единицу времени в единичном объеме появляется и исчезает количество вещества, равное

Изменение плотности вещества происходит также вследствие разности его концентраций на левой и правой границе элемента. При этом согласно первому закону Фика создается поток , равный

D - коэффициент диффузии

и сводится простой заменой также к уравнению теплопроводности

Линеаризованная в окрестности постоянного решения система (1), (2) имеет вид:

Ту же самую модель можно использовать и для анализа диффузии частиц.