МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Утверждено на заседании кафедры
отопления, вентиляции и кондици-
онирования ______________
________________2008 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятием
по дисциплине «Численные методы в системах ОВиК» для магистров специальности 290700
«Теплогазоснабжение и вентиляция»
Ростов-на-Дону
2008
Методические указания к практическим занятием по дисциплине Численные методы в системах ОВиК» для магистров специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция».- Ростов н/Д: Рост. гос. строй. ун-т, 2009 – 16 с.
По основам численного решения уравнения теплопроводности для нестационарных условий приводится краткая теоретическая часть, дающая определения основных понятий, основные формулы, пояснение к ним, пример решения. Имеются приложения с данными из нормативной и справочной литературы, необходимыми для решения задач.
Составители: канд. техн. наук, доц.
канд. техн. наук, доц.
Введение
Нестационарные условия теплопередачи
Теплопроводность
Рассмотрим одномерную задачу. Движение теплового потока происходит только в направлении одной из осей координат, например, при передаче теплоты через неограниченно протяженную плоскую стенку.
Выделим внутри такой стенки бесконечно тонкий слой толщиной 
, в котором температура изменяется на величину 
. Если температура не изменилась во времени, т. е. при стационарном тепловом потоке, то количество теплоты, проходящей через 1 м2 этого слоя в течение 1 часа, равно:
| (1) |
,где 
- коэффициент теплопроводности,
- градиент температуры.
Знак “-” в уравнении свидетельствует о том, что движение теплоты происходит в направлении понижения температуры.
В общем случае при нестационарных условиях теплопередачи величина теплового потока будет изменяться. Для определения величины изменения теплового потока по толщине слоя нужно предыдущее уравнение продифференцировать по 
, тогда получим:
| (2) |
,Изменение величины теплового потока связано с поглощением или выделением теплоты слоем при изменении его температуры во времени. Количество теплоты 
, необходимое для повышения температуры слоя толщиной 
на 
градусов за промежуток времени 
, будет пропорционально теплоемкости слоя, равной 
, т. е.
| (3) |
,где 
- удельная теплоемкость материала слоя.
Уравнение (3) может быть написано в частных производных в виде:
| (4) |
,Оно показывает изменение величины теплового потока по толщине слоя в результате аккумулирования им теплоты.
Таким образом, изменение величины теплового потока в слое при отсутствии в нем внутренних источников теплоты является следствием только поглощения теплоты слоем. Величины 
и 
должны быть равны, после преобразований уравнений получим:
| (5) |
.Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного случая движения теплоты, т. е. только в направлении одной из осей координат. Величина 
носит название «коэффициента температуропроводности» материала, обозначается буквой 
.
Левая часть уравнения представляет изменение температуры среды во времени. Производная, стоящая в правой части уравнения, дает пространственное изменение градиента температуры.
Коэффициент температуропроводности 
является коэффициентом пропорциональности. Его физический смысл состоит в том, что он характеризует скорость выравнивания температуры в различных точках среды. Чем больше будет величина 
, тем скорее все точки какого-либо тела при его остывании или нагреве достигнут одинаковой температуры.
Метод конечных разностей
Этот метод используется для решения различных вопросов, связанных с теплопередачей в нестационарных условиях.
Метод конечных разностей основан на допущении возможности замены непрерывного процесса изменения температуры скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальные уравнения теплопроводности заменяются уравнениями в конечных разностях.
Одномерная задача
Рассмотрим случай передачи теплоты через плоскую стенку неограниченно протяженную, он описывается дифференциальным уравнением (5). В конечных разностях это уравнение примет вид:
| (6) |
,где 
- конечные приращения температуры,
- конечные приращения времени,
- толщины элементарных слоев в направлении оси 
,
- коэффициент температуропроводности.
Для решения этого уравнения разделим плоскую однородную стенку на элементарные слои одинаковой толщины 
(см. рис.).
|
Рис. Графический способ расчета изменения температуры в плоской стене.
Плоскости, разделяющие слои, обозначим номерами …n-1, n, n+1… По временной координате разобьем на равные интервалы 
. Температуры будем определять в плоскостях, разделяющие слои, и обозначим их 
, для удобства введем для температур два индекса: первый будет обозначать номер плоскости, а второй – момент времени. Тогда уравнение (6) примет вид:
| (7) |
,где 
- температура в плоскости 
в момент времени 
.
Решая это уравнение относительно 
, получим:
| (8) |
,Полученная формула (8) общая для определения температуры в любой плоскости через интервал времени 
по температурам в этой же плоскости и в двух соседних плоскостях в предыдущий момент времени 
. Таким образом, расчет изменения температуры во времени сводится к последовательному вычислению температур во всех плоскостях стенки через равные интервалы времени 
.
В частном случае, если подобрать значения 
и 
таким образом, чтобы 
, то формула (8) примет вид:
| (9) |
,Формула (9) справедлива только при следующем соотношении:
| (10) |
.Физический смысл формулы состоит в том, что через данный интервал времени 
между плоскостями 
и 
устанавливается стационарное состояние теплопередачи. Следовательно, этот интервал времени является максимальным и нельзя принимать интервалы превышающие величину 
. Если величина 
даже незначительно будет превышена, то изменения температуры будет носить беспорядочный скачкообразный характер и расчет температуры становится неверным. При уменьшении интервала по времени расчет будет более точным. Наибольшую точность расчет будет иметь при соотношении 
.
Для определения температур на поверхности стены, граничащей с воздухом, примем следующие обозначения:
- температура воздуха,
- температура поверхности,
- температура в плоскости, отстающей на 
от поверхности,
- коэффициент теплоотдачи поверхности
- коэффициент теплопроводности материала стены.
При выполнении соотношения (10) исходя из того, что через интервал времени 
состояние теплопередачи становится стационарным, тогда из условия теплового баланса определим температуру на поверхности 
.
Количество теплоты, притекающего к поверхности от воздуха 
| (11) |
и количество теплоты 
| (12) |
,отходящего от поверхности внутрь материала за интервал времени должны быть в сумме равны нулю. Из уравнений (11) и (12) следует:
| (13) |
,Решая полученное уравнение относительно 
, получим:
| (14) |
,Пример
Наружное ограждение состоит из кирпичной стены толщиной 
м, плотность 
кг/м3, удельная теплоемкость с=0,88 кДж/кг оС, коэффициент теплопроводности 
Вт/м оС. Температура внутреннего воздуха постоянна и равна 18 оС. Температура наружного воздуха в течение 8 часов понижается по линейному закону от -5оС до -20 оС, а затем в следующие 8 часов снова повышается до -5оС. Как это отразиться на температуре внутренней поверхности стены?
Последовательность расчетов.
Определяем сопротивление теплопроводности стены:
;
м2 oC/Вт;
Разбиваем стену на десять равных частей:
;
м;
Определяем значение коэффициента температуропроводности:
;
.
Определяем расчетный интервал времени с учетом максимально возможного интервала:
;
ч;
Начальное распределение температур в ограждающей конструкции, соответствующее моменту времени Z=0, принимаем равным стационарным условиям теплопередачи при 
=-5oC и 
=18oC.
,
где 
принимает значения от 2 до 11.
Плоскость 1 (внутренняя поверхность стены).
Определяем температуру на поверхности ограждения по формуле 14:
Плоскость 2-10.
Определяем температуру по формуле 8:
Плоскость 11 (наружная поверхность стены).
Определяем температуру аналогично плоскости 1 по формуле 14:
Расчеты выполняем в табличной форме (Приложение 1).
Распределение температурного поля внутри ограждения показано на рис (Приложения 2).
Исходные данные к задаче.
№варианта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
при Z=0 | -5 | -8 | -10 | -5 | -8 | -10 | -5 | -8 | -10 | -5 |
при Z=8 | -20 | -22 | -27 | -20 | -22 | -27 | -20 | -22 | -27 | -22 |
Материал | Керамзитобетон | Шлакопемзопено -газо-бетон | Газо - и пенно- бетон | Пенополистирол | Пенополистирол | |||||
Плотность, кг/м3 | 1800 | 1600 | 1600 | 800 | 1000 | 800 | 150 | 100 | 150 | 100 |
ЛИТЕРАТУРА
1. СНиП . Тепловая защита зданий. –М.: Госстрой России, 2004
2.
3.
Приложение 1
Теплотехнические показатели строительных материалов
Материал | Характеристики материала в сухом состоянии | Расчетные коэффициенты | |||||
плотность, кг/м3 | удельная теплоемкость, кДж/кг оС | коэффициент теплопроводности, Вт/моС | теплопроводности, Вт/моС | теплоусвоения, Вт/м2 оС | |||
А | Б | А | Б | ||||
| Керамзитобетон на керамзитовом песке и керам-зитопенобетон То же То же Шлакопемзо - пено - и шлакопемзо-бетон То же Газо - и пенно - бетон газо - и пеносиликат То же Пенополистирол (ТУ78) То же | 1800 1600 800 1600 800 1000 800 150 100 | 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 1,34 1,34 | 0,66 0,58 0,21 0,47 0,17 0,29 0,21 0,05 0,041 | 0,80 0,67 0,24 0,63 0,29 0,41 0,33 0,052 0,041 | 0,92 0,79 0,31 0,70 0,35 0,47 0,37 0,06 0,052 | 10,50 9,06 3,83 9,29 4,46 6,13 4,92 0,89 0,65 | 12,33 10,77 4,77 10,31 5,15 7,09 5,63 0,99 0,82 |
Приложение 2
Расчетная таблица распределения температур в плоскости ограждающей конструкции
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |||
0,000 | 18 | 14,20 | 12,49 | 10,36 | 8,22 | 6,09 | 3,95 | 1,82 | -0,32 | -2,45 | -4,59 | -6,72 | -8,00 |
0,818 | 18 | 14,63 | 12,28 | 10,36 | 8,22 | 6,09 | 3,95 | 1,82 | -0,32 | -2,45 | -4,59 | -7,81 | -9,74 |
1,636 | 18 | 14,50 | 12,49 | 10,25 | 8,22 | 6,09 | 3,95 | 1,82 | -0,32 | -2,45 | -5,13 | -8,90 | -11,48 |
2,454 | 18 | 14,63 | 12,38 | 10,36 | 8,17 | 6,09 | 3,95 | 1,82 | -0,32 | -2,72 | -5,68 | -10,19 | -13,21 |
3,272 | 18 | 14,56 | 12,49 | 10,27 | 8,22 | 6,06 | 3,95 | 1,82 | -0,45 | -3,00 | -6,46 | -11,48 | -14,95 |
4,090 | 18 | 14,63 | 12,42 | 10,36 | 8,17 | 6,09 | 3,94 | 1,75 | -0,59 | -3,46 | -7,24 | -12,86 | -16,69 |
4,908 | 18 | 14,58 | 12,49 | 10,29 | 8,22 | 6,05 | 3,92 | 1,68 | -0,85 | -3,91 | -8,16 | -14,24 | -18,43 |
5,726 | 18 | 14,63 | 12,44 | 10,36 | 8,17 | 6,07 | 3,86 | 1,53 | -1,12 | -4,51 | -9,08 | -15,68 | -20,17 |
6,544 | 18 | 14,60 | 12,49 | 10,31 | 8,22 | 6,02 | 3,80 | 1,37 | -1,49 | -5,10 | -10,09 | -17,11 | -21,91 |
7,362 | 18 | 14,63 | 12,45 | 10,35 | 8,16 | 6,01 | 3,70 | 1,16 | -1,86 | -5,79 | -11,10 | -18,58 | -23,64 |
8,180 | 18 | 14,60 | 12,49 | 10,31 | 8,18 | 5,93 | 3,58 | 0,92 | -2,32 | -6,48 | -12,18 | -19,57 | -24,62 |
8,998 | 18 | 14,63 | 12,45 | 10,34 | 8,12 | 5,88 | 3,42 | 0,63 | -2,78 | -7,25 | -13,02 | -18,88 | -22,88 |
9,816 | 18 | 14,61 | 12,48 | 10,29 | 8,11 | 5,77 | 3,26 | 0,32 | -3,31 | -7,90 | -13,06 | -18,11 | -21,14 |
10,634 | 18 | 14,62 | 12,45 | 10,30 | 8,03 | 5,68 | 3,04 | -0,02 | -3,79 | -8,19 | -13,01 | -17,03 | -19,41 |
11,452 | 18 | 14,60 | 12,46 | 10,24 | 7,99 | 5,54 | 2,83 | -0,37 | -4,11 | -8,40 | -12,61 | -15,92 | -17,67 |
12,270 | 18 | 14,61 | 12,42 | 10,23 | 7,89 | 5,41 | 2,58 | -0,64 | -4,39 | -8,36 | -12,16 | -14,69 | -15,93 |
13,088 | 18 | 14,58 | 12,42 | 10,15 | 7,82 | 5,23 | 2,39 | -0,90 | -4,50 | -8,27 | -11,52 | -13,43 | -14,19 |
13,906 | 18 | 14,58 | 12,37 | 10,12 | 7,69 | 5,10 | 2,17 | -1,06 | -4,59 | -8,01 | -10,85 | -12,10 | -12,45 |
14,724 | 18 | 14,55 | 12,35 | 10,03 | 7,61 | 4,93 | 2,02 | -1,21 | -4,53 | -7,72 | -10,06 | -10,77 | -10,71 |
15,542 | 18 | 14,54 | 12,29 | 9,98 | 7,48 | 4,82 | 1,86 | -1,25 | -4,47 | -7,30 | -9,24 | -9,38 | -8,98 |
16,360 | 18 | 14,51 | 12,26 | 9,89 | 7,40 | 4,67 | 1,78 | -1,30 | -4,28 | -6,85 | -8,34 | -8,46 | -8,00 |
17,178 | 18 | 14,49 | 12,20 | 9,83 | 7,28 | 4,59 | 1,68 | -1,25 | -4,08 | -6,31 | -7,66 | -8,13 | -8,00 |
17,996 | 18 | 14,45 | 12,16 | 9,74 | 7,21 | 4,48 | 1,67 | -1,20 | -3,78 | -5,87 | -7,22 | -7,87 | -8,00 |
18,814 | 18 | 14,43 | 12,09 | 9,68 | 7,11 | 4,44 | 1,64 | -1,05 | -3,53 | -5,50 | -6,87 | -7,71 | -8,00 |
19,632 | 18 | 14,38 | 12,05 | 9,60 | 7,06 | 4,38 | 1,69 | -0,95 | -3,27 | -5,20 | -6,60 | -7,58 | -8,00 |
20,450 | 18 | 14,36 | 11,99 | 9,56 | 6,99 | 4,38 | 1,71 | -0,79 | -3,07 | -4,94 | -6,39 | -7,48 | -8,00 |
21,268 | 18 | 14,32 | 11,96 | 9,49 | 6,97 | 4,35 | 1,79 | -0,68 | -2,86 | -4,73 | -6,21 | -7,40 | -8,00 |
22,086 | 18 | 14,30 | 11,91 | 9,46 | 6,92 | 4,38 | 1,84 | -0,54 | -2,71 | -4,54 | -6,07 | -7,33 | -8,00 |
22,904 | 18 | 14,27 | 11,88 | 9,41 | 6,92 | 4,38 | 1,92 | -0,44 | -2,54 | -4,39 | -5,93 | -7,28 | -8,00 |
23,722 | 18 | 14,26 | 11,84 | 9,40 | 6,90 | 4,42 | 1,97 | -0,31 | -2,41 | -4,23 | -5,83 | -7,23 | -8,00 |
24,540 | 18 | 14,23 | 11,83 | 9,37 | 6,91 | 4,43 | 2,06 | -0,22 | -2,27 | -4,12 | -5,73 | -7,19 | -8,00 |
25,358 | 18 | 14,22 | 11,80 | 9,37 | 6,90 | 4,49 | 2,11 | -0,11 | -2,17 | -4,00 | -5,65 | -7,15 | -8,00 |
26,176 | 18 | 14,21 | 11,80 | 9,35 | 6,93 | 4,50 | 2,19 | -0,03 | -2,05 | -3,91 | -5,58 | -7,12 | -8,00 |
26,994 | 18 | 14,20 | 11,78 | 9,36 | 6,93 | 4,56 | 2,24 | 0,07 | -1,97 | -3,81 | -5,52 | -7,09 | -8,00 |
27,812 | 18 | 14,19 | 11,78 | 9,35 | 6,96 | 4,58 | 2,31 | 0,13 | -1,87 | -3,74 | -5,45 | -7,07 | -8,00 |
28,630 | 18 | 14,20 | 11,77 | 9,37 | 6,97 | 4,64 | 2,36 | 0,22 | -1,81 | -3,66 | -5,41 | -7,05 | -8,00 |
29,448 | 18 | 14,19 | 11,78 | 9,37 | 7,00 | 4,66 | 2,43 | 0,28 | -1,72 | -3,61 | -5,36 | -7,03 | -8,00 |
30,266 | 18 | 14,20 | 11,78 | 9,39 | 7,02 | 4,72 | 2,47 | 0,35 | -1,67 | -3,54 | -5,32 | -7,01 | -8,00 |
31,084 | 18 | 14,19 | 11,80 | 9,40 | 7,06 | 4,74 | 2,54 | 0,40 | -1,59 | -3,49 | -5,27 | -7,00 | -8,00 |
31,902 | 18 | 14,20 | 11,80 | 9,43 | 7,07 | 4,80 | 2,57 | 0,47 | -1,55 | -3,43 | -5,24 | -6,98 | -8,00 |
32,720 | 18 | 14,20 | 11,81 | 9,43 | 7,11 | 4,82 | 2,63 | 0,51 | -1,48 | -3,40 | -5,21 | -6,97 | -8,00 |
33,538 | 18 | 14,21 | 11,82 | 9,46 | 7,13 | 4,87 | 2,67 | 0,58 | -1,44 | -3,34 | -5,18 | -6,96 | -8,00 |
34,356 | 18 | 14,22 | 11,84 | 9,47 | 7,17 | 4,90 | 2,72 | 0,61 | -1,38 | -3,31 | -5,15 | -6,95 | -8,00 |
35,174 | 18 | 14,23 | 11,84 | 9,50 | 7,18 | 4,95 | 2,76 | 0,67 | -1,35 | -3,27 | -5,13 | -6,93 | -8,00 |
35,992 | 18 | 14,23 | 11,87 | 9,51 | 7,22 | 4,97 | 2,81 | 0,70 | -1,30 | -3,24 | -5,10 | -6,93 | -8,00 |
