В поисках золотого пера

Решения участников конкурса

7-9 класс

Первый вопрос

Еремеева Юлия, 7 класс

Известно, «что все надписи неверные». При рассмотрении надписей на дверях, мы видим на третьей: «Войдёшь и найдёшь золотое перо!», а значит, там нет пера. На второй – «Войдёшь – с тобой что-то случится!», а значит, ничего там не случится, в том числе и поиска пера не будет. На первой двери надпись тоже неверная и никакой опасности там нет, значит надо входить в первую дверь.

Ответ: Ребята выбрали первую дверь

Второй вопрос

1) IIIIIIIII = XI. Из исходного равенства из правой части перекладываем одну спичку влево, получаем верное равенство | | | | | | | | | | = X ( 10 = 10)

2) VI – IV = IX. Из VI забираем одну спичку и достраиваем знак « - » до +, т. е. V + IV = IX (5+4=9)

3) VI + X = III. Их X перекладыванием спички получаем V, а в правой части

перекладываем одну спичку и получаем XI, VI + V = XI (6+5=11)

4) V – VII – X. Из VII забираем две спички и получаем новое равенство

V + V = X (5 + 5 = 10)

5) XI + V =X. Забираем одну спичку из знака «+», а вторую спичку берем в X и их X получаем V, т. е получаем XI – V = VI. = 6)

Третий вопрос

Т. к. число булочек с повидлом относилось к числу булочек с маком как 3:2, значит, общее число булочек должно делиться на 5 и не превышать 55. Число булочек могло быть 5,10,15,20, 25,30,35, 40, 45, 50, 55. Известно, что продали 4 булочки и, что число оставшихся булочек относится как 4 : 3, т. е. число оставшихся булочек должно делиться на 7. Из ряда чисел

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

на 7 делится только 21. Значит, после продажи 4 булочек в магазине осталась 21 булочка. Тогда утром на витрине было 21 + 4 = 25.

Ответ: Было 25 булочек

Четвертый вопрос

Цегенько Александр, 7 класс, г. Салават

Если гусей 5 %, то всех птиц 14 / 5 * 100 = 280. Если гусей 4 %, то на дворе 14 / 4 * 100 = 350 птиц. Значит, общее число птиц больше 280, но меньше 350.

56 % = 56/100 = 14/25 всех птиц – куры, и 1/6 всех птиц – утки, следовательно, количество всех птиц должно быть кратно 25 и 6, или 150. Единственный вариант между 280 и 350 – 300 птиц, так как 300 делится на 150 без остатка.

Ответ: 300 птиц.

Якушкин Александр, 8 класс, г. Ставрополь

Пусть:

X – количество всех птиц

0,56x – количество кур,

– количество уток,

Количество гусей 14, далее Г – гуси,

По условию задачи:

0,56x – целое число, , 14 не делится нацело на 25 => x должен делится нацело на 25.

=> x нацело делится на 6 => x делится на 6 и на 25 => x делится на 150

< x < 350

Из данного промежутка подходит только одно число, которое делится на 150, данное число 300.

На ферме живут еще какие-то птицы, неуказанные в задачи, но это никак не мешает ее решению.

Ответ: На подворье деда Луки живут 300 птиц

Пятый вопрос

Горских Юлия, 6 класс, г. Норильск

Марфа

Дочь Марфы

Авдотья

Дочь Авдотьи

У Марфы и её дочери 2 одинаковые части, значит, число собранных грибов равно чётному числу.

У Авдотьи и её дочери 4 одинаковые частей, значит, число собранных грибов равно чётному числу. Чётное + чётное = чётное, а 25- нечётное число, такого быть не может.

Может быть так, что Марфа оказалась дочерью Авдотьи (или наоборот).

Марфа

Авдотья

Дочь Авдотьи

3 + 3 + 1 = 7 (частей) всего.

Так как число 25 не кратно число 7, то такого быть не может.

Авдотья

Марфа 25грибов

Дочь Марфы

1)3 + 1 + 1 = 5( частей) всего.

2)25 : 5 = 5 (грибов) - приходится на 1 часть, собрала Марфа, собрала дочь Марфы.

3)3 · 5 = 15 (грибов) собрала Авдотья.

Ответ: 5 грибов, 5грибов, 15 грибов. Дочь Авдотьи зовут Марфа.

Шестой вопрос

Паршин Андрей, 5 класс, г. Саратов

1.  Площадь кладовой 6 * 6 = 36 кв. м, значит, каждому гному должно принадлежать:

36  : 3 = 12кв. м

2.  Площадь фигуры, которая образует 1, 2 и 3 части равняется сумме площади прямоугольника 1*6=6 м2 и площади треугольника 6*2 :2=6 м2 , т. е. 6+6= 12 м2 (см. рис.1)

 

3.  Площадь фигуры, которую образуют части 4 и 10 можно найти, разделив эти фигуры на треугольники, как на рисунке 2.

(1*3:2)+(3*3:2)+(3*2:2)+(1*2:2)=1,5+4,5+3+1=10 м2

Площадь треугольника, образованного частью 6 = 2*2:2=2 м2

Значит площадь 4, 6 и 10 фигур вместе будет равна 10+2=12 м2

4.  Так как площадь всей кладовой 36 м2, то площадь оставшихся частей (5, 7, 8 и 9) будет равна: =12 м2

Ответ: одному гному достанутся участки 1, 2, 3, второму – 4, 6 и 10, третьему – 5, 7, 8 и 9.

Седьмой вопрос

Для решения этой задачи надо составить неравенство:

1.  Кай < Сей, значит Сей > Кай

2.  Мей >Грей > Кай

3.  Мей > Сей, но не самый старший, значит

4.  Джей > Мей

5.  Джей >Мей >Грей >Сей >Кай

Ответ: так как гном-звездочет третий сын в семье, то его зовут Грей.

Восьмой вопрос

Якушкин Александр, 8 класс, г. Ставрополь

I) Чтобы построить треугольники с вершинами на двух параллельных прямых, 2 его вершины должны лежать на одной прямой, а третья вершина – на другой. Чтобы найти количество возможных треугольников с вершинами на этих прямых, нужно узнать количество возможных вариантов выбора любых двух точек на первой прямой и умножить на количество точек второй прямой. Аналогично, нужно найти количество возможных вариантов выбора любых двух точек на второй прямой и умножить на количество точек первой прямой. Затем получившиеся числа сложить. Для нахождения количества возможных вариантов выбора любых двух точек я использовал формулу неупорядоченной выборки или сочетания из комбинаторики , где k – это объем выбора, n – количество элементов в множестве. И формулу факториала n!=1*2*3…*n.

1)  – кол-во треугольников с двумя вершинами на первой прямой и третьей вершиной на второй прямой

2)  - кол-во треугольников с двумя вершинами на второй прямой и третьей вершиной на первой прямой

3)  858+936=1794 – кол-во всех возможных треугольников с вершинами на данных прямых

II) Чтобы построить четырехугольники с вершинами на двух параллельных прямых, две его вершины должны лежать на одной прямой, а две других – на другой. Иначе четырехугольники не получатся. Чтобы найти количество возможных четырехугольников с вершинами на этих прямых, нужно умножить количество возможных вариантов выбора любых двух точек на первой прямой на количество возможных вариантов выбора любых двух точек на второй прямой.

1) – кол-во всех возможных четырехугольников с вершинами на данных прямых.

III) В условиях задачи говорится, что разность получившихся чисел на 3000 больше числа лет гнома-звездочета.

1)000=354 – кол-во лет гнома-звездочета

Ответ: всего возможных треугольников – 1794, четырехугольников – 5148, Гному-звездочету 354 года

Девятый вопрос

Цегенько Александр, 7 класс, г. Салават

Всего 12 ячеек, 4 раза по 3 ячейки. Значит, в каждой тройке должно быть по 200 / 4 = 50 камней. Количество камней в двух ячейках равна 17 + 20 = 37 камней, в третьей ячейке должно быть 50 – 37 = 13 камней, и схема шкатулки будет выглядеть так:

Схема шкатулки
17	13	20	17	13	20	17	13	20	17	13	20

Десятый вопрос

Нядынги Вера, 6 класс, Тюменская область, ЯНАО, Ямальский р-он, с. Панаевск

Ответ в виде схемы:

1													2
		8
																			5
															3
3													4
															6
		3				2				3									2
5													6
		6
																			5
										2													2
															1
7													8
						4
										3					4				4
		1

Одиннадцатый вопрос

Цегенько Александр, 7 класс, г. Салават

За каждый виток сигнальный провод отнимает по 2 столбца и строки. Всего он отнимет 2013 – 1007 = 1006 клеток с каждой стороны. Таким образом, после последнего витка останется отрезок с началом в точке (1006/2;/2) или (503;504) и концом в точке (/2;/2), то есть (1510;504). Нас интересует конец этого отрезка, так как сигнальный провод имеет направление от начала отрезка. Сумма его координат равна 1510 + 504 = 2014, и это число является кодом. Ответ: 2014.

Бондарчук Мария, 7 класс, Томская область, с. Молчаново

Если рассмотреть это задание на таблице 5х7 можно заметить закономерность: пройдя по всему лабиринту провод останавливается в строке 3.Сверху и снизу от этой строки остается одинаковое количество строк – это две. Справа от точки, где остановился провод тоже два столбика. Рассмотрим теперь наше задание. У нас таблица размерами 1007х2013. Действуя по аналогии с таблицей 5х7, получаем, что провод остановиться в 504 строке (т. к. 503+503=1006, а у нас 1007 строк) и в 1510 столбце (т. к. =1510). Складываем 1510+504=2014. Значит код замка 2014.

Якушкин Александр, 8 класс, г. Ставрополь

Для решения этого задания я решил найти закономерность. Сначала, я построил таблицу с 7 строками и 14 столбцами. Конец провода у меня получился в ячейке, номер строки которой 4, а номер столбца – 11. И ответ получился 4+11=15. Затем я построил таблицу с 15 строками и 21 столбцом. Конец провода у меня получился в ячейке, номер строки которой 8, а номер столбца – 14. И ответ получился 8+14=22. А в примере для этого задания построили таблицу с 5 строками и 7 столбцами. Конец провода получился в ячейке, номер строки которой 3, а номер столбца – 5. И ответ получился 3+5=8. Тут я заметил закономерность, что ответом для этого задания для любой таблицы будет количество столбцов плюс 1. Следовательно, и для нашей таблицы, в которой 1007 строк и 2013 столбцов, ответом будет 2013+1=2014.

Ответ: Ребята набрали на замке замка код: 2014.

Критерии оценки:

5 баллов – задание решено верно и полностью, дано подробное решение, получен правильный ответ;

3 балла – верное решение с существенными пробелами или ошибками в рассуждениях, или дан только правильный ответ.