2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8. Числовые характеристики случайных величин
Распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине. Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные сведения о случайной величине. Таковыми являются числовые характеристики.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется ___________________________________________________
Математическое ожидание имеет смысл «среднего значения» случайной величины.
Пример. Математические ожидания для некоторых дискретных распределений:
1) равномерное:__________________________________________________________
2) геометрическое:________________________________________________________
3) биномиальное:_________________________________________________________
4) пуассоновское:_________________________________________________________
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью 
называется
________________________________________________________________________
Если вероятностная мера определяется функцией распределения, то
________________________________________________________________________
Пример. Математическое ожидание непрерывного равномерного распределения:
________________________________________________________________________
Математическое ожидание показательного распределения:
________________________________________________________
________________________________________________________
Математическое ожидание нормального закона:_______________________________
Имеют место следующие общие свойства математического ожидания:
1) ______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
4) ______________________________________________________________________
5) ______________________________________________________________________
Модой дискретного распределения называется ___________________________
________________________________________________________________________
В непрерывном случае модой является_______________________________________
Если у распределения имеется более одного максимума, то оно называется полимодальным. Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Они называются антимодальными.
Медианой распределения случайной величины называется_________________
________________________________________________________________________
.
Дисперсией случайной величины называется ____________________________
Дисперсия всегда неотрицательна. Дисперсия она характеризует разброс значений случайной величины относительно ее среднего значения. Иногда для вычислений более удобна формула_____________________________________________________
Среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего называется величина______________________________________________________
Пример. Дисперсии для некоторых дискретных распределений:
1) биномиальное:_________________________________________________________
2) геометрическое:________________________________________________________
3) пуассоновское:_________________________________________________________
Пример. Подсчитаем дисперсию непрерывного равномерного распределения:
___________________________________________________
___________________________________________________
Подсчитаем дисперсию показательного распределения:
___________________________________________________
___________________________________________________
Дисперсия нормального закона______________________________________________
Имеют место следующие общие свойства дисперсии:
1) ______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины: 
.
Для дискретной случайной величины это сумма вида:__________________
Для непрерывной случайной величины начальный момент определяется как интеграл:_____________________________________________
Центрированной случайной величиной 
, соответствующей величине 
, называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
________________________________________________________________________
Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины: 
.
Для дискретной величины это сумма вида:_________________________
Для непрерывной случайной величины центральный момент определяется как интеграл:_____________________________________________
Из всех моментов в качестве характеристик чаще всего применяются:
первый начальный момент – _______________________________________________
второй центральный момент – ______________________________________________
третий центральный момент – ______________________________________________
Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения называется величина:________________________________________________________________
 |
Для симметричных распределений асимметрия равна нулю.
четвертый центральный момент – __________________________________________
Эксцессом случайной величины называется отношение_________________________
 |
Для нормального распределения эксцесс равен нулю.
Рассмотренные числовые характеристики являются наиболее употребительными. Во многих практических задачах полная характеристика (закон распределения) или не нужна или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Часто числовыми характеристиками пользуются для приблизительной замены одного распределения другим.
2.9. Многомерные случайные величины
Многомерной случайной величиной (случайным вектором) 
называется_______________________________________________________________
Многомерной функцией распределения называется функция
________________________________________________________________________
В частном случае двумерная функция распределения определяется следующим образом:______________________________________________________
 |
Геометрической интерпретацией функции распределения
является вероятность попадания случайной точки 
в бесконечный квадрат с вершиной в точке 
.
Рассмотрим свойства многомерной функции распределения на примере двумерной случайной величины :
1) ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) ______________________________________________________________________
3) ______________________________________________________________________
4) ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Вероятность попадания точки в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат определяется по формуле:
________________________________________________________________________
Плотность распределения двумерной случайной величины выражается через функцию распределения:___________________________________
Плотность распределения есть функция неотрицательная 
. Кроме того _____________________.
Вероятность попадания точки в произвольную область D вычисляется как интеграл:__________________________________________
Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через плотность:____________________________________________
Зная закон распределения системы случайных величин, всегда можно определить законы распределения отдельных величин системы. Плотности распределения отдельных компонент выражаются через совместную плотность:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Возникает вопрос: можно ли по законам распределения отдельных компонент восстановить закон распределения системы? В общем случае этого сделать нельзя. Для того чтобы полностью охарактеризовать систему, нужно еще знать зависимость между входящими в нее величинами. Она может быть определена с помощью так называемых условных законов распределения:
___________________________________________________
Случайная величина 
называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина . Зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны. Для непрерывных случайных величин условие независимости может быть записано в виде:____________________________________________________________________
Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных компонент:
________________________________________________________________________
Для расчета начальных и центральных моментов используются следующие формулы. В дискретном случае:
.
В непрерывном случае:
.
Особую роль играет корреляционный момент __________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то имеется зависимость между ними. Если корреляционный момент равен нулю, то о зависимости случайных величин ничего сказать нельзя. Такие величины называются некоррелированными.
Для характеристики связи между случайными величинами без учета рассеивания используется безразмерная величина, называемая коэффициентом корреляции: _____________________________________________________________
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины связаны линейной функциональной зависимостью, то 
. В общем случае 
.
2.10. Нормальное распределение
Функция распределения стандартного нормального закона 
имеет специальное обозначение __________________________________________________
Функция 
не является элементарной, то есть, интеграл не может быть сведен к табличным и быть композицией элементарных функций. Для функции составлены подробные таблицы, ее значения вычисляются многими прикладными компьютерными программами.
Как и любая функция распределения, функция обладает свойствами:
; 
; – неубывающая функция.
Кроме того, из симметричности нормального распределения относительно начала координат следует, что:__________________________________
Если 
имеет распределение 
, то 
– стандартная нормальная случайная величина. Функция распределения легко записывается через функцию :____________________________________________________________
Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону , на участок 
:
___________________________________________________
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа 
:__________________________________________________
________________________________________________________________________
Положим 
:__________________________________________________________
Если 
, то_____________________________________________________________
Отсюда приходим к так называемому правилу трех сигм:__________________
Вероятность, которая стоит в правой части, пренебрежимо мала для многих практических применений. Поэтому правило трех сигм читают так:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Как видно, это правило ошибочно лишь в 
случаев.
