Часть VI. Элементы теории графов

Часть VI. Элементы теории графов.

§1. Основные понятия теории графов.

Определение 1. Графом называется совокупность 2-х множеств Х и У. Х - это множество точек, называемых вершинами графа, а У - это множество линий попарно соединяющие вершины и называемые ребрами или дугами.

Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.

В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A, B, C, D. Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 2. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

Определение 3. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль – графом.

Определение 4. Если рассматривается упорядоченное множество точек, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае граф называется неориентированным.

Определение 5. Сетью называется граф, в каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое число (или несколько чисел), которое называется весом дуги или ребра (). Например, расстояние между городами, стоимость прокладки дороги, потоки (пропускная способность дуги и т. д.).

§2. Свойства вершин и ребер графа.

Определение 1. Ребра, имеющие одинаковые концевые точки называется параллельными .

Определение 2. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей .

Определение 3. Вершина и ребро называются инцидентным друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой .

Определение 4. Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными .

Определение 5. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине называется смежными ребрами .

Определение 6. Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей: , причем, если , то вершина называется висячей , если , то вершина называется изолированной .

Пример:

Теорема. В графе G сумма степеней всех его вершин - число четное, равное удвоенному числу ребер.

Пример:

Определение 7. Граф называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром, и он не содержит параллельных ребер.

Определение 8. Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G и содержащий только те ребра, которые надо добавить графу G, чтобы получился полный граф.

Пример:

Построить полный граф для пяти вершин (n=5), число ребер равно .

1.

2.

§3. Пути и циклы графа.

Определение 1. Путем в графе называется такая последовательность ребер (дуг), ведущей от начала вершины в конечную вершину , в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается два раза, т. е. такая последовательность дуг, при которой конец одной дуги является началом другой.

Например, на графе :

от до

Определение 2. Циклом называется путь, начало, и конец которого совпадают:

Определение 3. Цикл называется простым, если он не проходит ни через одну вершину графа более одного раза.

Теорема. Для того чтобы граф представлял собой простой цикл, необходимо и достаточно, чтобы каждая его вершина имела степень равную двум, т. е. .

Определение 4. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует соединяющий их путь, в противном случае граф - не связный: , .

Определение 5. В общем случае несвязный граф является совокупностью связных графов, называемых компонентами.

,, - компоненты графа G.

§4. Способы задания графа.

Существует ряд способов задания графов. Для решения конкретной задачи можно выбрать тот или иной способ, в зависимости от удобства его применения.

Граф может быть задан:

1. Рисунком.

2. Перечислением вершин и ребер:

.

3. Матрицей.

Пример: Пусть граф G имеет 4 вершины и 4 ребра, т. е. и . Задать граф можно:

1)  Рисунком:

2)  Перечислением вершин и ребер:

 

3) Матрицей:

a)  для неориентированного графа обычно задают матрицу смежности, элементы которой находятся по формуле:

b)  для ориентированных графов задается матрица инцидентности, элементы которой находят по формуле:

Пример: Построить матрицу инцидентности для графа:

Замечание: Граф может быть задан и матрицей с весами на ребрах:

- если матрица симметричная, то граф неориентированный,

- если матрица несимметричная, то граф ориентированный.

§5. Деревья.

В экономике используется два вида графов: деревья и сети.

Определение 1. Граф называется подграфом графа , если , причем ребро содержится в только в том случае, если его концевые вершины содержатся в .

Определение 2. Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом, т. е. деревом графа является его связный подграф без цикла (не обязательно все вершины связны). Дерево имеет исходную вершину, называемую корнем и крайние вершины. Пути от исходной вершины к крайним называются ветвями. Несколько деревьев образуют несвязный граф - лес.

Определение 3. Дерево графа, содержащее все его вершины, называется покрывающим деревом или остовом.

Теорема 1. Граф G является деревом тогда и только тогда, когда он не содержит циклов и при соединении ребром произвольных двух его не смежных вершин получается граф, имеющий ровно один цикл.

Теорема 2. Граф G с «n» - вершинами является деревом тогда и только тогда, когда G - не связный граф и число ребер его равно (n-1).

§6. Основные задачи теории графов.

Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. Из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.

Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т. п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели пользуются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.

1.  Задача коммивояжера (бродячий торговец, торговый агент): состоит в отыскании лучшего маршрута для коммивояжера, который должен объехать все порученные ему города и вернуться назад в кратчайший срок или с наименьшими затратами на проезд. Строго математически эта задача может быть сформулирована так: дана матрица расстояний между городами и , причем . Среди замкнутых маршрутов , проходящих через каждый город только один раз, найти кратчайший путь, т. е. мы имеем задачу на экстремум:

Матрица С может быть симметричной для любых и ( для ) и может быть не симметричной, когда существуют и , такие что .

Алгоритм задачи коммивояжера используется:

1)  для выбора кратчайшего маршрута почтальона;

2)  для составления проекта строительства дорог по минимальной стоимости, которую нужно проложить между «n» - городами;

3)  для выбора маршрутов автотранспорта при кольцевой доставке товара;

4)  для планирования производства на конвейерах;

5)  для расположения станций техобслуживания для «n» - населенных пунктов и т. д.

2.  Задача о назначениях: состоит в распределении «n» - претендентов на «n» - должностей (на каждую должность по одному). Алгоритм решения этой задачи используется:

1)  при распределении рабочих по станкам, чтобы общая выработка была наибольшей или затраты на зарплату были наименьшими;

2)  для наилучшего распределения экипажей самолетов и т. д.

Математически все эти задачи – частный случай распределенных задач линейного программирования.

Пример задачи коммивояжера 1:

Пусть задан неориентированный граф дорог и расстояний между городами.

Найти допустимые решения (маршруты коммивояжера) и оптимальное решение (минимальный по протяженности маршрут), т. е. составить простой цикл.

Допустимые решения:

Оптимальные решения:

- оптимальный путь для коммивояжера, т. е.

Пример задачи коммивояжера 2:

Пусть задан ориентированный граф расстояний между городами.

Построить дерево и найти кратчайший маршрут.

- оптимальное решение.

Пример 3:

Дана симметричная матрица попарных расстояний между городами.

1)  построить граф, дерево графа, найти допустимые пути и оптимальный путь обхода всех городов;

2)  проверить теорему ;

3)  указать путь для задачи коммивояжера.

Оптимальное дерево: .

2)

3)