Матрицы и определители

Глава  6.  Матрицы и определители

6.1.  Числовые матрицы и действия над ними

О п р е д е л е н и е 1. Числовой матрицей, в дальнейшем именуемой просто матрицей, называется прямоугольная таблица из чисел , содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы. В случае, если , матрица называется прямоугольной размера . Если же , то матрица называется квадратной, а число n называется её порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться круглые скобки, ограничивающие слева и справа таблицу, обозначающую матрицу:

(6.1)

Числа , входящие в состав данной матрицы, называются её элементами. В записи первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, в которых стоит элемент . Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква, например А, либо символ ( ), а иногда и буква и символ с разъяснением:

(6.2)

Если , то матрица А называется матрицей-строкой:

(6.3)

При получим матрицу-столбец:

. (6.4)

В случае квадратной матрицы порядка n

(6.5)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (6.5) называется диагональ , идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

П р и м е р 1.

 –  прямоугольная матрица размера ;

  –  квадратная матрица второго порядка;

 –  матрица-строка размера ;

 –  матрица-столбец размера .

О п р е д е л е н и е 2. Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной и обозначается так:

= (6.6)

О п р е д е л е н и е 3. Диагональная матрица, все элементы которой равны единице называется единичной матрицей порядка n и обозначается обычно буквой :

(6.7)

О п р е д е л е н и е 4. Матрица размера все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается буквой О:

. (6.8)

Введем теперь действия над матрицами. Прежде всего договоримся считать две матрицы А и В равными и писать , если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают:

, . (6.9)

Соответствующими элементами матриц А и В называются элементы этих матриц, имеющие одинаковые номера строк и столбцов. Две матрицы, не удовлетворяющие указанным условиям, считаются неравными.

О п р е д е л е н и е 5. Суммой двух матриц и одинаковых порядков m и n называется матрица тех же порядков m и n, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых

, (6.10)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись . Операция составления суммы матриц называется их сложением. Например,

= + = .

Из формулы (6.10) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами сложения действительных чисел:

1)  , 2) .

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых при сложении двух или большего числа матриц.

О п р е д е л е н и е 6. Произведением матрицы на действительное число называется матрица , элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на это число:

, . (6.11)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или , а операция составления произведения называется умножением матрицы на это число. Например,

=

Непосредственно из формулы (6.11) очевидно, что умножение матрицы на число обладает тремя следующими свойствами:

1° сочетательным свойством относительно числового множителя ;

2° распределительным свойством относительно суммы матриц ;

3° распределительным свойством относительно суммы чисел .

Введенные выше действия сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Рассмотрим некоторые следствия линейных операций.

1. Если О – нулевая матрица порядков m и n, то для любой матрицы А тех же порядков имеем .

2. При матрицу будем называть противоположной матрице и обозначать . Она обладает тем очевидным свойством, что . Например,

+ = .

3. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С тех же порядков m и n, получаемая по правилу . Операция составления разности двух матриц называется их вычитанием. Например,

 –  =

4. Если любую матрицу умножить на нуль, то получим нулевую матрицу тех же порядков.

5. Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак матрицы. Например,

= .

Кроме линейных операций, над матрицами можно выполнять действия, называемые нелинейными операциями: умножение матрицы на матрицу, возведение квадратной матрицы в целую натуральную степень, транспонирование матрицы. Рассмотрим эти операции.

О п р е д е л е н и е 7. Пусть даны матрица порядков m и n и матрица порядков n и k, причем число столбцов n матрицы А равно числу строк n матрицы В.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица обозначаемая , каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

, . (6.12)

Согласно данному определению не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк второго множителя В. При этом в произведении получается матрица С, число строчек которой равно числу строк первого множителя А, а число столбцов равно числу столбцов второго множителя В. Схематически это можно изобразить так:

Что касается правила (6.12) для вычисления элементов в произведении двух матриц, то оно схематически изображается следующим образом:

Заметим, что умножение матрицы на матрицу определяется несимметрично для обоих сомножителей и, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, т. е. . Может быть даже так, что произведение матриц, взятых в одном порядке, существует, а взятых в другом порядке не существует.

П р и м е р 2. Перемножить матрицы А и В, если

, .

Р е ш е н и е.

=

=

=.

Оба произведения А В и В А здесь имеют смысл, но являются различными матрицами (даже различных порядков).

П р и м е р 3. Перемножить матрицы А и В, если

, .

Р е ш е н и е. Произведение АВ здесь имеет смысл, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В:

.

Произведение В А здесь смысла не имеет.

Действие умножения матрицы на матрицу обладает следующими четырьмя свойствами:

4° сочетательным свойством умножения матриц ;

5° распределительным свойством умножения матрицы на сумму матриц ;

6° распределительным свойством умножения суммы матриц на матрицу ;

7° если оба произведения АВ и ВА существуют, то в общем случае .

Из свойства 7° видно, почему из свойств 5° и 6° нельзя было оставить только одно из них. Если же для двух матриц А и В имеем равенство , то матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными. Очевидно, что это может иметь место только в случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n.

Среди квадратных матриц одинакового порядка n существует только одна матрица, которая перестановочна с любой матрицей. Это – введенная ранее формулой (6.7) единичная матрица. Нетрудно проверить, что всегда

, (6.13)

где А – произвольная квадратная матрица порядка n, т. е. единичная матрица ведет себя при умножении на матрицу как число 1 в обычной алгебре. Перестановочными являются также диагональные матрицы одного порядка.

З а м е ч а н и е. Из алгебры известно, что произведение двух чисел тогда, когда по меньшей мере одно из чисел a или b равно нулю. При умножении матриц это неверно. Например, пусть А и В – квадратные матрицы второго порядка:

, .

Тогда

, .

Из приведенного примера видно, что , где О – нулевая матрица второго порядка, хотя и . Матрицы А и В, удовлетворяющие условию , называются делителями нуля. Существование делителей нуля есть одно из резких отличий алгебры матриц от алгебры чисел. В то же время произведение , т. е. матрицы А и В не являются перестановочными и в произведении В А делителями нуля не являются.

О п р е д е л е н и е 8. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т. е.

(6.14)

Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. По определению полагают:

(6.15)

Следует обратить внимание на то, что из равенства еще не следует, что матрица А нулевая.

О п р е д е л е н и е  9. Пусть дана матрица А размера :

. (6.16)

Сопоставим ей матрицу из n строк и m столбцов по следующему правилу. Элементы каждой строки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матрицы , причем номер столбца матрицы совпадает с номером строки матрицы А. Ясно, что при этом i-я строка матрицы состоит из тех же элементов в том же порядке, что и i-й столбец матрицы А:

. (6.17)

Матрица называется транспонированной матрицей А, а переход от А к называется транспонированием матрицы А.

Определение транспонированной матрицы можно записать в виде равенств вида:

, (6.18)

связывающих элементы матриц и , для всех i = 1, 2, … , m и j = 1, 2, … , n.

При транспонировании, как видим, меняется строение матрицы (если ), а именно:

Например, если , ,

то , .

При транспонировании матрицы её строка превращается в столбец, а столбец в соответствующую строку. При этой операции выполняются следующие свойства:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Отметим, что в общем случае , но .

6.2.  Определители квадратных матриц

С каждой квадратной матрицей, и только с ней, можно связать число – её определитель. Определители играют важную роль при решении систем линейных уравнений и в других разделах математики.

Понятие определителя n-го порядка мы введем рекуррентным способом, считая, что нами уже введено понятие определителя 1-го порядка и указана формула вычисления определителя порядка . Для удобства записи суммы большого числа слагаемых, имеющих один и тот же вид и отличающихся только индексами, будем использовать следующее обозначение. Символ , после которого стоит некоторое выражение, содержащее индекс к, будет обозначать сумму таких выражений для всех значений индекса к от 1 до n включительно, например:

, . (6.19)

Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования может быть употреблена и любая другая буква.

О п р е д е л е н и е. 1°. Определителем матрицы первого порядка , или определителем 1-го порядка, называется единственный элемент этой матрицы , обозначаемый одним из символов

. (6.20)

2°. Определителем матрицы А порядка , где

,

называется число, обозначаемое одним из символов

(6.21)

и вычисляемое по формуле

, (6.22)

где  – определитель матрицы порядка , полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента .

Формулой (6.22) определитель матрицы А порядка n выражается через определители матриц порядка . Для нахождения чисел мы можем и должны воспользоваться той же формулой (6.22), поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим определитель через определители матриц порядка . Можно продолжать этот процесс до тех пор, пока мы не придем к матрицам первого порядка, для которых определитель определен непосредственно.

Применим определение к матрицам порядка и . Для матрицы 2-го порядка получим:

(6.23)

Из формулы (6.23) следует, что определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов матрицы А, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Определитель 3-го порядка по формуле (6.22) выразим через три определителя 2-го порядка:

=

. (6.24)

Если здесь вычисление определителей 2-го порядка выполнить по формуле (6.23), то получим шесть слагаемых, из которых три будут иметь знак «+», а три других знак « – »:

. (6.25)

Чтобы запомнить, какие произведения здесь берутся со знаком «+», а какие со знаком « – », полезно следующее правило Сарруса:

Оно позволяет вычислить определитель 3-го порядка непосредственно по формуле (6.25) без разложения его по элементам первой строки по формуле (6.24).

По аналогии с минором элемента матрицы А определим минор произвольного элемента как определитель матрицы порядка , получаемой из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Естественно возникает после этого вопрос, нельзя ли использовать для вычисления величины определиэлементы и отвечающие им миноры не первой строки, а любой другой строки или любого столбца матрицы А ?

Ответ на этот вопрос дает основная теорема разложения определителя по элементам любой строки и любого столбца, которую примем без доказательства.

Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Для каждой квадратной матрицы А порядка n при любом номере строки имеет место формула

(6.26)

и при любом номере столбца  – формула

. (6.27)

Заметим, что при формула (6.26) есть определение определителя n-го порядка, данное формулой (6.22). В дальнейшем, говоря о строках и столбцах минора , будем допускать вольность, имея в виду строки и столбцы матрицы -го порядка, полученной из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Рассмотрим три примера на использование теоремы.

П р и м е р 1. Вычислить определитель единичной матрицы разложением его по элементам первого столбца.

Р е ш е н и е.

Отсюда следует, что применяя раз равенство , мы получим .

П р и м е р 2. Вычислить определитель

.

Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам второй строки:

=

.

Применяя для вычисления определителей 3-го порядка правило Сарруса, получим .

П р и м е р 3. Вычислить определитель

.

Р е ш е н и е. В данном случае для разложения целесообразно выбрать 3-й столбец, так как наличие в нём трех нулевых элементов дает возможность не вычислять соответствующих миноров. Применяя затем правило Сарруса, находим:

.

6.3. Свойства определителей

С увеличением порядка определителя число произведений, из которых состоит сумма, равная величине определителя, стремительно растет. Так, в определителе 2-го порядка имеем два слагаемых, в определителе 3-го порядка – шесть слагаемых, в определителе 4-го порядка – двадцать четыре, а в определителе 5-го порядка их будет уже сто двадцать. По этой причине определители выше 3-го порядка никогда не вычисляют по определению или по теореме разложения. Существуют замечательные свойства определителей, с одной стороны, значительно упрощающие их вычисление, а с другой стороны, имеющие важное теоретическое значение.

С в о й с т в о 1°. Для любой квадратной матрицы , т. е. при транспонировании матрицы величина определителя сохраняется.

С в о й с т в о 2°. Если в квадратной матрице поменять местами какие-нибудь две строки (или два столбца), то определитель матрицы сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк , , … , с коэффициентами , , …,, если выполняются равенства .

С в о й с т в о 3°. Если в квадратной матрице А порядка n некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то , где  – определитель, у которого i-я строка есть , а все остальные строки те же, что и у определителя , а  – определитель, у которого i-я строка есть , а все остальные строки те же, что и у определителя .

Указанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

С л е д с т в и е 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2˚ изменит знак на противоположный. Таким образом, , отсюда и .

С л е д с т в и е 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число .

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3° при = 0.

С л е д с т в и е 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего при = 0.

С л е д с т в и е 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.

Найдем, например, значение определителя

.

Элементы первого столбца являются здесь суммами двух слагаемых, поэтому согласно свойству 3° имеем

.

В первом определителе первый столбец пропорционален последнему, во втором же первый столбец пропорционален третьему. По следствию 4 оба определителя равны нулю, а значит Δ = 0.

С л е д с т в и е 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.

Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей для так называемого «обнуливания» определителя, т. е. для замены ненулевых элементов нулевыми, что при определенном порядке обнуливания значительно сокращает вычисление определителя. Рассмотрим конкретные примеры.

П р и м е р 1. Вычислить определитель 4-го порядка

.

Если к этому определителю непосредственно применить формулы разложения (6.26), (6.27), то получим четыре определителя 3-го порядка. Но такой путь вряд ли целесообразен. Поставим перед собой цель, пользуясь следствием 5, получить, например, в первом столбце три нулевых элемента. Для этого умножим третью строку на ( – 2) и сложим со второй; кроме того, умножим эту же строку на 3, после чего сложим с четвертой и вычтем из первой:

.

Разложив определитель по элементам первого столбца, умножим затем третий столбец на 4 и сложим со вторым, а затем умножим его на 13 и сложим с первым. Получим таким образом:

.

П р и м е р 2. Вычислить определитель

Комбинируя следствия 2 и 5 с разложением определителя по элементам строки, используем символическую запись для краткого пояснения решения:

О п р е д е л е н и е 2. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя n-го порядка (6.21) назовём число, равное и обозначаемое символом :

=. (6.28)

Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком, определенным множителем .

С помощью понятия алгебраического дополнения основную теорему разложения определителя по любой строке и по любому столбцу можно переформулировать так:

Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие им алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна самому определителю:

, (i =1,2,…,n), (6.29)

, (j =1,2,…,n). (6.30)

Теперь можно сформулировать последнее свойство определителя.

С в о й с т в о 4. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (или столбца) равна нулю:

(6.31)

(6.32)

З а м е ч а н и е. Формулы (6.29) – (6.32) можно объединить, записав их в виде единых формул Лапласа:

(6.33)

(6.34)

Формулы Лапласа играют важную роль, с их помощью доказываются некоторые теоремы линейной алгебры.

6.4. Обратная матрица

При умножении матриц естественно возникает вопрос: обратимо ли действие умножения матрицы на матрицу? Другими словами, если известно произведение двух матриц и одна из матриц-сомножителей, то можно ли найти другую матрицу? Ответить на этот вопрос мы сможем, если введём понятие обратной матрицы.

Как известно, для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

О п р е д е л е н и е. Матрица называется обратной для квадратной матрицы порядка n, если при умножении её слева и справа на матрицу получается единичная матрица, т. е.

. (6.35)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Очевидно, что свойство быть обратной матрицей взаимно в том смысле, что если  является обратной для , то является обратной для :

Убедимся сначала в том, что если обратная матрица существует, то она единственна. Предположим, что для матрицы существуют две обратные матрицы и . Тогда по определению (6.35) имеем:

Умножив последнее равенство слева на , получим

Воспользовавшись сочетательным свойством умножения матриц и определением единичной матрицы, получим:

т. е. Следовательно, матрица не может иметь более одной обратной. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования обратного числа , то для существования матрицы таким условием является требование .

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а. Если  –  невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Составим квадратную матрицу , называемую присоединённой для матрицы , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы :

(6.36)

Найдем произведение По определению операции умножения матриц (6.12) и формуле Лапласа (6.33) имеем:

т. е.

Подобным же образом с помощью формул Лапласа (6.34) можно доказать, что . Так как, по условию , то, умножая обе части последних двух равенств на , имеем

Полученные выражения показывают, что для невырожденной матрицы существует обратная матрица следующего вида:

(6.37)

Теорема доказана.

П р и м е р. Найти обратную матрицу для матрицы

Р е ш е н и е. Так как определитель матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

По формуле (6.37) находим:

По формулам проверяем правильность вычисления обратной матрицы: