Гомогенный реактор без отражателя
В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Реальные ЯР в большинстве – гетерогенные. Для них прямой расчет k∞ без специальных программ чрезвычайно сложен. Упрощенно задача решаются следующим образом. Реальная среда гомогенизируется, т. е. заменяется гомогенной, эквивалентной по нейтронно-физическим характеристикам. Рассчитываются параметры гомогенного ЯР (k∞, τ, L, D и др.). Затем определяется kэф гомогенного реактора. После чего рассматривается теория гомогенного реактора, т. е. определяются условия критичности и распределения потоков нейтронов. После чего полученные результаты уточняются с учетом эффектов гетерогенности. Поэтому на первом этапе рассмотрим гомогенный реактор без отражателя.

Корректное рассмотрение даже гомогенного ЯР весьма сложно. Это обусловлено многими факторами, например:

·  в активной зоне используется топливо различного обогащения;

·  это топливо неравномерно выгорает в процессе работы ЯР;

·  в а. з. всегда в том или ином количестве присутствуют рабочие органы системы управления и защиты (СУЗ), влияющие на распределе­ние потока нейтронов как по радиусу, так и по высоте.

Поэтому расчет критических размеров реального реактора весьма сложен.

В связи с тем что учесть влияние стержней СУЗ на распре­деление потока нейтронов по объему реактора можно только с помощью громоздких расчетов, в данной книге этот вопрос обсуждаться не будет.

Итак, рассмотрим гомогенный реактор без стержней СУЗ. Начнем с простейшего устройства — однородной активной зоны бесконечной высоты и без отражателя. В таком реакторе без отражателя нейт­роны, вылетевшие за пределы активной зоны, обратно не воз­вращаются, и поэтому спектр нейтронов в каждой точке одина­ков. Это означает, что переменные r и Е и из функции Ф (r,Е) разделяются.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Кроме того, будем считать, что размеры а. з. достаточно большие и вклад экстраполированной длины в эффективный размер ЯР мал по сравнению с геометрическими размерами. По­этому знание точного значения длины линейной экстраполяции d не имеет для нас особого значения.

Уравнение реактора в диффузионно-возрастном приближении

Как отмечалось, важнейшей задачей физики ЯР является нахождение простанственно-энергетического распределения потока нейтронов. Поэтому важно получить исходное уравнение, решение которого позволит получить искомое распределение. В курсе «Теория переноса» было рассмотрено диффузионно-возрастное приближение, суть которого состоит в следующем: в размножающей среде замедляющиеся (надтепловые) нейтроны испытывают только замедление, а тепловые нейтроны – только диффузию. При этом поведение замедляющихся нейтронов описывалось уравнением возраста, а поведение тепловых – уравнением диффузии.

Так как одногрупповое приближение подразумевает то, что все процессы в ЯР обусловлены тепловыми нейтронами, то уравнение диффузии и является тем искомым уравнением для потоков нейтронов. Вместе с тем тепловые нейтроны рождаются при замедлении надтепловых, следовательно для корректного решения необходимо рассмотреть не отдельно уравнение диффузии, а рассмотреть это уравнение совместно с уравнением возраста.

Сделаем ряд допущений. Пусть среда ЯР слабопоглощающая (что соответствует большим реакторам). Тогда предположим, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, следовательно, поведение замедляющихся нейтронов можно описать уравнением возраста без учета поглощения: , где - плотность замедления, τ – возраст нейтронов (от энергии нейтронов деления до средней тепловой энергии). Кроме того, предположим, что все резонансное поглощение сосредоточено на границе раздела тепловой и замедляющей области, где плотность замедляющихся нейтронов изменяется скачком в j раз (j - вероятность избежать резонансного захвата), следовательно, часть замедляющихся нейтронов не избежит резонансного поглощения. Таких нейтронов будет . Другая часть замедляющихся нейтронов избежит резонансного поглощения и станет источником тепловых нейтронов: .

Таким образом, для корректного получения требуемого уравнения надо рассмотреть уравнение диффузии совместно с уравнением возраста:

, (1)

, (2)

где F(r) –поток тепловых нейтронов.

Для окончательной постановки задачи необходимо задать начальные условия. В качестве начального условия используется выражение для скорости генерации быстрых нейтронов при делении. Известно, что рожденные в делении быстрые нейтроны имеют возраст t = 0. Таким образом, начальное условие может быть записано как выражение для плотности замедления при t = 0: . Определим его. Известно, что рождение нейтронов в процессе деления обусловлено поглощением тепловых нейтронов. Прежде чем в делении родится быстрый нейтрон, тепловой нейтрон должен поглотиться в топливе и затем вызвать деление. Согласно формуле 4-х сомножителей вероятность этого равна . При этом сами быстрые нейтроны могут вызывать рождение новых быстрых нейтронов (вероятность такого - µ). Следовательно, вероятность рождения быстрого нейтрона при поглощении одного теплового составляет . Скорость поглощения тепловых нейтронов в единице объема в единицу времени (количество поглощенных тепловых нейтронов) составляет . Таким образом, начальное условие выглядит следующим образом: .

Перейдем к рассмотрению системы уравнений (1) и (2). Первоначально рассмотрим уравнение (1). Пусть в функции переменные разделяются следующим образом:

(3).

Подставим (3) в (1) и разделим переменные:

. (4)

Видно, что в (4) в левой части стоят функции, зависящие только от r, а в правой – только от t. Такое уравнение будет иметь решение, если каждая часть равна постоянной. Приравняем каждую часть (4) к постоянной вида и получим:

, (5)

, (6)

Уравнение (6) решается методом прямого интегрирования

. (7)

Величина X(0) определяется из начального условия:

Окончательно выражение (7) принимает вид:

.

Тогда функция плотности замедления будет выглядеть следующим образом:

. (8)

Подставим (8) в уравнение (2)

.

Приведем подобные слагаемые, разделим обе части на D:

,

зная, что квадрат длины диффузии , имеем

. (9)

Таким образом, выражение (9) есть уравнение диффузии с учетом уравнения возраста, и при его решении можно найти искомое распределение потока нейтронов в ЯР в рамках одногруппового приближения. Сравнивая выражение (9) с выражением (5), видно, что выражение (5) также является исходным уравнением для ЯР в одногрупповом приближении. При этом сравнении можно установить, что

. (10)

Видно, что параметр , определяемый трансцендентным уравнением (10) зависит только от материального состава ЯР и поэтому называется материальным параметром. В свою очередь уравнение (5) , где материальный параметр определяется из решения уравнения (10), называется уравнением реактора в одногрупповом приближении (или волновым уравнением).

С практической точки зрения важным является случай, когда рассматривается большой реактор, в котором геометрические размеры много больше пробегов нейтронов. Это значит, что справедливо выражение τ<<R2 (R - геометрические размеры системы). Тогда функция экспоненты в выражении (10) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд, ограничившись первым непостоянным членом разложения: . Подставляя это в выражение (10) получаем:

(11)

При k∞ , близком к 1, выражение (11) еще более упрощается:

, (12)

где M2 – площадь миграции нейтронов в процессе замедления и диффузии.

Условие критичности гомогенного реактора без отражателя
в одногрупповом приближении.

В физике ЯР важной составляющей является нахождение критических параметров ЯР. Попытаемся установить связь между нейтронно-физическими характеристиками критического реактора и его размером. Для этого будем считать, что поток нейтронов зависит не только от координат, но и от времени, т. е. Ф = Ф(r, t). Запишем нестационарное уравнение диффузии:

Разделим обе части на D и проведем преобразования левой части уравнения так, как это было в предыдущем параграфе.

(1)

Применительно к уравнению (1) реактор станет критическим, когда прекратиться изменение потока нейтронов во времени, то есть уравнение (1) перейдет к стационарному уравнению ЯР . Следовательно, если будут найдены условия такого перехода, то эти условия и будут являться условиями критичности ЯР.

Вернемся к уравнению (1). Пусть переменные в функции Ф(r,t) разделяются следующим образом:

(2)

Подставим (2) в (1)

сокращаем:

Обозначим выражение в скобках следующим образом:

(3).

Тогда получаем . (4)

Граничное условие для уравнения (4):

Общее решение уравнения (4) представим в виде разложения по системе собственных функций (задача Штурма-Лиувилля):

,

где каждой собственной функции Ψn(r) соответствует собственное число Bn и справедливо уравнение:

.

При этом собственные числа располагаются в следующей последовательности:

(5)

Видно, что - наименьшее собственное число. Как известно из математики, все собственные числа зависят от формы и разме­ров тела. В общем решении (4) только одна функция Ψ0(r) всюду положительна. Все остальные функции обращаются в нуль не только на границе реактора, но и внутри него, причем число корней уравнения соответствует номеру функции.

Таким образом, в окончательном виде решение уравнения (1) имеет вид:

, (6)

где в соответствии с выражением (3) .

Проанализируем полученное решение (6) при различных соотношениях между и при t→∞.

1. . Тогда решение (6) примет вид:

В первом слагаемом показатель экспоненты равен 0, сама экспонента равна 1, а все первое слагаемое равно A0Ψ0(r). В последующих слагаемых показатель экспоненты является отрицательным согласно (5), следовательно, при t→∞ экспоненты в этих слагаемых будут стремиться к нулю, а значит и сами эти слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, в случае при t→∞ решение (6) имеет вид:

.

Другими словами, в этом случае нестационарное уравнение становится стационарным, и реактор переходит в критическое состояние.

2. (l>0). Тогда решение (6) примет вид:

При t→∞ первый член в правой части неограниченно возра­стает (показатель экспоненты положителен), второй остается постоянным (при всех t равно ), а третий стремится к нулю (показатели экспонент отрицательны). В этом случае стационарное состояние реактора никогда не до­стигается.

В рассматриваемом случае функция потока при t→∞ неограниченно возрастает Ф(r,t) →∞, а сам реактор становится надкритическим.

3. . Тогда решение (6) примет вид:

Во всех слагаемых ряда показатели экспонент отрицательны. Следовательно, при t→∞ экспоненты стремятся к нулю, и сами слагаемые также стремятся к нулю. В рассматриваемом случае при t→∞ функция потока стремится к нулю, а сам реактор становится подкритическим

Таким образом, из рассмотренных выше примеров видно, что

- при поток Ф(r, t) во времени возрастает и реактор на­ходится в надкритическом состоянии

- при поток Ф(r,t) уменьшается с течением времени, а реактор находится в подкритическом состоянии.

- при поток Ф(r,t) с течением времени не изменяется, а реактор находится в стационарном (критическом) состоянии.

Каждое собственное число () зависит от формы и размеров тела, то
(индекс "0" опускается), принято называть геометрическим пара­метром. Тогда условие критичности (гомогенного ЯР без отражателя в одногрупповом приближении) можно сформулировать следующим обра­зом:
в критическом реакторе материальный параметр равен гео­метрическому.

χ2= B2 (7)

Соответственно уравнение реактора (критического) можно записать следующим образом:

В соответствии с (7) в критическом ядерном реакторе выражение для материального параметра можно заменить выражением для геометрического параметра:

, (8)

Или: (*)

Уравнение (*) устанавливает связь между нейтронно-физическими характеристиками критического реактора и его раз­мером и называется критическим урав­нением в диффузионно-возрастном приближении.

В критическом реакторе kэф=1. Из сравнения выражений kэф= k∞P и (*) следует, что в диффузионно-возрастном приближении вероятность для нейтронов избежать утечки из реактора: (13)

Утечка в рамках диффузионно-возрастного приближения обусловлена утечкой замедляющихся нейтронов при замедлении и утечкой тепловых нейтронов при диффузии. Таким образом, вероятность избежать утечки может быть представлена как суперпозиция вероятностей избежать утечки в процессе замедления и вероятности избежать утечки в процессе диффузии:

P=Pзам∙Pдиф. (14)

Анализируя величины, входящие в (13), на основании (14) можно сделать следующие выводы: и .

Экспонента ехр(—В2τ) представляет собой вероятность для нейтронов, имеющих возраст τ, избежать утечки в процессе за­медления (от энергии деления до средней энергии тепловых нейтронов); сомножитель (1+B2L2)-1 - есть вероятность для теп­ловых нейтронов избежать утечки в процессе диффузии.

Окончательно получаем выражение для эффективного коэффициента размножения в одногрупповом приближении:

(12)

Для больших реакторов экспоненты в выражении (12) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд, ограничившись первым непостоянным членом разложения: . Если еще при этом учесть, что k∞ близок 1, то выражение (12) после преобразований примет вид:

На практике могут встретиться две постановки задачи о кри­тичности:

1) при заданных параметрах размножения (, τ и L2) и выбранной форме реактора найти его критические размеры. Дру­гими словами, задача сводится к отысканию геометрического параметра В2;

2) при заданных форме и размере реакторе (т. е. при изве­стном параметре В2) выбрать такие параметры размножения (, τ и L2, а следовательно, и χ2), чтобы данный реактор был критичен. При расчете энергетических реакторов практически всегда приходится решать именно эту задачу, так как форма и размер реактора определяются из инженерных и теплофизических соображений и, как правило, бывают заданы.

1.4. Критические размеры реакторов различной формы

Зная состав активной зоны ЯР, мы можем определить материальный параметр, который в критическом ЯР равен геометрическому. Следовательно, если найти связь между геометрическим параметром ЯР и его размерами, то можно определить критические размеры. Величина геометрического параметра В2 находится из решения уравнения критического реактора:

Рассмотрим случай цилиндрического ЯР, так как именно такая форма присуща большинству активных зон ЯР, особенно энергетического назначения.

Пусть имеется цилиндрический ЯР, экстраполированные размеры которого равны: радиус R, высота H. Начало координат находится в центре ЯР. В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид:

z
 

Полагая отсутствие зависимости потоков нейтронов от азимутального угла φ уравнение реактора в данном случае примет вид:

(1)

Граничные условия: Ф(R, z) =0; Ф(r, ±H/2) =0

При этом необходимо отметить, что потоки конечны и неотрицательны.

Уравнение (1) будем решать методом разделения переменных. Пусть Ф(R, z) = f(r)∙g(z) (2). Подставим (2) в (1)

, (3)

где , - радиальная составляющая геометрического параметра, - аксиальная составляющая геометрического параметра.

Таким образом, мы разделили переменные r и z.

Уравнение (3) имеет решения только в том случае, когда слагаемые с r и z не зависят от переменных, т. е. равны постоянному числу. Тогда (3) преобразуется к следующему виду:

(4)

(5)

Рассмотрим уравнение (4). Для функции f(r) граничные условия примут вид:
f (R)=0. В (4) раскроем скобки и обе части (4) помножим на r2f(r):

В первом слагаемом числитель и знаменатель помножим на ; во втором – на Br:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение Бесселя относительно аргумента rBr (действительный аргумент) и n = 0.

Тогда общее решение уравнения (6) есть суперпозиция функций Бесселя.

f(r)=C1 J0(rBr)+C2 Y0(rBr) (7),

где C1 и C2 – константы; J0(rBr) - функция Бесселя первого рода 0-го порядка; Y0(rBr) - функция Бесселя второго рода 0-го порядка. Известно, что при x→0 функция Y0(x)→∞. С другой стороны, известно, что поток нейтронов в ЯР должен быть во всем его объеме конечным. Следовательно, чтобы во всех точках ЯР выполнялось условие конечности потока, необходимо в решении (7) константу при функции Y0(rBr) приравнять к нулю C2=0. Тогда окончательно решение уравнения (4) примет вид:

f(r)=C1 J0(rBr) (8)

Определим Br. Для этого воспользуемся граничными условиями f (R)=0. Функция Бесселя J0(rBr) представляет собой гармоническую функцию и является положительной до первого корня (точки, где функция обращается в ноль), затем она принимает отрицательное значение. Тогда из соображений неотрицательности потоков имеем, что RBr = ξ, где ξ - первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка, ξ ≈2,405. Таким образом, получаем, что радиальная составляющая геометрического параметра равна:

(9)

Рассмотрим уравнение (5). Помножим обе его части на g(z) и приведем его к следующему виду:

(10)

Граничные условия g(±H/2) =0. Кроме того, физически очевидно, что функция g(z) – симметрична относительно оси z: g(z)= g(–z)

Уравнение (6) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами . Корни этого уравнения комплексные, следовательно, общее решение (10) записывается как:

g(z)=Аcos (Bzz) + Bsin(Bzz) (11)

Из функций, входящих в решение (11) симметричной относительно оси z является функция косинуса. Тогда условие симметрии будет выполняться только в случае, когда константа B в решении (11) равна нулю. Таким образом, окончательное решение уравнения (5) имеет вид:

g(z)=Аcos (Bzz) (12)

Аксиальная составляющая геометрического параметра определяется с помощью заданных граничных условий: g(±H/2) =0.

(13)

Таким образом, окончательно:

(14)

Если положить, что в центре ЯР поток равен Ф0, то распределение потока нейтронов в критическом гомогенном цилиндрическом ЯР без отражателя в одногрупповом приближении описывается следующей функцией:

(15)

При этом анализ выражения для геометрического параметра в рассматриваемом реакторе показывает, что геометрический параметр действительно связан с геометрическими размерами активной зоны:

(16)

Зная выражение для геометрического параметра и распределение потока нейтронов, можно определить ряд необходимых характеристик критического ЯР.

1. Минимальный критический объем ЯР.

Эта характеристика определяется путем рассмотрения формулы для объема цилиндра V=πR2H. Выразив это соотношение через геометрический параметр и отношение высоты к радиусу, можно решить задачу о минимуме функции относительно параметра H/R. В результате получим, что минимальный объем будет при H/R ≈1,847. Тогда поочередно выражая высоту через радиус или наоборот, и подставляя эти выражения в формулу для геометрического параметра (16), получим соотношения для критических радиуса и высоты:

Rкр ≈ 2,945/В; Hкр ≈ 5.44/В (17)

Кроме того, что выражения (17) позволяют определить минимальный критический объем, они еще дают возможность сделать ряд важных выводов. Для этого вспомним, что в критическом реакторе геометрический параметр равен материальному:

(18)

Подставим (18) в (17) и получим:

Как видно критические размеры зависят от двух характеристик размножающей среды: коэффициента размножения и длины миграции. При заданном значении k∞ определяются длиной миграции, которая в свою очередь определяется длиной миграции нейтронов в замедлителе. Например, в ЯР с легководным замедлителем (Н2О) М2=34,7 см2, а в ЯР с тяжеловодным замедлителем (D2О) М2=11570 см2. Следовательно, при одном и то же k∞ ЯР с Н2О замедлителем будет иметь меньшие критические размеры, чем ЯР с D2О – замедлителем.

Вернемся к нахождению минимального критического объема. Для этого в соотношение для объема цилиндра подставим выражения (17):

2. Коэффициент неравномерности

Анализируя распределение нейтронного потока в ЯР, можно увидеть, что в центральных областях поток выше, чем на периферии. Это происходит вследствие утечки нейтронов из периферийных областей за пределы АЗ, т. е. имеет место неравномерность нейтронного потока, а значит и энерговыделения по объему ЯР. Это приводит к тому, что в центре топливо выгорает сильнее, чем на периферии. Поэтому определение неравномерности потока нейтронов является важной задачей. Количественно неравномерность нейтронного потока характеризуется коэффициентом неравномерности по объему kv. По определению это есть отношение максимального потока нейтронов в ЯР (в центре АЗ) Ф0 к среднему по объему АЗ потоку нейтронов :

. (19)

Очевидно, что в ЯР, где поток равномерен, kv =1. Чем больше kv, тем более неравномерно распределен поток. По аналогии с коэффициентом неравномерности по объему вводят в рассмотрение коэффициенты неравномерности по отдельным геоментрическим составляющим. Так, например, для цилиндрического ЯР можно рассмотреть коэффициент неравномерности по радиусу kr и по высоте kz, имеющих аналогичный kv смысл. При этом kv= kr kz.

Определим kv для ЯР цилиндрической формы без отражателя. Максимальный поток нейтронов имеет место в этом случае равен Ф0. Найдем . По теореме о среднем имеем:

(20)

Рассмотрим интеграл в числителе выражения (20). Распределение потока нейтронов в цилиндрическом ЯР описывается выражением (15) и в цилиндрической системе координат dV=rdrdφdz, тогда:

Рассмотрим отдельно интегралы, входящие в полученное выражение.

1.

2.

3. . Интеграл определяется методом подстановки Brr=y. Тогда r=y/Br, а dr=dy/Br. Напомним, что Br=2,405/R. Тогда рассматриваемый интеграл приобретает вид:

Согласно справочным данным: .

Тогда рассматриваемый интеграл принимает вид:

. Возвращаясь к старым переменным, получаем:

Тогда величина среднего потока равна:

Таким образом, коэффициент неравномерности в цилиндрическом ЯР равен:

Изложенная методика для критического гомогенного цилиндрического ЯР без отражатель в полной мере применима для реакторов других геометрий и форм. Без выводов запишем результаты анализа ЯР по изложенной методике.

1. Форма – бесконечная пластина

Геометрия – одномерная

Экстраполированные размеры: ширина – H

Распределение потока нейтронов :

Геометрический параметр:

Минимальный критический объем: не определяется

Коэффициент неравномерности: kx =π/2≈ 1,57

2. Форма – прямоугольный параллелепипед

Геометрия – трехмерная (декартова система координат)

Экстраполированные размеры: ширина – a; длина – b; высота – c

Распределение потока нейтронов :

Геометрический параметр:

Минимальный критический объем:

Коэффициент неравномерности по объему: kV =π3/8≈3,87

3. Форма – цилиндр

Геометрия – цилиндрическая

Экстраполированные размеры: радиус – R; высота – H

Распределение потока нейтронов :

Геометрический параметр:

Минимальный критический объем:

Коэффициент неравномерности по объему: kV ≈3,63

4. Форма – сфера

Геометрия – сферическая

Экстраполированные размеры: радиус – R

Распределение потока нейтронов :

Геометрический параметр:

Минимальный критический объем:

Коэффициент неравномерности по объему: kV=π2/3≈3,29

Выражая найденные минимальные объемы через объем сферического реактора, получаем: . Таким образом, при заданном значении геометрического параметра минимальный критический объем (а значит и минимальную критическую массу) имеет сферический ЯР. Это объясняется тем, что утечка нейтронов происходит через поверхность ЯР. Поэтому при заданном составе минимальный объем будет иметь реактор, в котором утечка меньшая, т. е. реактор с наименьшей площадью поверхности. Из рассмотренных реакторов таким является сферический ЯР. По этой же причине (меньшая утечка нейтронов) сферический ЯР имеет наименьший kV, т. е. в таком ЯР поток нейтронов наиболее равномерно распределен по объему.

1.5. Принципиальные подходы к проектированию реакторов

В предыдущем параграфе было установлено, что геометрический параметр действительно связан с формой и размерами ЯР. Таким образом, условие критичности χ2= B2 имеет очевидный физический смысл: в критическом гомогенном ЯР без отражателя в одногрупповом приближении условие критичности связывает материальные и геометрические характеристики ЯР. В дальнейшем, рассматривая другие приближения, другие компоновки ЯР, будут получены условия критичности, имеющие другой вид. Однако в любом случае физический смысл условий критичности любого вида остается неизменным: связь в критическом реакторе материальных и геометрических характеристик ЯР.

Условие критичности χ2=B2 позволяет применить два подхода к проектированию реакторов. В первом случае на основе подобранных состава материалов, их соотношения в ЯР (найденных k∞ и χ2) можно определить критические размеры активной зоны, что в дальнейшем позволяет решить задачу о мощности ЯР, исходя из условий отвода мощности из АЗ.

На практике обычно используют другой подход. По заданной мощности ЯР, исходя из условий теплоотвода, находят размеры АЗ (геометрический параметр) и определяют загрузку топлива, необходимую как для выполнения условия критичности, так и для обеспечения заданной продолжительности работы ЯР.