МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. ёва»

Типовая расчетная работа по теме: «Функциональные ряды»

и методические рекомендации к ней

для студентов очной формы обучения для инженерных направлений

Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

Функциональные ряды

Теоретические вопросы

1. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

2. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

3. Ряды Тейлора и дифференцирование степенных рядов.

4. Разложение по степеням функций , , , , , .

Расчетные задания

Задание 1. Найти область сходимости ряда.

1.1 1) 2)

1.2 1) 2)

1.3 1) 2)

1.4 1) 2)

1.5 1) 2)

1.6 1) 2)

1.7 1) 2)

1.8 1) 2)

1.9 1) 2)

1.10 1) 2)

1.11 1) 2)

1.12 1) 2)

1.13 1) 2)

1.14 1) 2)

1.15 1) 2)

1.16 1) 2)

1.17 1) 2)

1.18 1) 2)

1.19 1) 2)

1.20 1) 2)

1.21 1) 2)

1.22 1) 2)

1.23 1) 2)

1.24 1) 2)

1.25 1) 2)

Задание 2. разложить в ряд Маклорена функцию .

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

2.21 2.22

2.23 2.24

2.25

Задание 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный интеграл.

3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6

3.7 3.8

3.9 3.10

3.11 3.12

3.13 3.14

3.15 3.16

3.17 3.18

3.19 3.20

3.21 3.22

3.23 3.24

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.25

Задание 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, членов разложения).

4.1 4.2

4.3 4.4

4.5 4.6

4.7 4.8

4.9 4.10

4.11 4.12

4.13 4.14

4.15 4.16

4.17 4.18

4.19 4.20

4.21 4.22

4.23 4.24

4.25

Задание 5. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , заданную на отрезке .

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

Задание 6. Разложить в неполный ряд Фурье функцию , заданную на отрезке , продолжив ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждого случая.

6.1 6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

6.7 6.8

6.9 6.10

6.11 6.12

6.13 6.14

6.15 6.16

6.17 6.18

6.19 6.20

6.21 6.22

6.23 6.24

6.25

Методические рекомендации к ТР

1. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами:

Признаки сравнения. Если даны два ряда

и для всех выполняются неравенства , то:

1)  из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2)  из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Признак Даламбера. Если в знакоположительном ряде

существует предел , то:

1)  ряд сходится, если ;

2)  ряд расходится, если ;

3)  если , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Коши. Если начиная с некоторого номера , и , то при ряд сходится, а при расходится.

При признак Коши неприменим.

Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда монотонно убывают и функция непрерывная при , такова, что . Тогда ряд и интеграл одновременно сходится или расходится.

2. Сходимость знакочередующихся рядов исследуется с помощью признака Лейбница:

Если для знакочередующегося ряда

и , то данный ряд сходится и его сумма удовлетворяет условию .

3. Выражение вида называется функциональным рядом. Он называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество значений , при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Примером функционального ряда является степенной ряд . радиус сходимости степенного ряда определяется формулой

или

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

4. Рядом Фурье периодической функции , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

, , .

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

Так как

, ,

то

.

Степенной ряд сходится в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При имеем , данный ряд сходится.

При имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости ряда является полуинтервал .

Пример 2. Вычислить с точностью до 10-4.

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение. Функция удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции :

,

,

,

так как

.