Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет математики
Программа дисциплины Дополнительные главы динамических систем
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
, д. ф.-м. н., *****@
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь _____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
· ГОС ВПО;
· Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра;
· Образовательной программой 010100.68 «Математика» подготовки магистра;
· Рабочими учебными планами университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации «Математика» и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации «Математика», «Алгебра», «Математическая физика», утвержденными в 2012 г.
2 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» является более глубокое знакомство с понятиями, результатами и подходами различных разделов теории динамических систем, в том числе получение базовых знаний по эргодической теории.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
· Знать основные понятия теории динамических систем (фазовое пространство, поток и каскад, инвариантная мера, теорема Пуанкаре о возвращении, эргодичность, перемешивание, энтропия, символическая модель)
· Знать основные модельные примеры динамических систем (удвоение окружности, поворот окружности, подкова Смейла, аффинный автоморфизм Аносова двумерного тора, сдвиг в символическом пространстве)
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция | Код по ФГОС/ НИУ | Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) | Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции |
умение формулировать результат | ПК-3 | Правильно воспроизводит чужие результаты, правильно формулирует собственные результаты | Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, подготовки к зачёту |
умение грамотно пользоваться языком предметной области | ПК-7 | Знает и свободно использует наименования основных понятий, результатов, модельных примеров, может привести соответствующие определения и формулировки | Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, подготовке к зачёту |
умение ориентироваться в постановках задач | ПК-8 | Умеет дать математическую интерпретацию задач по дисциплине, предложить подходы к их решению из числа обсуждавшихся на лекции | Формируется в ходе решения даваемых на лекциях задач для самостоятельного решения |
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах | ПК-16 | Умеет выделить основные шаги в доказательствах основных результатов курса, указать их взаимосвязи, объяснить исходя из доказательства необходимость тех или иных условий в формулировках результатов | Формируется при изучении лекционного курса и последующем самостоятельном продумывании доказательств и при решении задач для самостоятельного решения. |
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для обучающихся по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации «Математика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.
Для обучающихся по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации «Математика», «Алгебра», «Математическая физика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Математический анализ
· Динамические системы
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
· уверенное использование базовых понятий математического анализа: предел, производная, интеграл, равномерная и поточечная сходимость; знание их основных свойств; решение основных типов задач, связанных с этими объектами;
· знакомство с понятием меры множества (на примере меры Лебега на прямой или в n-мерном пространстве)
· знакомство с базовыми понятиями, относящимися к гладким динамическим системам (векторное поля на гладком многообразии, его поток)
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· Динамические системы и эргодическая теория
НИС «Вокруг асимптотической теории представлений»
5 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Введение в эргодическую теорию | 28 | 10 | — | — | 18 |
2 | Энтропия динамических систем | 24 | 8 | — | — | 16 |
3 | Групповые действия | 24 | 8 | — | — | 16 |
4 | Спектральная теория | 12 | 4 | — | — | 8 |
Итого часов: | 90 | 32 | 0 | 0 | 58 |
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Кафедра | Параметры | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||||
Текущий | Контрольная работа | 8 | — | — | Письменные работы, | ||
Промежуточный | — | — | не производится | ||||
Итоговый | Зачёт | V | — | — | Письменная работа |
Критерии оценки знаний, навыков
Текущий контроль проводится в форме письменной контрольной работы в конце 1-го модуля. При её написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 4—5 задач, охватывающих все изученные к моменту контрольной темы курса. Оценка выставляется из расчёта 2,5 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта работы возможно указание другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.
При решении задач контрольной работы студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса, методами решения задач.
Промежуточный контроль по дисциплине не проводится.
Итоговый контроль — зачёт во 2-м модуле — проводится в форме письменной работы. При его написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 8 задач и теоретических вопросов, охватывающих все темы курса. Каждое задание оценивается в 2 очка. Оценка за зачёт вычисляется по формуле Oзачёт = S – 3, где S —число очков за решённые задачи (дробные баллы округляются в пользу студента). Указанная оценка заменяется на 10 или 1 в случае, если величина Oзачёт оказывается, соответственно, больше 10 или меньше 1.
Для получения положительной оценки на экзамене студент должен продемонстрировать усвоение основных понятий и теорем курса, хорошее знакомство с методами решения задач.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка Oсам. работа за самостоятельную работу выставляется исходя из количества сданных студентом задач, предлагаемых на лекции для самостоятельного решения.
Порядок формирования оценки Отекцщий за текущий контроль (письменную контрольную работу) указан в разделе 6.1.
Накопленная оценка за работу в семестре вычисляется по формуле
Онакопленная= 0,3 Оаудиторная + 0,7 Отекцщий
Порядок формирования оценки за итоговый зачёт указан в разделе 5.1.
Результирующая оценка по дисциплине выставляется по формуле
Орезульт =0,7 Онакопленная + 0,3·Озачёт
Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Результирующая оценка выставляется в диплом.
Студенту не предоставляется возможность повысить на зачёте накопленную оценку, за исключением того случая, когда накопленная оценка является неудовлетворительной. В этом случае студент может получить 1—2 задачи или теоретических вопроса для устной сдачи преподавателю. Накопленная оценка при этом не может быть поднята выше оценки «4».
7 Содержание дисциплины
Раздел 1. Введение в эргодическую теорию
Общее число часов по разделу:
лекции – 10 ч., самостоятельная работа — 18 ч.
Литература по разделу: [1], [2] гл. 4, [3] гл. 2
Тема 1. Динамические системы с инвариантной мерой. (3 ч. + 6 ч.)
Тема 2. Эргодические теоремы Биркгофа—Хинчина и фон Неймана (4 ч. + 6 ч.)
Тема 3. Эргодичность. Метод Хопфа. Автоморфизмы тора, потоки на гиперболических поверхностях (3 ч. + 6 ч.)
Раздел 2. Энтропия динамических систем
Общее число часов по разделу:
лекции – 10 ч., самостоятельная работа — 18 ч.
Литература по разделу: [1], [2] гл. 4, [3] гл. 3
Тема 4. Топологическая энтропия. Энтропия в фундаментальной группе. Оценки энтропии через топологические данные. (4 ч. + 7 ч.)
Тема 5. Метрическая энтропия. Проблема различения схем Бернулли. (4 ч. + 7 ч.)
Тема 6. Вариационный принцип (2 ч. + 4 ч.)
Раздел 3. Групповые действия
Общее число часов по разделу:
лекции – 6 ч., самостоятельная работа — 11 ч.
Литература по разделу: [1], [3] гл. 5
Тема 7. Эргодические действия групп. (4 ч. + 7 ч.)
Тема 8. Лемма Маутнера. (2 ч. + 4 ч.)
Раздел 4. Спектральная теория динамических систем
Общее число часов по разделу:
лекции – 6 ч., самостоятельная работа — 11 ч.
Литература по разделу: [1], [3] гл. 4
Тема 9. Введение. Действие динамической системы в пространстве L2. (2 ч. + 6 ч.)
Тема 10. Спектральная теорема для унитарных операторов. (4 ч. + 5 ч.)
8 Образовательные технологии
На лекциях даётся достаточно большое число задач разного уровня сложности. Некоторая часть времени лекций может отводиться под обсуждение решений этих задач.
Методические рекомендации преподавателю
Рекомендуется проводить несколько раз в течение семестра в начале лекций и/или семинаров мини-контрольные работы (продолжительностью 10—15 мин.) на усвоение базовых понятий курса
Методические указания студентам
нет
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы заданий для письменной контрольной работы.
1. Приведите пример эргодичного, но не строго эргодичного отображения.
2. Докажите, что однородный поток на торе с направляющим вектором v эргодичен тогда и только тогда, когда его компоненты линейно независимы над Q.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачёту.
1. Инвариантные меры динамических систем. Эргодичность
2. Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина
3. Эргодическая теорема фон Неймана
4. Метод Хопфа. Автоморфизмы тора, потоки на гиперболических поверхностях
5. Топологическая энтропия. Определение, примеры
6. Энтропия в фундаментальной группе. Оценки энтропии через топологические данные
7. Метрическая энтропия. Проблема различения схем Бернулли. Изоморфизм Мешалкина
8. Вариационный принцип
9. Эргодические действия групп
10. Лемма Маутнера
11. Действие динамической системы в пространстве L2
12. Спектральная теорема для унитарных операторов
Примеры заданий итогового контроля (зачёта)
1. Пусть gt — однопараметрическая подгруппа SL(2, R) такая, что её замыкание не компактно. Докажите, что gt действует эргодично на факторе Г\SL(2, R) конечной меры, где Г — какая-то дискретная подгруппа.
2. Приведите пример преобразования с бесконечной топологической энтропией.
3. Найдите все инвариантные конечные борелевские меры северо-южного отображения окружности.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовый учебник
[1] , , Фомин теория. М.: Наука, 1980
Основная литература
[2] , Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Изд-во «Факториал», 1999.
[3] Karl E. Petersen. Ergodic Theory. Cambridge university press, 1989
Дополнительная литература
[4] T. Bedford, M. Keane and C. Series (eds.) Ergodic Theory and Symbolic Dynamics in Hyperbolic Spaces. Oxford Univ. Press 1991.
Справочники, словари, энциклопедии
Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. . М.: Сов. энциклопедия, 1988.
Также рекомендуется использование онлайн-энциклопедии Wikipedia на английском и русском языках (http://en. wikipedia. org, http://ru. wikipedia. org).
Программные средства
не предусмотрены
Дистанционная поддержка дисциплины
не предусмотрена
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
не используется
