Построение оптимальных доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений (стр. 3 )

Таблица 2

Параметры распределений достаточных статистик

Тип	Центральные	Плотность достаточной
семейства	статистики	статистики при
HN(a)
LGN(b)
GAM(b)
KR(a)
KR(b)

В таблице 3 представлены численные результаты построения доверительных интервалов с заданной вероятностью 0,95, максимизирующих длину интервала. Рассмотрены Гамма-распределение с параметром формы 4 и оцениваемым параметром сдвига , а также гипернормальное распределение с параметрами и оцениваемым параметром масштаба .

Таблица 3

Примеры построения доверительных интервалов

	Гамма - распределение	Гипернормальное распределение
Объем	Нижняя	Верхняя	Длина	Нижняя	Верхняя	Длина
выборки	граница	граница		граница	граница
100	3,202	3,948	0,746	0,597	4,503	3,907
150	3,202	3,910	0,708	0,604	4,510	3,906
200	3,224	3,903	0,679	0,598	4,505	3,877
250	3,179	3,819	0,640	0,586	4,492	3,866
300	3,155	3,765	0,610	0,583	4,490	3,857
350	3,192	3,787	0,595	0,594	4,500	3,846

Анализ таблиц показал, что при увеличении объема выборки длина доверительного интервала сужается.

Нерегулярные семейства

Рассмотрим случай нерегулярных семейств и покажем, что при небольшой модификации метод построения оптимальных доверительных множеств, базирующийся на теореме 2, применим и здесь. Полное описание нерегулярных семейств, порожденных преобразованиями аддитивного и мультипликативного сдвига и допускающих оптимальные доверительные интервалы для параметра сдвига, мне неизвестно, поэтому ограничим рассмотрение несколькими примерами.

Пусть , — матрица представления в базисе и — решение уравнения для фиксированного и произвольного . Тогда оптимальное доверительное множество для параметра левостороннего семейства имеет вид , а для правосторонних семейств — . При этом и плотность распределения определяется формулой

Проиллюстрируем теоретические положения на примерах.

Пример 7. Левостороннее показательное распределение. Плотность левого показательного распределения, порожденного аддитивными сдвигами плотностей

Достаточная статистика - максимальный элемент выборки. Главный фактор критерия факторизации Матрица представлений теперь равна а Задачи нахождения максимума сводится к нахождению максимума следующего интеграла:

при условии который в свою очередь сводится к нахождению максимума интеграла от функции по множеству Ясно, что максимум достигается, когда тогда оптимальное доверительное множество имеет вид

Поскольку центр интервала не зависит от то можно положить тогда доверительный интервал перепишется в виде

Для правостороннего показательного распределения выводы аналогичны.

Пример 8. Правостороннее показательное распределение. Порождающая плотность распределения имеет вид:

Достаточная статистика - максимальный элемент выборки. Главный фактор критерия факторизации матрица представлений теперь равна а Здесь задачи нахождения максимума сводится к нахождению максимума интеграла от функции по множеству Ясно, что максимум достигается, когда тогда оптимальное доверительное множество имеет вид:

Поскольку центр интервала не зависит от то можно положить тогда доверительный интервал перепишется в виде

Далее рассмотрим соответствующую этим семействам пару семейств Парето, порожденных мультипликативными сдвигами плотностей.

Пример 9. Левостороннее распределение Парето. Плотность распределения

Достаточной статистикой является максимальный элемент выборки Матрица представлений равна а Задача нахождения максимума сводится к нахождению максимума интеграла от функции по множеству . Ясно, что он достигается, когда . Отсюда следует: и . Т. к. центр интервала не зависит от , можно положить .

Пример 10. Правостороннее распределение Парето. Порождающая плотность распределения:

Для этого семейства достаточной статистикой является минимальный элемент . Как и выше матрица представлений равна а Задача нахождения максимума сводится к нахождению максимума интеграла от функции по множеству . Ясно, что он достигается, когда . Отсюда следует: и . Т. к. центр интервала не зависит от можно положить .

Пример 11. Семейство индикаторов отрезка. Рассмотрим еще случай неполной достаточной статистики. Статистика является минимальной достаточной для семейства индикаторов отрезка . Так что оптимальная пара должна доставлять максимум функционалу

Этот максимум при любом достигается только в том случае, когда центры отрезков под знаком меры Лебега совпадают, т. е.

Отсюда следует, что не зависит от , например, , тогда

Заметим, что статистика является минимальной эквивариантной компонентой с , а статистика инвариантна, причем эта пара эквивалентна исходной паре достаточных статистик.

Таким образом, во всех пяти примерах оптимальная центральная функция есть функция минимальной эквивариантной статистики, а эта функция является единственным решением уравнения , где — фиксированная внутренняя точка . Что касается функции , то она определяется уравнением только в последнем примере. Причина этого в том, что максимум плотности достигается внутри области только для этого примера. В регулярном случае это свойство было присуще всем рассмотренным семействам.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Бочаров вероятностей. Математическая статистика / , . - М.:Наука, 19с.

2.  Дынкин и достаточные статистики для семейств вероятностных распределений / . // Успехи мат. наук. - МВып.6. - С.68-90.

3.  Теория статистических выводов/Ш. Закс - М.: Мир,19с.

4.  Ивченко статистика / , . - М.:Высшая школа, 19с.

5.  К теории оценивания параметра масштаба / , // Теория вероятностей и ее применениеВып.4. - С.313-322.

6.  Каган оценивания для семейств с параметрами сдвига, масштаба и экспонентных / // Труды ЛОМИ АН СССР. - Л: Наука, 1968. - С.19-87.

7.  Каган задачи математической статистики / , , . - М:Наука, 19с.

8.  Клебанов оценки и достаточные статистики/ // Теория вероятностей и ее применениевып. 2. - С.392-397.

9.  О семействах распределений, зависящих от параметра сдвига и обладающих достаточной статистикой ранга, не больше двух / , // Теория вероятностей и ее применениевып. 3. - С.604-611.

10.  Клебанов оценки плотностей и характеризация смейств распределений с достаточной статистикой для параметра сдвига / // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. - Л: Наука, 1978. - С. 11-16.

11.  Радионова множества для параметра положения и масштаба / , // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм. ун-тС.29-44.

12.  Рухин параметра врещения на сфере / // Ученые записки ЛОМИ АН СССР. - Л.: НаукаТ.29. - С.74-92.

13.  Сапожников методы нахождения распределений некоторых статистик / // Теория вероятностей и ее применение.-1992.-вып. 2. - C.800-801.

14.  Сапожников алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм. ун-тC. 200-216.

15.  Сапожников сдвигов, допускающие нетривиальные достаточные статистики / // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвуз. сб. научн. трудов. Пермь: Перм. ун-т.- 1995.-С. 137-150.

16.  Madansky A. More on length of confidens intervals / A. Madansky // Journal of the American Statistical Association.- 1962.- vol.57.- P.586-589.

17.  Pitman E. The estimation of location and scale parameters of a continuous population of any given form / E. Pitman // Biometrika.- 1939.- v.30.- P. 391-421.

18.  Pratt J. W. On a general concept of «In probability» / J. W.Pratt // Ann. Math. Statist.- 1959.- P.549-558.

19.  Pratt J. W. Length of confidence intervals / J. W. Pratt // Journal of the American Statistical Association.- 1964.- v.56.- P.260-272.

20.  Stasy E. W. A generalization of gamma-distribution / Stasy E. W. // Ann. Math. Statist. -1962.-v.28.- P..