Лекция 1. Теория вероятностей

Лекция 1

Теория вероятностей

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности в случайных явлениях, то есть явлениях, которые при неоднократном воспроизведении условий одного и того же опыта протекают каждый раз по иному.

Классические примеры таких явлений: подбрасывание монеты, стрельба по мишени, измерение параметров некоторого объекта.

Совершенно очевидно, что нет физических явлений, которые не были бы случайными. Однако в ряде задач мы можем пренебречь случайными элементами, рассматривая некую упрощенную модель и полагая, что в данных условиях явление протекает вполне определенным образом. Это, так называемая, классическая схема исследований, применяемая в точных науках. При таком подходе выделяется главный круг условий, выясняется на какие параметры задачи они влияют, и затем применяется тот или иной математический аппарат.

По мере расширения учитываемого комплекса условий, математическая модель становится все сложнее, явление описывается точнее. Однако существуют задачи, где исход зависит от такого большого числа факторов, что практически учесть их все невозможно. Например, на результаты измерения физической величины могут влиять различные изменения параметров среды, такие как: температура, влажность, магнитные и электрические свойства и другие, влияние которых на результат измерения полностью исключить невозможно, в следствии чего мы неизбежно получаем приближенное значение измеряемой величины. В связи с этим могут возникнуть следующие вопросы: 1) какая погрешность полученных результатов; 2) какая надежность полученных результатов (то есть с какой вероятностью мы можем утверждать, что погрешность не превышает полученной величины); 3) сколько нужно произвести измерений, чтобы, с определенной надежностью, получить результаты с погрешностью не превышающей наперед заданную.

Эти вопросы выходят за рамки точных наук, поскольку они связаны именно со случайной природой явлений. То есть надо исследовать результаты измерения, с точки зрения закономерностей, присущих им именно как случайному явлению.

Какие могут быть закономерности в случайных явлениях? Очевидно, что они есть. Так, при подбрасывании монеты, примерно в половине случаев выпадет орел, результаты измерения группируются вокруг определенной величины и так далее. Более того, если мы имеем дело с массовыми случайными явлениями, явление случайности как бы исчезает. Классический пример: давление газа на стенку сосуда, обусловленное совокупностью ударов молекул об эту стенку. Движение молекул случайно, но давление газа, обусловленное этим случайным движением молекул, подчиняется простой закономерности.

Закономерности подобного рода называются статистическими. Статистические закономерности широко распространены в природе и являются предметом изучения многих наук, таких как, квантовая механика, термодинамика, теория ошибок измерений, теория надёжности, экономика и многих других. Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены как раз для исследования подобных статистических закономерностей, они не дают возможность предсказать исход определенного явления, но дают возможность описать результат массы аналогичных явлений.

1 Случайные события

1.1 Пространство элементарных событий

Теория вероятностей оперирует с действительными или мысленными опытами со случайными исходами.

Определение 1. Под испытанием (опытом, экспериментом) будем понимать осуществление какого-либо определенного комплекса условий, которое может быть воспроизведено сколь угодно большое число раз.

Например: подбрасывание монеты; измерение некоторой физической величины; стрельба из орудия; поведение объекта в течении определенного промежутка времени.

Определение 2. Явления которые в результате испытания могут в результате испытания произойти или не произойти называются событиями (случайными событиями).

Во избежание неясностей при описании случайных явлений необходимо формализовать описание этих явлений, с этой целью вводится множество всех элементарных исходов испытания.

Определение 3. Множество всех взаимоисключающих исходов испытания, таких, что в результате эксперимента может произойти один и только один из них, называется пространством элементарных событий. Элементы этого множества называются элементарными исходами испытания.

Пространство элементарных событий является первоначальным понятием при построении математической модели случайного эксперимента.

Определение 4. Любое подмножество пространства элементарных событий называется событием. Очевидно, что для того, чтобы событие наступило, необходимо, чтобы результатом эксперимента явился элементарный исход принадлежащий множеству .

Для геометрической иллюстрации событий удобно использовать диаграммы Эйлера-Венна. Будем представлять множество в виде прямоугольной области на плоскости, тогда точки этой области можно рассматривать как элементарные исходы, а любое множество точек как некоторое событие – рис 1.

Определение 5. Событие, которое неизбежно происходит в результате данного опыта, называется достоверным. Множество исходов, соответствующее достоверному событию есть, очевидно, множество .

Определение 6. Событие, которое результате данного опыта произойти не может, называется невозможным. Невозможное событие будем обозначать символом .

Определение 7. События и называются совместными (несовместными) если в результате эксперимента возможно (не возможно) их совместное осуществление. Другими словами события совместны, если соответствующие множества и имеют общие элементы и несовместны в противном случае.

Определение 8. Говорят, что событие влечет событие , если при наступлении неизбежно наступает . Обозначается . В этом случае множество является подмножеством .

Так, при бросании игральной кости событие - “выпадет два очка” влечет событие - “выпадет четное число очков”.

Определение 9. События и называются эквивалентными если и . Обозначается .

Например, при бросании двух костей события: -“выпадет четная сумма” и - “на каждой грани выпадут очки одной четности” являются эквивалентными.

Определение 10. Событие , заключающееся в том, что событие не происходит называется противоположным событию или его дополнением. Очевидно, что событие состоит из элементов множества , которые не входят в множество (рис 5). Противоположные события несовместны. Событие противоположное достоверному является невозможным, то есть .

Определение 11. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта должно произойти непременно хотя бы одно из них.

Определение 12. События называются равновозможными, если по условиям симметрии нет оснований считать, что одно из них является объективно более возможным чем другое.

1.2 Операции над событиями

Определение 1. Суммой событий и называется событие , которое означает наступление хотя бы одного из событий или . Обозначается:

Таким образом, сумма событий и есть объединение множеств и (рис 6). Из определения вытекают следующие свойства суммы событий:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) Если события образуют полную группу событий, то .

Определение 2. Произведением событий и называется событие , которое означает осуществление обоих событий и . Обозначается:

.

Таким образом, произведение событий и есть множество, состоящее из элементов, как принадлежащих множеству , так и множеству одновременно (рис 7). Из определения вытекают следующие свойства произведения событий:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) Если события и несовместны, то .

Определение 3. Разностью событий и называется событие , которое означает, что происходит событие , но не происходит . Обозначается:

Из определения следует, что , то есть разность можно свести к произведению событий.

Для операций над событиями, помимо указанных выше, можно также отметить следующие свойства:

1) 

2)

3) 

4)

5) 

6) 

Пример.1 Два стрелка стреляют по мишени. Пусть событие - попал в цель первый стрелок, событие - попал в цель второй стрелок. Записать на языке алгебры событий следующие события: - оба стрелка попали в цель; - оба стрелка промахнулись; - попал в цель ровно один стрелок; - хотя бы один стрелок попал в цель.

Решение.

Событие заключается в одновременном осуществлении событий и , что по определению является произведением этих событий, следовательно .

Событие заключается в том, что не произойдет ни событие , ни событие , то есть в одновременном осуществлении событий противоположных событиям и , что есть произведение противоположных событий, следовательно .

Событие произойдет в том случае, если в цель попадет первый стрелок, а второй при этом не попадет, либо, если попадет в цель второй стрелок, а первый при этом не попадет. Событие, заключающееся в том, что первый стрелок попал, а второй не попал в цель, есть произведение события и события, противоположного событию , то есть это событие . Аналогично, событие, заключающееся в том, что второй стрелок попал в цель, а первый не попал есть . Поскольку нас устраивает любое из этих событий, то событие есть сумма этих событий: .

Событию удовлетворяют следующие элементарные события: попал в цель только первый стрелок, попал в цель только второй стрелок, оба стрелка попали в цель. Следовательно, есть сумма этих событий: . Во вторых, можно заметить, что событие противоположное к событию , есть событие – ни один стрелок не попал в цель, следовательно, через противоположное событие, событие можно выразить следующим образом: . И, в третьих, событие – попал в цель хотя бы один стрелок - по определению есть сумма событий и : . Используя свойства операций легко убедиться, что все формулы тождественны. Последняя запись хоть и является самой простой, но не такой уж очевидной и, как мы убедимся в дальнейшем, и не самой удобной, поскольку в ней мы выразили событие через сумму совместных событий. Как правило, если будет идти речь о наступлении хотя бы одного события из группы событий, проще всего выразить это событие через противоположное.