Лекция от 12 декабря 2012 г.

Номер

Формулировка

коммент

7

Получить систему двух уравнений для определений всех ингредиентов в асимптотическом решении Олвера для уравнения в окрестности простой точки поворота. Замечание: необходимые уравнения возникают в результате приравнивания нулю коэффициентови в равенстве , которое получается после подстановки анзатца Олвера в уравнение

8

Для уравнения при найти главный член асимптотического при разложения решения в окрестности простых точек поворота.

Решение см. ниже

9

Для уравнения при найти главный член асимптотического при разложения решения в окрестности простых точек поворота.

10

Для уравнения при найти главный член асимптотического при разложения решения в окрестности простых точек поворота.

Задачи и комментарии по теме «ВКБ-асимптотики для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка»

Литература по теме «ВКБ-асимптотики для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка»

, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: «Наука», 1983

Задача 8.

Для уравнения при найти главный член асимптотического при разложения решения в окрестности точки поворота.

Решение.

Точками поворота являются корни функции , то есть точки -1 и 1. Для определенности рассмотрим разложение в окрестности точки поворота . В общем виде главный член асимптотического разложения решения в окрестности точки имеет вид

Здесь - решение уравнения Эйри, - точка поворота. Для получения асимптотик двух линейно независимых решения следует взять две линейно независимые функции Эйри.

Вычисли функцию и функцию справа и слева от точки поворота .

Пусть . Тогда и

При имеем и, следовательно,

Отсюда для функции получаем

Заметим, что тот факт, что функция положительна справа от точки поворота и отрицательна слева от точки, подтверждается также тем обстоятельством, что в общем случае для произвольного в окрестности точки поворота функция ведет себя следующим образом: , а в рассматриваемом случае .

При вычислении функции следует воспользоваться очевидной формулой

и провести окончательные вычисления по аналогии с выше приведенными. Отметим, что в точке поворота .