Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 6 )

Таким образом, A = B, что и требовалось доказать.

9.71. а) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4sin sin sin 

Доказательство. Сначала преобразуем левую часть доказываемого равенства, учитывая, что = 1800 – ( + ).

sin 2 + sin 2 + sin 2 = 2sin ( + ) cos ( – ) + 2sin cos  =
= 2sin (1800 – ) cos ( – ) + 2sin cos (1800 – ( + )) = 2sin  cos ( – ) –
– 2sin cos ( + ) = 2sin (cos ( – ) – cos ( + )) =
= 2sin (–2sin  sin ) = 4sin sin sin , что и требовалось доказать.

Промежуточный контроль. С–36.

9.7. Формулы для тангенсов

В этом пункте доказаны формулы: tg ( + ) = ( + k,
k Z, + n, n Z, + + m, m Z); tg ( – ) =
( + k, k Z, + n, n Z, – + m, m Z); tg ( – ) =
= ctg  ( k, k Z); tg 2 = ( + k, k Z, + n,
n Z); tg  = ( + 2n, n Z); tg  = ( + n,
n Z), а также формулы

sin  = ( + 2n, n Z),

cos  = ( + 2n, n Z). (1)

Заметим, что каждая из этих выше формул справедлива не для всех значений и , а лишь для тех, которые записаны в скобках после каждой формулы.

Здесь же приведены примеры применения этих формул.

В примере 6 с помощью формул (1) получены формулы для выражения сторон пифагоровых треугольников через любые натуральные числа m, n, k такие, что m > n:

x = k(m2 – n2), y = 2mnk, z = k(m2 + n2)

Решения и комментарии

9.78. Докажите справедливость равенства:

а) tg  + tg  + tg  tg  = 1.

Доказательство. Пользуясь формулой

tg  + tg  = tg ( + )(1 – tg  tg ), (2)

которая следует из формулы для tg ( + ), преобразуем левую часть доказываемого равенства

tg  + tg  + tg  tg  = tg ( + )(1 – tg  tg ) + tg  tg  =
= tg (1 – tg  tg ) + tg  tg  = 1×(1 – tg  tg ) + tg  tg  = 1, что и требовалось доказать.

Докажите, что если , , — углы треугольника, то выполняется равенство (9.84–9.85):

9.84. а) tg  + tg  + tg  = tg  tg  tg .

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства, используя формулу (2) и учитывая, что = 1800 – ( + ):

tg  + tg  + tg  = tg  + tg  + tg (1800 – ( + )) = tg  + tg  –
– tg ( + ) = tg ( + )(1 – tg  tg ) – tg ( + ) = tg ( + )(1 – tg  tg  – 1) =
= tg (1800 – )(–tg  tg ) = –tg (–tg  tg ) = tg  tg  tg , что и требовалось доказать.

Здесь , и — углы треугольника и подразумевается, что имеют смысл tg , tg  и tg . Следовательно, рассматриваются лишь треугольники, в которых нет прямых углов, и для углов таких треугольников проведенные выкладки справедливы.

9.85. а) ctg ctg  + ctg ctg  + ctg ctg  = 1.

Доказательство. Здесь , и — углы треугольника и подразумевается, что имеют смысл ctg , ctg  и ctg . Рассмотрим два случая: 1) среди этих углов нет прямого угла; 2) один из этих углов нет прямого угла.

В первом случае имеют смысл tg , tg  и tg  и так как , и — углы треуголь­ника, то tg  0, tg  0 и tg  0. Поэтому для таких углов, учитывая, что = 1800 – ( + ), справедливы следующие равенства:

ctg ctg  + ctg ctg  + ctg ctg  = ctg ctg  + (ctg  + ctg ) ctg  =
= ctg ctg  + (ctg  + ctg )ctg (1800 – ( + )) = ctg ctg  –
– (ctg  + ctg )ctg ( + ) = × – ( + )× = – = – = – + 1 = 1, что и требовалось доказать.

Следовательно, в первом случае равенство (1) доказано.

Во втором случае есть один прямой угол, например, угол — прямой. Тогда углы и = – — острые. Так как ctg  = 0, то доказываемое равенство перепишется в виде ctg ctg ( – ) = 1.

Так как ctg ( – ) = tg  и ctg  tg  = 1, то и во втором случае требуемое равенство доказано. Следовательно, равенство ctg ctg  + ctg ctg  +
+ ctg ctg  = 1 справедливо для любого треугольника.

9.86. Для углов таких, что , n Z, докажите справедливость равенства

tg 3 = . (3)

Доказательство. Для любых справедливы равенства

sin 3 = sin 2cos  + sin cos 2 = 2sin cos2 + sin (cos2 – sin2) =
= 3sin cos2 – sin3,

cos 3 = cos 2cos  – sin sin 2 = (cos2 – sin2)cos  – 2sin2cos  =
= cos3 – 3sin2cos , то есть справедливы равенства

sin 3 = 3sin cos2 – sin3, cos 3 = cos3 – 3sin2cos . (4)

Так как для + , n Z имеет смысл tg 3, что в частности означает, что cos 3 0 для этих углов, то, используя равенства (4), получаем, что справедливы равенства