Неравенства

ТЕМА:

НеРАВЕНСТВА

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

ГОУ СОШ № 000

Рациональные неравенства.

Областью определения неравенства f(x)>g(x) называется множество таких значений х, при которых и функция f(x), и функция g(x) определены. Иными словами, область, область определения неравенства f(x)>g(x) - это пересечение областей определения функций f(х) и g(x).

Частным решением неравенства f(x)>g(x) называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной х. решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если их решения совпадают.

Основные преобразования, приводящие к равносильным неравенствам. 1)Если к обеим частям неравенства прибавить одну и ту же функцию φ*(х), которая определена при всех значениях х из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то

получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, неравенства

f(x)>g(x) и f(x)+φ(x)>g(x)+φ(x) равносильны.

2)Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) но

одну и ту же функцию φ(х), которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получиться неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если φ (х)>0, то неравенства

f(x)>g(x) и f(x)* φ (х) >g(x)* φ (х) ( или f(x)/φ (х) >g(x)/φ (х) равносильны.)

Вытекает следствие.

Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) на одно и тоже положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3)Если обе части неравенства умножить или разделить на одну и ту же функцию φ (х), которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, если φ (х)<0, то неравенство f(x)>g(x) и f (x)* φ (x)<g(x)* φ (x) ( или f (x)/ φ (x)<g (x)/φ (x) равносильны.

Следствие.

Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

4)Пусть дано неравенство f(x)>g(x), причём f(x)>0 и g(x)>0 при всех х из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень n и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство ( f(x))n >( g(x) )n равносильно данному.

Cистемы и совокупность неравенств.

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств в том случае, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из неравенств.

Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств.

Если неравенства f1(x)>g1(x) и f2 (x)>g2(x) образуют систему неравенств, то и записывают с помощью фигурной скобки.

Если неравенства f1(x)>g1 (х) и f2(x)>g2 (x) образуют совокупность неравенств, то их записывают с помощью квадратной скобки.

1)Решите систему неравенств.

2х2-5х+2=0

D=25-16=9

Oтвет :[1;2)

Ответ (-5; -3/2) (1/2;1)

3). |x+5| >1

Неравенство равносильно совокупности систем.

I x+5 ≥0 II x+5<0

x+5>1 - x-5>1

I x≥-5

x>-4 x€ (-∞;-4)

II x+5<0 x<-5

- x>6 x<-6 x€ (-∞;-6)

Ответ: (-∞;-6) U (-4; ∞)

4) |2x -1| <|4x+1|

I 2x-1<0 2x-1>0 2x-1<0 2x-1<0

4x+1≥0 или 4x+1<0 или 4x+1>0 или 4x+1<0

2x-1<4x+1 2x-1<-4x-1 -2x+1<4x+1 -2x+1<-4x-1

I x≥1/2

x≥-1/4 x≥1/2

x>-1

II x>1/2

x>-1/4 ø

x<0

III x<1/2

x<-1/4 (0;1/2)

x<-1

IV x<1/2

x<-1/4 x€ (-∞;-1)

x<-1

Ответ: (-∞;-1)U (0; ∞)

Метод интервалов.

1)Всё переносим в левую часть 2

)Находим область определения.

3)Находим нули функции

4)Отмечаем нули функции и область определения на числовой прямой

5)Исследуем и расставляем знаки.

6)3аписываем ответы.

Правила расстановки

1)Проверяем значение функции. Если все линейные множители различные, то знаки функции будет чередоваться, причём если у всех двучленов коэффициенты при х

положительны, то при х > большего из нулей двучленов положительны, а затем все знаки чередуются.

2) В разложении левой части неравенства могут встречаться одинаковые множители, если их четное число, т. е. показатель члена четный, то функция сохраняет постоянный знак, а при нечетном меняет при переходе через точку.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение.

Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:

Пример 2. Решить неравенство .

Решение.

, умножив неравенство на -1 и разложив квадратный трёхчлен на множители , получим неравенство равносильное данному в условии неравенству

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:

Пример 3. Решить неравенство .

Решение.

, умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на

множители , , получим неравенство равносильное данному в условии неравенству

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:

Пример 4. Решить неравенство .

Решение.

умножив неравенство два раза на -1, разложив

квадратные трёхчлены на множители , ,

и учитывая, что , получим неравенство

равносильное данному в условии неравенству

Нули множителей: , , , , , .

Итак, Ответ:

Пример 5.

Решение.

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:

Пример 6. .

Решение.

Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:

Пример 6. Решить неравенство .

Решение.

Нули множителей: ,.

Итак, . Ответ: .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение.

, умножив неравенство на -1, разложив квадратные трёхчлены на множители и , получим неравенство равносильное данному неравенству

Нули множителей: ,, ,.

Итак, Ответ:

Пример 8. Решить неравенство .

Решение.

, , , ,

разложив квадратный трёхчлен на множители , получим неравенство равносильное данному неравенству:

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:

Пример 9. Решить неравенство .

Решение.

, , , , , ,

Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:

Пример 10. Найдите число целых решений неравенства .

Решение.

, разложив квадратные трёхчлены на множители

,,, получим неравенство равносильное данному неравенству.

, ,

Нули числителя:, .

Нули знаменателя: , , .

Итак, Целыми решениями будут:

Ответ: неравенство имеет 4 целых решения.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение. Алгебраическую дробь, стоящую в левой части неравенства обозначим через f(x) и построим знаковую кривую для функции f(x) = .

Узлы функции – точки 2, –3, 0, 1 – отмечаем на числовой прямой в порядке возрастания и выкалываем полюсы – точки 0 и 1 . Функция f(x) представлена стандартным разложением, а потому знаковую кривую проводим справа сверху.

Неравенство равносильно условию f(x) £ 0, а следовательно, нужно найти все значения х, для которых выполнено это условие.

По знаковой кривой определяем, что это промежутки [–3; 0) и (1; 2]. Объединение этих промежутков есть решение неравенства.

Ответ: [–3; 0) È (1; 2].

Пример 12. Решить неравенство , где V обозначает один из знаков неравенства >, ³, <, £ .

Решение. Обозначим левую часть неравенства функцией f(x), расположим ее узлы на числовой прямой, а затем построим ее знаковую кривую. По виду знако -

вой кривой определяем, что: решением неравенства является множество (х3; х4) È (х2; +¥);

решением неравенства является множество [x3; x4) È [х] È È[x2; +¥);

решением неравенства является множество (–¥; x3)È(х4; х1)È È (х1; х5) È (х5; х2);

решением неравенства является множество (–¥; x3] È (х4; х5) È (х5; х2].

Пример 13. Решить неравенство .

Решение. Для левой части неравенства строим знаковую кривую. Решению неравенства удовлетворяют промежутки, для которых знаковая кривая имеет значок «+»: (–2; 0) È (3; +¥).

ответ: (–2; 0) È (3; +¥).

Пример 14. Решить неравенство , а также указать решение противоположного ему неравенства.

Решение. По количеству переменных множителей размещаем 5 точек на числовой прямой и обозначаем их в порядке возрастания: –3, –1, 0, 2, 3. Далее, выкалывая полюсы и отмечая четные узлы, проводим знаковую кривую.

Ответ: (–¥; –3) È (–1; 0) È [2] È [3; +¥).

Противоположное неравенство будет иметь вид . Его решением будет множество (–3; –1) È (0; 2) È (2; 3).

Пример 15. Решить неравенство .

Решение. Приведем разложение в левой части неравенства к стандартному виду, т. е. в каждой скобки поставим переменную х на первое место и сделаем коэффициент перед ней равным +1 (стрелками указаны коэффициенты, вынесенные из соответствующих скобок):

Семь «переменных» множителей – семь скобок; размещаем 7 точек на числовой прямой в порядке возрастания: –6, – , 0, , , 1, 2, выкалываем полюсы (точки –6, , 2), отмечаем четность соответствующих узлов и строим знаковую кривую справа снизу (общий знак определяется отрицательным множителем (-5)3 :

Ответ: (-6;– ] È [0] È [ ] È ( ; 2).

Пример 16. Решить неравенство 2х2 + 3х – 1 < 0.

Решение. Необходимо левую часть неравенства представить в виде стандартного разложения. Для этого нужно найти нули х1, х2 квадратного трехчлена и воспользоваться разложением ах2 + bх + с = а (х – х1) (х – х2).

Для нашего трехчлена 2х2 + 3х – 1 вычислим дискриминант: D = 9 + 4 • 2 • 1 = 9 + 8 = 17. Тогда его нули (корни), находим по формуле:

Исходное неравенство перепишется в виде 2 ( x – )(x+ ) < 0. Отметим

две точки на числовой прямой: – , , и проведем знаковую кривую:

Ответ: (– ; ).

Пример 17. Решить неравенство .

Решение. Левую часть неравенства приведем к виду стандартного разложения. Для этого трехчлены в нее входящие разложим по нулям, если таковые имеются, а из скобки (3 –5х) вынесем множитель –5. Покажем преобразования по фрагментам:

1) квадратный трехчлен 2х2 + 3х + 7: D = 9 – 4 • 2 • 7 < 0 - нет корней, а т. к. старший коэффициент равен 2 и 2 > 0, то 2х2 + 3х + 7 > 0 при любом х из R;

2) разность кубов: х3 – 1 = (х – 1) (х2 + х + 1), причем неполный квадрат х2 + х + 1 > 0 при любом х из R (его дискриминант отрицателен);

3) квадратный трехчлен 2х2 + 3х – 5: D = 9 + 4 • 2 • 5 = 9 + 40 = 49 = 7 2 – два корня:

тогда 2х2 + 3х – 5 = 2 (х + 2,5)(х – 1);

4) (3 – 5х) = –5 (х – ) = –5 (х – 0,6).

Неравенство принимает вид:

Выбросили (опустили) сугубо положительные многочлены числителя и знаменателя (отмеченные значком “> 0”) и не стали “убирать” коэффициенты –5 и 2.

Тогда для полученного неравенства знаковая кривая будет иметь вид:

Ответ: (-2,5; 0,6].

Пример 18. Решить неравенство х4 – х3 + х – 1 < 0.

Решение. Левую часть неравенства нужно привести к произведению простых множителей:

х4 – х3 + х – 1 = (х4 + х) – (х3 + 1) = х (х3 + 1) – (х3 + 1) = (х3 + 1) (х – 1) = (х + 1) (х2 – х + 1) (х ––1) = (х – 1) (х + 1) (х2 – х + 1).

Тогда неравенство принимает вид: (х – 1) (х + 1) (х2 – х + 1) < 0, причем положительный неполный квадрат (х2 – х + 1) можно опустить. Следовательно,

х4 – х3 + х – 1 < 0 Û (х – 1) (х + 1) < 0

Соответствующая знаковая кривая представлена на рис.30: заштрихованный промежуток является решением исходного неравенства.

Ответ: (–1; 1).

Пример 19. Решить неравенство 2х4 – 5х2 + 2 ³ 0.

Решение. Представим левую часть в виде стандартного произведения простых множителей. Для этого, положив х2 = t, t ³ 0, сначала решим уравнение 2t 2 – 5t + 2 = 0:

D = 25 – 16 = 9 = 3 2, .

Т. о., биквадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства, можно записать в виде 2 (t – 2) (t – ) и, подставив t = x2, преобразовать далее, используя формулу разности квадратов:

2(х2 – 2) (х2 – ) = 2(х – )(х + )(х – )(х + ) = 2(х – )(х + )(х – )(х + ).

Следовательно, исходное неравенство перепишется в виде:

2 (х – )(х + ) (х – )(х + ) ³ 0.

Знаковая кривая имеет вид:

Ответ: (–¥; – ] È [ ] È [ ; +¥).

Пример 20. Решить неравенство

Решение. Нули числителя и знаменателя алгебраической дроби, стоящей в левой части неравенства, определим по теореме Виета (надпишем их сверху над свободным членом):

х2 + 5х + = (х + 1)(х + 4) и х2 – х – = (х + 2) (х + 3).

Неравенство принимает вид: Þ

Ответ. [–4; –2) È [–1; 3).

Пример 21. Решите систему неравенств

Решение. Каждое из неравенств системы, приводим к стандартному виду (нули трехчленов находим по теореме Виета), получаем:

Решение первого неравенства можно символически изобразить промежутками – прямыми углами: , а второго – конечным двусторонним промежутком со скошенными углами: .

Если наложить их друг на друга, то общий промежуток, определяемый пересечением этих двух множеств, и будет являться решением системы (заштриховано):

Т. о., ответом будет являться множество (–5; –4] È [–1; 3).

Ответ: (–5; –4] È [–1; 3).

Пример 22. Решить систему неравенств

Решение. Разложим трехчлены, стоящие в левой части неравенств, по нулям, построим их знаковые кривые, а затем, наложением решений (множеств) каждого из неравенств системы, находим их общую часть – решение системы:

Общая часть пересечений всех трех множеств (решений каждого из неравенств систем) есть множество [2; 3).

Ответ: [2; 3).

Пример 23. Решить неравенство (х – 1)3 .

Решение. Множитель положителен при любом х (за счет квадратной степени под корнем), поэтому он не оказывает влияния на знак левой части неравенства. Левая часть неравенства обращается в нуль в точках х = 1 и х = 0 – это узлы функции. Тогда знаковая кривая имеет вид:

По виду знаковой кривой устанавливаем, что левая часть неравенства обращается в ноль в точках 0 и 1 и положительна в промежутке (1; +¥). Объединяем эти множества и получаем ответ.

Ответ: [0] È [1; +¥).

Пример 24. Решить неравенство (x2 – x – 6) .

Решение. ОДЗ определяется неравенством 1 + х ³ 0 Û х ³ –1.

Разлагая квадратный трехчлен, приводим неравенство к виду:

(х2 – х – ) Û (х + 2) (х – 3) .

Соответствующая знаковая кривая с «ограничением» х ³ –1 имеет вид:

Т. о., решением неравенства является множество [3; +¥).

Ответ: [3; +¥).

Пример 25. Решить неравенство .

Решение. Выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным, а потому на основании свойств неравенств данное неравенство будет равносильно системе:

Þ х Î (–¥; –3] È [3; +¥).

Ответ: (–¥; –3] È [3; +¥).

Пример 26. Решить неравенство .

Решение. Корень четной степени имеет смысл, если его подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, если (х–2)(1–2х) ³ 0, то неравенство выполняется «автоматически» (корень квадратный, как неотрицательная величина, всегда больше отрицательного числа, в том числе, и –1). Т. о., имеем:

Û (х –– 2х) ³ 0 Û –2 (х – 2) (х – ) ³ 0

Ответ: [ ; 2].

Пример 27. Решите неравенство .

Решение. Первая скобка обращается в нуль, если х = 9, вторая скобка при любых значениях x положительна. Следовательно, нулем функции, стоящей в левой части неравенства, будет число 9. Кроме того, выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным, т. к. х ³ 0. Итак, знаковая прямая с ограничением х ³ 0 имеет вид:

Ответ: (9; +¥).

Пример 28. Решите неравенство .

Решение. Корень квадратный имеет смысл, если 2х – х2 + 15 ³ 0. Следовательно, для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 2х –х2 +15 ³ 0 множитель , а потому исходное неравенство будет выполняться, если выполняется неравенство (3х – х2 – –2) £ 0. Тогда исходное неравенство будет равносильно системе:

Û Þ x Î [–3; 1] È [2; 5]

Ответ: [–3; 1] È [2; 5].

Пример 29. Решите неравенство .

Решение. Разложим трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе, на множители. По теореме Виета корни трехчлена x2 – 2х – 3 есть числа 3, –1, поэтому x2 – 2х – 3 = (х + 1)(х–3). Далее:

D = 1 + 8 = 9 = 32, x1,2 =

Тогда 2х2 + x – 1 = 2(x + 1)(x – 0,5). При неотрицательном числителе алгебраическая дробь неотрицательна, если ее знаменатель положителен, т. е. исходное неравенство равносильно системе:

Ответ : (–¥; –1) È [3; +¥).

Пример 30. Решите неравенство .

Решение. На основании определения модуля: для функции f(x) будем

иметь: |f(x)| =

Тогда исходное неравенство равносильно совокупности двух неравенств («распадается» на два неравенства):

В качестве решения имеем совокупность множеств (–¥; –3] È (–3; – ] È [0,5; +¥) = =(–¥; – ] È [0,5; + ¥). (Напоминаем, что символ обозначает совокупность, т. е. объединение множеств, а не их пересечение.)

Ответ: (–¥; – ] È [0,5; +¥).

Пример 31. Найти область определения функции .

Решение. Область определения D(y) задается системой неравенств:

Ответ: (–¥; –11) È (–11; –9) È (–9; 2] È [3; +¥).

Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений; возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, введение новых переменных.

При решении иррациональных неравенств, определяем несколько видов простейших неравенств.

1) ≥ C, где 1) C ≥0