О задаче № 4

О задаче № 4

«Какой срок потребуется, чтобы накопить 25000 руб., если ежеквартально помещать на счет 1000 руб.? По вкладу начисляются непрерывные проценты по силе роста 10% годовых».

Будем считать, что имеется в виду платежи постнумерандо.

Решение, которое предлагается:

Однако, на мой взгляд, это не является правильным решением.

Сначала обратимся к практической стороне вопроса. Мы знаем, что сумма у нас на счет поступает постнумерандо, каждые три месяца. Соответственно, первый платеж будет равен , и так далее до последнего элемента, который будет равен , где .

Однако накопленная за этот период сумма составит «всего лишь» 24389,20 тыс. руб. (см. файл «Расчеты к Задаче № 4.xls»).

Эмпирическим путем удалось выяснить, что задача в трактовке «какой именно срок потребуется для того, чтобы накопить именно 25000 руб.» решения не имеет, такого срока в принципе не существует. Однако если мы предположим, что 19 кварталов подряд мы осуществляли платежи по 1 тыс. руб. (постнумерандо), и после этого последнего помещения на счет 1 тыс. руб. прошел 1 квартал, и мы идем в банк, чтобы положить еще одну тысячу рублей, то на данный момент на счету (до того, как мы положим эту 1 тыс. руб.) будет только лишь

А как только мы положим в этот день 1 тыс. руб., на счету станет или

То есть ответ на задачу «Какой именно минимальный срок потребуется для того, чтобы накопить 25000 руб. или больше?» звучит следующим образом: 5 лет.

А ответ на задачу «Какой именно срок потребуется для того, чтобы накопить именно 25000 руб.?» звучит так: «Такого срока не существует».

Попытаемся понять, почему так происходит?

На мой взгляд, ответ звучит следующим образом: мы допускаем ошибку, пытаясь от дискретной операции (суммы) перейти к непрерывным операциям.

Для понимания, на мой взгляд, важно обратиться к доказательству формулы суммы геометрической прогрессии.

Если мы укажем n нецелое, то тогда у нас получается «невозможная»[1] («абсурдная») запись: .

Таким образом, мы неправомерно переходим к поиску срока, используя такой метод.

Этот метод годится для того, чтобы найти примерный срок, так как в случае сумма не сильно искажается, но для поиска точного срока использовать такой метод нельзя.

Об этом, кстати, пишет и Четыркин в одном из примеров, что таким образом можно находить только примерный срок. Но для получения конечного результата Четыркин обычно рекомендует округлять (не обязательно в соответствии со стандартным математическим правилом округления) срок до целых значений (в нашем случае 4,75 и другие подобные числа также будут «целыми» значениями), и затем просто пересчитать ежеквартальный платеж.

Для решения же поставленной задачи мне видится разумным решать следующее уравнение:

Где в нашем случае:

( — критический случай, его нужно рассматривать отдельно).

Каким образом решать такое уравнение с двумя неизвестными, кроме как простым итерационным способом (например, с помощью составления программы, что я и сделал для решения Задачи № 4 на Visual Basic’е), пока не удалось понять.

[1] Конечно, можно сформировать понятие о сумме как о непрерывной функции (напр., см. Гармонические числа: http://ru. wikipedia. org/wiki/Гармоническое_число), но это выходит за рамки данных рассуждений, так как в нашем случае мы все-таки говорим об итерациях.